Aplicaciones de las Leyes de Newton Suma de fuerzas en x Suma de fuerzas en y
Aplicaciones de las Leyes de Newton Como se obtiene un valor negativo para la aceleración, implica que la dirección de movimiento que supusimos era incorrecta, es decir que el cuerpo en lugar de subir baja. Lo anterior podemos reforzarlo si analizamos las fuerzas (o componentes) que actúan en el eje x. La componente del peso es:
y la fuerza aplicada P tiene un valor de: P = 30 Nt. Como la componente del peso es mayor que la fuerza aplicada, la dirección de la resultante de ambas tendrá esa misma dirección.
Lo cual nos lleva al siguiente ejemplo.
Aplicaciones de las Leyes de Newton EJEMPLO: Del mismo problema anterior, ¿ cuál debe de ser la magnitud de la fuerza aplicada para poder sostener al cuerpo sobre el plano inclinado? En este caso, la caja estaría en equilibrio, es decir en reposo, por lo que la aceleración ax = 0 y ay = 0 consecuentemente, P – Wx = 0 P – mg sen ? = 0 P = mg sen ? P = 167.76 Nt
EJEMPLO: Del mismo problema, si deseo subir la caja con velocidad constante, ¿qué fuerza debo aplicar? En este caso, el cuerpo se estaría moviendo pero con velocidad constante, es decir que nuevamente la aceleración sería nula por lo que la fuerza necesaria sería igual a la componente del peso. P = Wx = 167.76 Nt
Aplicaciones de las Leyes de Newton EJEMPLO: Si deseo subir la caja con una aceleración de 2 m/s2 ¿Qué fuerza debo de aplicar?
EJEMPLO: ¿Qué tan grande es esta fuerza? Para darnos una idea de que tan grande es ésta fuerza, debemos de compararla con algo que nos sea familiar, por ejemplo, para levantar a una persona que pesa 80 kg necesito aplicar una fuerza de: F = mg = 80 kg (9.81m/s2) = 784.1 Nt (Gp:) Diagrama de Cuerpo libre (Gp:) N (Gp:) P (Gp:) W (Gp:) x+ (Gp:) y+ (Gp:) 200 (Gp:) 200 (Gp:) Wy (Gp:) Wx
Aplicaciones de las Leyes de Newton EJEMPLO: Si el cuerpo parte del reposo y el plano tiene una longitud de 25 m. ¿Cuanto tiempo se invierte en subir la caja?, ¿Cuál será su velocidad al llegar a la parte alta del plano? Este ya es un problema de cinemática, por lo que tendremos que usar las ecuaciones de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. x = x0 + v0 t + ½a t2 puesto que la posición inicial es cero en la base del plano y como parte del reposo, x = ½a t2 despejando el tiempo:
a velocidad se determina a partir de la ecuación: v = v0 + at
Dinámica Segunda Parte (Fricción) INTRODUCCIÓN
Una de las principales fuerzas que existen en la naturaleza son las fuerzas de fricción o de rozamiento.
Si no existiesen tales fuerzas, nos sería imposible caminar, sostener o agarrar objetos, en pocas palabras, sería un mundo inanimado ya que no sería posible el movimiento.
Para darnos una idea de lo anterior, imagínese que se encuentra en el centro de un lago congelado al cual se le vertió aceite lubricante en su superficie, en esas condiciones, la superficie se puede considerar lisa y sin rozamiento.
¿Considera Usted que puede salir de ahí?
La respuesta inmediata que le surge tal vez sería que no, ya que al intentar caminar empezaría a resbalar o a patinar y se caería por no tener apoyo. Si su respuesta es esa (que no), es que no lo meditó bien y no ésta aplicando la tercera ley de Newton, lo único que tendría que hacer es soplar.
Fricción estática ( fs ) Donde el subíndice s proviene de la palabra "statics" cuyo significado es reposo o estático. Las fuerzas de rozamiento se dan entre un par de superficies secas no lubricadas que están en contacto mutuo, son paralelas a las superficies en contacto y por lo general se oponen a la dirección de movimiento (no siempre ocurre así). Si dos cuerpos están en contacto pero no existe fuerza aplicada a uno de ellos, no hay fuerza de rozamiento. Las fuerzas de rozamiento aparecen en el momento en que se aplican fuerzas, cuando un cuerpo está en reposo, la fuerza de rozamiento empieza a incrementarse en la misma medida en que aumentamos la fuerza aplicada. Para ilustrar lo anterior, pongamos el siguiente ejemplo: Tenemos un camión y queremos moverlo. Viene una persona, le aplica una cierta fuerza y se observa que no puede moverlo. Si aplicásemos la segunda ley de Newton, al aplicar una fuerza, ésta debería de producir una aceleración, pero se observó que el camión no se movió, por lo tanto inferimos que existe una fuerza de igual magnitud y en sentido contrario a la fuerza aplicada, de tal forma que se está anulando. Tal fuerza es la fuerza de rozamiento estática.
Fricción estática ( fs ) Viene otra persona a ayudarle a la primera, (supongamos que ambas ejercen la misma fuerza) de tal forma que ambos empujan con una fuerza doble que la anterior. Sin embargo, el camión sigue sin moverse. De ello inferimos que al aumentar la fuerza aplicada, aumento también la fuerza de fricción. Viene una tercera persona y empuja también con la misma fuerza. El camión sigue sin moverse. La fuerza de rozamiento vuelve a incrementarse. Viene una cuarta persona y se observa que el camión empieza a moverse, primero muy lentamente y después más rápidamente. En la transición en que el camión pasa del reposo al movimiento, la fuerza de rozamiento adquiere su máximo valor. Dicho valor corresponde a la mínima fuerza necesaria para iniciar el movimiento. Todo lo anterior se ilustra en los siguientes dibujos:
Fricción estática ( fs ) (Gp:) S (Gp:) F = m a (Gp:) x (Gp:) x (Gp:) F = m a (Gp:) (forma vectorial) (Gp:) (forma escalar) (Gp:) sistema (Gp:) Observación del (Gp:) sistema (Gp:) Diagráma de (Gp:) cuerpo libre (Gp:) x (Gp:) y (Gp:) no hay mov. (Gp:) Aplicación de la (Gp:) Segunda ley (Gp:) F – f = 0 (Gp:) a (Gp:) s (Gp:) F = f (Gp:) a (Gp:) s (Gp:) (a = 0 ) (Gp:) x (Gp:) N (Gp:) W (Gp:) s (Gp:) f (Gp:) no hay mov. (Gp:) no hay mov. (Gp:) S (Gp:) F = m a (Gp:) x (Gp:) x (Gp:) F´- f´ = 0 (Gp:) a (Gp:) s (Gp:) (a = 0 ) (Gp:) x (Gp:) F´= f´ (Gp:) no hay mov. (Gp:) a (Gp:) s (Gp:) con F´ = 2 F (Gp:) a (Gp:) a (Gp:) F´ (Gp:) s (Gp:) f´ (Gp:) N (Gp:) W (Gp:) x (Gp:) y (Gp:) a (Gp:) F (Gp:) a (Gp:) F´´ (Gp:) s (Gp:) f´´ (Gp:) N (Gp:) W (Gp:) x (Gp:) y (Gp:) a (Gp:) S (Gp:) F = m a (Gp:) x (Gp:) x (Gp:) F´´- f´´ = 0 (Gp:) a (Gp:) s (Gp:) (a = 0 ) (Gp:) x (Gp:) F´´= f´´ (Gp:) no hay mov. (Gp:) a (Gp:) s (Gp:) con F´´ = 3 F (Gp:) a (Gp:) a (Gp:) F´´´ (Gp:) s (Gp:) f´´´ (Gp:) N (Gp:) W (Gp:) x (Gp:) y (Gp:) a (Gp:) S (Gp:) F = m a (Gp:) x (Gp:) x (Gp:) F´´´- f´´´ = 0 (Gp:) a (Gp:) s (Gp:) F´´´ = f´´´ (Gp:) a (Gp:) Transicción entre reposo (Gp:) y mov., la aceleración se (Gp:) considera nula. En éste (Gp:) momento, la fuerza de (Gp:) rozamiento adquiere su (Gp:) máximo valor, la cual (Gp:) corresponde a la mínima (Gp:) fuerza aplicada para ini- (Gp:) ciar el movimiento. (Gp:) min. (Gp:) max. (Gp:) s
Fricción cinética ( fk ) Al igual que la fuerza de rozamiento estática, la de rozamiento cinética también se da entre un par de superficies secas no lubricadas que se encuentran en movimiento relativo una con respecto a la otra, su dirección es opuesta a la dirección del movimiento. En la última ilustración del dibujo anterior, con las cuatro personas empujando el camión con la misma fuerza con la que se inició el movimiento, éste empieza a moverse muy lentamente, pero si seguimos ejerciendo esa misma fuerza, observamos que la velocidad empieza a incrementarse paulatinamente, es decir, el camión empieza a acelerarse de tal forma que después de unos segundos, prácticamente iremos corriendo detrás de él. La fuerza de rozamiento persiste, pero pasa a ser una de rozamiento cinético fk (donde el subíndice k proviene de la palabra "kinematics" que significa movimiento). La experiencia nos indica que esta fuerza, es menor que la estática, ya que el camión empieza a acelerarse con la misma fuerza ejercida al comenzar el movimiento.
Fricción cinética ( fk )
Fricción cinética ( fk ) Si empezamos a disminuir la fuerza aplicada, llegará un momento en que ésta se iguale con la fuerza de rozamiento cinético, en cuyo caso la aceleración será igual a cero. Pero como el camión ya tiene una velocidad en dicho instante de tiempo, entonces se seguirá moviendo con esa misma velocidad (movimiento rectilíneo uniforme). De continuar disminuyendo la fuerza aplicada, entonces la de rozamiento cinético será mayor, por lo que nuevamente el camión entrará a un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (desacelerado), disminuyendo su velocidad hasta quedar nuevamente en reposo. De lo anterior se concluye que: fs > fk
Coeficientes de Fricción Veremos ahora de que dependen las fuerzas de rozamiento. Para ello, supongamos que cargamos el camión y que nuevamente queremos moverlo.
Las figuras anteriores nos indican que entre mayor peso tenga el camión, necesitaremos una mayor fuerza para poder moverlo, eso nos indica que la fuerza de rozamiento a crecido en forma proporcional al peso del camión. Luego entonces, a grosso modo podemos afirmar que: La fuerza de rozamiento es proporcional al peso del camión.
Coeficientes de Fricción Sin embargo, como no hay movimiento en el eje vertical, el peso es igual a la fuerza normal y consecuentemente, la fuerza de rozamiento está relacionada con dicha fuerza normal.
Para ver esto, analicemos nuevamente el ejemplo anterior en los siguientes casos:
a) Camión en piso horizontal. b) Camión en piso inclinado i) de subida. ii) de bajada.
Coeficientes de Fricción
Coeficientes de Fricción Por lo anterior, la fuerza de rozamiento, mas que proporcional al peso, decimos que es proporcional a la Fuerza normal. La constante de proporcionalidad depende de las superficies que estén en contacto. Así por ejemplo, si el camión se encuentra en una superficie horizontal, no es lo mismo que tal superficie sea de concreto, de tierra que de arena. Se requiere de una menor fuerza cuando se tienen como superficies en contacto concreto-hule que cuando se tiene tierra-hule y una fuerza aún mayor cuando las superficies son arena-hule. Consecuentemente, la fuerza de rozamiento depende del par de superficies en contacto, tal dependencia es lo que denominamos coeficientes de rozamiento. Cuando está en reposo es estático ( ms ) y en movimiento, cinético ( mk ). Generalmente, el coeficiente de rozamiento estático es mayor que el cinético. ms > mk
Coeficientes de Fricción Existen dos tipos de rozamiento, el que hemos analizado es el de rodamiento, el otro es el de deslizamiento, siendo menor el de rodamiento que el de deslizamiento. Por ejemplo, no es lo mismo mover el camión sin freno (rodamiento) que cuando están puestos (deslizamiento).Adicionalmente a que las fuerzas de rozamiento son proporcionales a la fuerza normal y a las superficies en contacto, dichas fuerzas son aproximadamente independientes del área de contacto. Para ello analicemos los siguientes dibujos:
Coeficientes de Fricción El bloque tiene el mismo peso, independientemente de como se coloque, si de lado, de canto o parado, las tres áreas en las que se apoya son diferentes, el área A1 es mayor que el área A2, y ésta a su vez es mayor que el área A3. La Fuerza aplicada para moverlo es la misma, debido a que al apoyarse el bloque en un área mayor, la presión que éste ejerce sobre la superficie se reduce, y al apoyarse en un área menor, la presión que ejerce sobre la superficie aumenta. Esto hace que el área efectiva de apoyo sea la misma independientemente de como se coloque el bloque, ya que al estar apoyado en una mayor área, las irregularidades (picos) de las superficies no son alteradas, en tanto que al apoyarse en un área menor, si se afectan las irregularidades, quebrándose y aumentando el área efectiva de apoyo. Lo anterior se explica mejor en los siguientes dibujos a nivel microscópico.
Coeficientes de Fricción
Coeficientes de Fricción Resumiendo, las fuerzas de fricción son directamente proporcionales a la fuerza normal, donde la constante de proporcionalidad son los coeficientes de rozamiento. Lo anterior expresado en forma de ecuación matemática se reduce a: fuerza de rozamiento estática: fs = ms fuerza de rozamiento cinética: fk = mk Donde el signo menor (< ) en la de rozamiento estático indica que esta fuerza crece a medida que aumentamos la fuerza aplicada y el signo igual ( = ) es cuando la fuerza de rozamiento estática adquiere su máximo valor, siendo éste justo en el instante en que se va a iniciar el movimiento.
Aplicación de Fricción EJEMPLO: Determinar el coeficiente de rozamiento estático entre un tablón y un ladrillo. Para determinar el coeficiente, se realiza el siguiente experimento: Uno de los extremos del tablón se apoya en un cuerpo fijo para evitar que resbale. Con el ladrillo colocado en el otro extremo, gradualmente se va levantando el tablón y se deja de levantar cuando se observa que el ladrillo empieza a deslizarse. Analicemos el experimento mediante los siguientes dibujos.
Aplicación de Fricción Al levantar el tablón, hacemos un diagrama de cuerpo libre, donde el eje horizontal se toma paralelo al tablón, de esta forma, la fuerza normal sigue apareciendo en el eje vertical en tanto que el peso (que es vertical y hacia abajo) forma un ángulo de 5 grados con la "vertical", de tal forma que en este sistema de referencia tiene una componente en el eje vertical y otra en el eje horizontal. Como no hay desplazamiento en ninguno de los ejes (de la observación vemos que el bloque no se mueve), al aplicar la segunda ley de Newton, tenemos que la fuerza normal se equilibra con la componente vertical del peso ( N = Wy ). En el caso de la componente horizontal, ésta es la que debería hacer que el ladrillos se deslizara sobre el tablón, pero como no lo hace, inferimos que existe una fuerza que se opone al movimiento, siendo ésta la fuerza de rozamiento estática ( fs = Wx = mg sen ? ) N W f s El tablón se levanta 5 grados
Aplicación de Fricción (Gp:) N (Gp:) W (Gp:) f (Gp:) s (Gp:) El tablón se levanta 10 grados (Gp:) q
Como sigue sin haber movimiento, nuevamente la fuerza normal se equilibra con la componente vertical del peso. La componente horizontal del peso aumenta y consecuentemente la fuerza de rozamiento estática.
Aplicación de Fricción
Se repiten las mismas aseveraciones anteriores, debido a que el ladrillo aún permanece en reposo. Hagámoslo ahora mediante ecuaciones.
Wx – fs = m ax N – Wy = may
(Como no hay movimiento ax = 0 ; ay = 0 )
Wx – fs = 0 N – Wy = 0 Wx = fs N = Wy mg sen ? = fs N = mg cos ? (Gp:) N (Gp:) W (Gp:) f (Gp:) s (Gp:) El tablón se levanta 15 grados
Aplicación de Fricción Obsérvese que la fuerza de rozamiento estática depende del peso del cuerpo (que es constante) y del ángulo de inclinación del tablón, el cual estamos variando. Lo mismo sucede con la fuerza normal. la cual disminuye a medida que aumentamos el ángulo (1 < cos ? < 0; cos 00 = 1 , cos 900 = 0). Ahora bien, existirá un ángulo al cual denominamos ?s bajo el cual el ladrillo empieza a moverse. Cuando observemos esto, dejamos de levantar el tablón y con un transportador medimos el ángulo. (Gp:) f (Gp:) s (Gp:) El tablón se levanta grados (Gp:) q (Gp:) s (Gp:) q (Gp:) s (Gp:) q = (Gp:) W (Gp:) q (Gp:) s (Gp:) q = (Gp:) N (Gp:) se inicia el movimiento
Aplicación de Fricción
Wx – fs = max N – Wy = may
(Como apenas se va a inciar el mov. ax = 0 ; ay = 0 )
Wx – fs = 0 N – Wy = 0 Wx = fs N = Wy mg sen?s = fs N = mg cos ?s Pero Fs = msN (adquiere el máximo justo cuando se inicia el movimiento) (Gp:) f (Gp:) s (Gp:) El tablón se levanta grados (Gp:) q (Gp:) s (Gp:) q (Gp:) s (Gp:) q = (Gp:) W (Gp:) q (Gp:) s (Gp:) q = (Gp:) N (Gp:) se inicia el movimiento
Aplicación de Fricción sustituyendo: mg sen ?s = msN sustituyendo nuevamente: mg sen ?s = msmg cos ?s despejando: ms = tan ?s
Por lo que para medir el coeficiente de rozamiento estático entre cualquier par de superficies, basta con colocar una encima de la otra y levantar gradualmente la inferior, deteniéndonos y midiendo el ángulo bajo el cual se inicia el movimiento. A éste ángulo le sacamos la tangente y listo. Ya tenemos el coeficiente de rozamiento estático.
Para el caso del coeficiente de rozamiento cinético, se procede de igual manera, pero resulta problemático debido a que debemos medir el ángulo ( ? = ? k ) bajo el cual el cuerpo superior desliza sobre el inferior con velocidad constante.
Todos los problemas con rozamiento, se resuelven de igual manera que los problemas sin rozamiento vistos en las aplicaciones de las leyes de Newton, la única diferencia es que debemos de incorporar una nueva fuerza (fuerza de rozamiento estática o cinética según sea el caso).
Aplicación de Fricción EJEMPLO: Determine la fuerza necesaria que debe de ejercer una persona para hacer que un bloque de 40 kg empiece a moverse hacia arriba sobre un plano inclinado 300 con respecto a la horizontal, si el coeficiente de rozamiento estático entre ambas superficies es de 0.60. Una vez iniciado el movimiento, con esa misma fuerza aplicada, determine la aceleración del bloque si el coeficiente de rozamiento cinético es de 0.40. Y por último, determine la fuerza necesaria para que el bloque se deslice hacia arriba con velocidad constante.
Aplicación de Fricción Para que empiece a moverse: De la aplicación de la segunda ley al diagrama de cuerpo libre tenemos que: ? Fx = max P – fs – Wx = 0 (el cuerpo está en reposo, ax = 0 ) P = fs + Wx P = msN + mg sen ? De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza normal. ? Fy = may N – Wy = 0 (el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical ay= 0 ) N = mg cos ?
Aplicación de Fricción sustituyendo en la expresión de P encontrada en la sumatoria de fuerzas en el eje "horizontal" (eje x)
P = ms mg cos ? + mg sen ? P = mg ( ms cos ? + sen ? )
sustituyendo valores P = ( 40kg )( 9.81m/s2 )( 0.6 cos 300 + sen 300 ) P = 400.09 Nt
El cuerpo ya se está moviendo y el coeficiente pasa a ser uno de rozamiento cinético, con esa misma fuerza aplicada de 400.09 N el cuerpo se acelera, la aceleración es: ? Fx = max P – fk – Wx = max
Aplicación de Fricción De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza normal. ? Fy = may N – Wy = 0 (el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical ay= 0 ) N = mg cos ? sustituyendo en la expresión de la aceleración encontrada en la sumatoria de fuerzas en el eje "horizontal" (eje x)
sustituyendo valores a = 1.69 m/s2 Ahora determinaremos la fuerza necesaria para que el cuerpo se siga moviendo hacia arriba con velocidad constante ? Fx = max P – fk – Wx = 0 (el cuerpo está moviéndose con velocidad constante, ax = 0 ) P = fk + Wx
Aplicación de Fricción P = mk N + mg sen ? De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza normal. ?Fy = may N – Wy = 0 (el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical ay = 0 ) N = mg cos ? sustituyendo en la expresión de P encontrada en la sumatoria de fuerzas en el eje "horizontal" (eje x) P = mk N + mg sen ? P = mk mg cos ? + mg sen ? P = mg ( mk cos ? + sen ? ) sustituyendo valores P = ( 40 kg )( 9.81m/s2 )( 0.4 cos 300 + sen 300 ) P = 332.13 N.
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