Segunda Ley de Newton Como se podrá observar en la gráfica, se obtiene una línea recta por lo que la proporción que guarda la fuerza aplicada con respecto a la aceleración del cuerpo patrón es una proporción lineal. Al calcular la pendiente de la recta y aplicar la definición de fuerza, se tiene que las unidades de la pendiente son unidades de masa, con lo cual se infiere que la constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo patrón.
Luego entonces, la Fuerza aplicada es directamente proporcional a la aceleración del cuerpo, siendo la constante de proporcionalidad la masa del mismo, lo cual expresado en terminología matemática es:
F = m a
Dicha ecuación es la segunda Ley de Newton.
Ya que la aceleración es un vector que es multiplicado por un escalar como lo es la masa, se obtiene un nuevo vector que tiene la misma dirección y sentido que el vector que le da origen. Consecuentemente, la Fuerza es una cantidad vectorial, por lo que:
F = m a
Segunda Ley de Newton Debemos de realizar nuevos experimentos para conocer los efectos que una misma fuerza ejerce sobre otros cuerpos y comparar los resultados con el efecto que se producen en el kilogramo patrón. Para ello, escojamos otros cuerpos de masa desconocida y procedamos a realizar los experimentos. (Gp:) 1 (Gp:) F (Gp:) F (Gp:) m (Gp:) 0 (Gp:) Se aplica una fuerza F al kilogramo patrón (Gp:) y experimentalmente determinamos la ace- (Gp:) leración que experimenta, teniendo ésta un (Gp:) cierto valor a. (Gp:) F (Gp:) A otro cuerpo de masa desconocida M, le (Gp:) aplicamos la misma fuerza F, encontrando (Gp:) que su aceleración es la mitad de la que — (Gp:) experimento el kilogramo patrón. (Gp:) m (Gp:) 0 (Gp:) m (Gp:) m (Gp:) a (Gp:) 0 (Gp:) a (Gp:) 0 (Gp:) a (Gp:) = (Gp:) 2 (Gp:) F (Gp:) F (Gp:) A un segundo cuerpo de masa desconocida (Gp:) m2 le aplicamos la misma fuerza F, encon- (Gp:) trando que su aceleración es el doble de la (Gp:) que experimentó el kilogramo patrón. (Gp:) m (Gp:) m (Gp:) a (Gp:) = 2 (Gp:) F (Gp:) F (Gp:) a (Gp:) = 4 (Gp:) Por último, a un tercer cuerpo de masa des- (Gp:) conocida m3 le aplicamos la misma fuerza F (Gp:) encontrando que su aceleración es el cua— (Gp:) druple de la que experimentó el kilogramo — (Gp:) patrón. (Gp:) m (Gp:) m (Gp:) 1 (Gp:) 1 (Gp:) 2 (Gp:) 2 (Gp:) 2 (Gp:) 3 (Gp:) 3 (Gp:) 3 (Gp:) a (Gp:) 0 (Gp:) a (Gp:) 0 (Gp:) a (Gp:) 0 (Gp:) l (Gp:) D (Gp:) l (Gp:) D (Gp:) l (Gp:) D (Gp:) l (Gp:) D (Gp:) l (Gp:) D (Gp:) l (Gp:) D (Gp:) l (Gp:) D (Gp:) l (Gp:) D (Gp:) l (Gp:) l (Gp:) l (Gp:) l (Gp:) l (Gp:) l (Gp:) l
Segunda Ley de Newton De lo anterior concluimos que: cuerpos de la misma naturaleza experimentan diferentes aceleraciones cuando son colocados en un mismo medio ambiente. Así mismo, al tomar el cociente de la aceleración que experimenta el cuerpo patrón y la aceleración que experimenta cualquiera de las masas desconocidas, obtenemos:
o bien:
conocida como relación de masas y aceleraciones, con la cual podemos determinar la masa de cualquier cuerpo despejándola de la relación. Por ejemplo:
Segunda Ley de Newton Cuando unimos varios cuerpos y aplicamos una fuerza, los cuerpos se moverán en conjunto, experimentando la misma aceleración, lo cual es equivalente a tener un solo cuerpo de masa M = m1 + m2 + m3 + …
La aceleración se determina mediante:
donde P es la magnitud de la fuerza aplicada.
P Equivale a: P M = m1 + m2 + m3 m1 m2 m3
Segunda Ley de Newton Sin embargo, sobre un cuerpo pueden actuar varias fuerzas como por ejemplo: (Gp:) donde FR es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre o FUERZA RESULTANTE O NETA, lo que equivale a que sobre el cuerpo estuviera actuando únicamente esta fuerza (Gp:) Como son vectores, debemos sumarlos como vectores (Gp:) F5 (Gp:) F1 (Gp:) F2 (Gp:) F3 (Gp:) F4 (Gp:) FR (Gp:) FR (Gp:) x (Gp:) y (Gp:) F1 (Gp:) F2 (Gp:) F3 (Gp:) F5 (Gp:) F4
Segunda Ley de Newton Para determinar analíticamente a la fuerza resultante, debemos descomponer a las fuerzas individuales en sus componentes rectangulares sobre los ejes, de tal forma que:
Donde:
Además, la segunda ley expresada en forma de componentes es:
En la cual la aceleración del cuerpo se determina mediante cálculos y en algunos casos mediante la observación del cuerpo, como por ejemplo, cuando se va deslizando sobre el piso (eje x), la aceleración en el eje vertical es cero (ay = 0).
Segunda Ley de Newton Al resolver problemas que involucren fuerzas, es conveniente realizar Diagramas de Cuerpo Libre o aislado en los cuales consideramos al cuerpo como si fuese un punto situado en el origen de coordenadas, colocando ahí todas las fuerzas que actúan sobre él así como los respectivos ángulos que dichas fuerzas forman con respecto a un determinado eje, esto último para poder calcular las componentes de dichas fuerzas sobre los ejes. Del ejemplo anterior, el Diagrama de Cuerpo Libre es: F5 F1 F2 F3 F4 x + y + F1 F2 F3 F5 F4 ? DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE Se elije un sistema de referencia con su convención de signos y las fuerzas se colocan en él y saliendo del origen
Segunda Ley de Newton Para determinar las componentes, se procede como en el tema de vectores, teniendo cuidado al seleccionar el ángulo, ya que en algunos problemas el ángulo se mide con respecto al eje de las y´s, por lo que las funciones trigonométricas que relacionan a las componentes con la magnitud del vector y el ángulo cambian. Por tal motivo se recomienda siempre formar el triángulo rectángulo y a él aplicarle las funciones sen ?, cos ? y tan ? Aplicación de las funciones de acuerdo al ángulo x + y + F2 ? x + y + F2 ? Fx = ¦F2¦cos ?
Fy = ¦F2¦sen ? Fx = ¦F2¦sen ?
Fy = ¦F2¦cos ? Fx Fy Fy Fx
TERCERA LEY DE NEWTON Todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, provienen de la interacción mutua del mismo con el medio ambiente, debido a que es mutua, una fuerza sola o aislada es una imposibilidad física, las fuerzas actúan por parejas, una de ellas es la que ejerce el cuerpo sobre el medio ambiente y la otra es la que el medio ambiente ejerce sobre el cuerpo (para efecto de aplicaciones, ésta es la que nos interesa). A una de ellas (cualquiera) se le llama Fuerza de Acción en tanto que a la otra Fuerza de Reacción.
Ambas son de igual magnitud pero en sentido diferente, se encuentran sobre la línea de acción que une a los dos cuerpos y lo importante de la tercera ley es que actúan sobre cuerpos diferentes.
Si actuasen sobre el mismo cuerpo, al aplicar la segunda ley tendríamos que ambas se anularían y consecuentemente no tendríamos movimiento (aceleración).
Para ilustrar lo anterior, imaginemos que nos recargamos con la palma de la mano sobre un muro. El muro nos detiene y evita que caigamos, esa es la fuerza que el muro ejerce sobre nosotros, la otra fuerza, es la que nosotros ejercemos sobre el muro, si éste no estuviese bien pegado, al aplicarle una mayor fuerza podríamos derribarlo.
Tercera Ley de Newton Otro ejemplo es cuando queremos cerrar una puerta de un golpe utilizando nuestro pie descalzo. Nosotros ejercemos una fuerza sobre la puerta y ésta hace que se cierre (acción); la puerta a su vez ejerce una fuerza sobre nosotros, la cual experimentamos mediante el dolor del pie (reacción).
Para que nos quede claro el concepto, analicemos el siguiente ejemplo donde se tiene un bloque de masa m colocado sobre un piso horizontal apoyado en ladrillos.
En éste ejemplo tenemos dos cuerpos; uno es el bloque y el otro el piso, hagamos el análisis para ambos cuerpos utilizando diagramas de cuerpo libre:
Tercera Ley de Newton Sobre el bloque x y N W N = Fuerza que el piso ejerce sobre el bloque (evita que el bloque se hunda) W = Fuerza que la Tierra ejerce sobre el bloque, (lo que llamamos peso) Sobre el piso y x N´ W W´ N´ = Fuerza que los ladrillos ejercen sobre el piso W´ = Fuerza que la Tierra ejerce sobre El Piso (peso del piso) piso (peso del piso) W = Fuerza que el bloque ejerce sobre el Piso (peso del bloque) bloque piso ladrillo Como el sistema está en reposo, las fuerzas que apuntan hacia arriba deben de ser iguales a las que apuntan hacia abajo N = W ; N´ = W´ + W
Tercera Ley de Newton Si deseamos encontrar por parejas a las fuerzas (acción y reacción), debemos expresarlas de la siguiente forma:
Si se observa bien, al encontrar una de las fuerzas, la otra surge inmediatamente, lo único que tenemos que hacer es invertir los subíndices. Por ejemplo: FT / b (acción), Fb / T (reacción).
Tercera Ley de Newton Sobre la caja N P´´ W F Sobre la cuña N W Sobre el hombre N P´ W P Son las fuerzas Normales y Pesos de los cuerpos. Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la cuña. Es la fuerza que la cuña ejerce sobre el hombre. Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la caja, y es la suma de P´ + f´ Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la Tierra (fuerza de rozamiento), el hombre empuja a la Tierra hacia atrás Es la fuerza que la Tierra ejerce sobre el hombre, es la contraparte de la anterior y es la que nos hace avanzar o caminar Es la fuerza de rozamiento entre la caja y la Tierra, ésta fuerza puede ser menor que f N, W P P´ P´´ f f´ F f´ f P* P* Es la fuerza que la caja ejerce sobre el hombre, es la contrparte de P´´
Tercera Ley de Newton La fuerza normal recibe ese nombre debido a que es normal o perpendicular a las superficies en contacto.
El peso siempre es vertical y dirigido hacia el centro de la Tierra.
La fuerza de rozamiento es paralela a las superficies en contacto y siempre se oponen al movimiento (o bien son contrarias a la dirección del movimiento).
Aplicaciones de las Leyes de Newton Para resolver problemas aplicando las leyes de Newton, se recomienda: Hacer el dibujo. Hacer el diagrama de cuerpo libre o aislado, considerando al cuerpo como si fuese un punto. Colocar en el diagrama y saliendo del punto, todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Elegir un sistema de referencia (plano cartesiano) Colocar en el sistema la convención de signos. Tomar como eje positivo el de la dirección de movimiento del cuerpo. Marcar los ángulos que forman las fuerzas con respecto a los ejes. Descomponer a las fuerzas en sus componentes rectangulares. Cuando se trabaje con planos inclinados, uno de los ejes debe de ser paralelo al plano. Aplicar la Segunda Ley de Newton, haciendo la sumatoria de las componentes de las fuerzas sobre los ejes.
Aplicaciones de las Leyes de Newton EJEMPLO: Una persona empuja una caja de 50 kg sobre una superficie horizontal lisa aplicando una fuerza de 30 Nt. Determine la aceleración de la caja.
La única fuerza que está actuando sobre el eje de las x es la Fuerza P aplicada, además, tal fuerza es igual a la componente Px , por lo tanto:
despejando a la aceleración: (Gp:) Diagrama de Cuerpo libre (Gp:) N (Gp:) P (Gp:) W (Gp:) x+ (Gp:) y+
Aplicaciones de las Leyes de Newton En este tipo de problemas donde no existe fricción, no es necesario realizar la suma de fuerzas en el eje de las y a menos que se solicite.
Las fuerzas que actúan sobre el eje de las y son la Normal (positiva hacia arriba) y el peso (negativo hacia abajo).
Como no hay movimiento en dicho eje, la aceleración aquí es cero (no hay cambios de velocidad). Por lo tanto:
ya que el peso es igual a la masa por la aceleración de la gravedad.
Aplicaciones de las Leyes de Newton EJEMPLO.- Del ejemplo anterior, la persona le aplica a la caja la misma fuerza pero haciendo un ángulo de 200 con respecto a la horizontal. Determine la aceleración que tal fuerza le produce a la caja.
donde las componentes rectangulares de P se determinan a partir del triángulo que se forma:
Aplicando la suma de fuerzas en x: (Gp:) Diagrama de Cuerpo libre (Gp:) N (Gp:) P (Gp:) W (Gp:) x+ (Gp:) y+ (Gp:) 200 (Gp:) Px (Gp:) Py
Aplicaciones de las Leyes de Newton
Como se puede observar de los dos resultados, la aceleración máxima se obtiene cuando la fuerza aplicada es horizontal. A medida que aumentamos el ángulo de aplicación de la fuerza, la aceleración disminuye.
Aplicaciones de las Leyes de Newton EJEMPLO: Del mismo problema pero cuando la caja es subida por un plano inclinado 200 con respecto a la horizontal. (Gp:) Diagrama de Cuerpo libre (Gp:) N (Gp:) P (Gp:) W (Gp:) x+ (Gp:) y+ (Gp:) 200 (Gp:) 200 (Gp:) Wy (Gp:) Wx
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