Traducir problemas del mundo real a modelos matemáticos.
No leer en un problema más de lo que se da. Por ejemplo, no introduzca restricciones adicionales o matices lógicos o datos imaginarios que en su opinión podrían hacer más realista el modelo.
1. PROBLEMA DE PRODUCCIÓN
Un taller tiene tres (3) tipos de máquinas A, B y C; puede fabricar dos (2) productos 1 y 2, todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden: Primero a la máquina A, luego a la B y luego a la C. La tabla siguiente muestra:
1. Las horas requeridas en cada máquina, por unidad de producto
2. Las horas totales disponibles para cada máquina, por semana
3. La ganancia por unidad vendida de cada producto
¿Que cantidad de cada producto (1 y 2) se debe manufacturar cada semana, para obtener la máxima ganancia?
¿Cuantas horas semanales sobran en cada departamento?
Formulación
Definición de las variables:
Xj = Unidades semanales a producir del articulo j-ésimo ( j=1 y 2)
Función objetivo:
Maximizar Z = X1 + 1.5 X2 Con las siguientes restricciones (S.A:):
Restricciones:
2X1 + 2X2 = 16 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la MQ A
X1 + 2X2 = 12 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la MQ B
4X1 + 2X2 = 28 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la MQ C
Condición de no negatividad:
Xj =0 ; j = 1 y 2
Solución óptima
x1= 4 x2=4 Z=10
Tiempo sobrante de cada máquina:
Máquina A Se usan todas las horas semanales disponibles
Máquina B Se usan todas las horas semanales disponibles
Máquina C Sobran 4 horas semanales
2. OPTIMIZACIÓN DEL CORTE DE MADERA
En una marquetería se fabrican cuadros, cuyos marcos se obtienen de cortar varillas para bocel, cuya longitud original es de 300 cm.
El Departamento de ventas tiene pedidos para el siguiente mes de 175 cuadros de 119 x 90 cm. En el método actual el Jefe de producción ordena que se corten 350 boceles de 119 cm. y 350 boceles de 90 cm. (Cada cuadro lleva 2 boceles de cada dimensión).
Con ésta manera de cortar la madera, la Fábrica necesita el capital para comprar 292 varillas de 300 cm. cada una y genera 14450 cm. de desperdicio.
Formule un problema de programación lineal que minimice el desperdicio, la compra de materia prima y optimice la productividad.
Total de varillas de 300 cm. a comprar: 175 + 117 = 292 varillas
Total de centímetros de desperdicio: 10850 + 3600 = 14450 cm.
Formulación
Xj = Número de varillas a cortar de la forma j-ésima (j = 1, 2 y 3)
Formas posibles de cortar la varilla:
Solución óptima
X1 * = 89 Cortar 89 veces de la manera 1
X2 * = 172 Cortar 172 veces de la manera 2
X3 * = 2 Cortar 2 veces de la manera 3
Z * = 5750 centímetros de desperdicio
Número de varillas a comprar: 89 + 172 + 2 = 263 varillas de 300 cm.
Cuadro comparativo de los ahorros:
Conceptos Materia prima Desperdicio (cm.)
Antes 292 14450
Después 263 5750
Diferencia 29 8700
3. CORRIDAS DE PRODUCCIÓN
Una empresa produce un artículo cuya unidad está compuesta por 4 unidades de componente A que se producen por corrida de producción a partir de las materias primas 1 y 2 y en tres departamentos.
Las Materias primas y la Producción por corrida de producción se muestra en la siguiente tabla:
Elabore un plan de producción para maximizar la cantidad de artículo a producir.
Formulación
XJ = Número de corridas de producción en el departamento j-ésimo (j = 1,2 y 3)
Número de componentes A: 7X1 + 6X2 + 8X3
Número de artículos completos con los componentes A: (7X1 + 6X2 + 8X3) / 4
Maximizar (7X1 + 6X2 + 8X3) / 4
S.A:
8X1 + 5X2 + 3X3 = 100 Restricciones debidas a la disponibilidad
6X1 + 9X2 + 8X3 = 200 de materias primas tipo 1 y 2
XJ =0 j = 1, 2 y 3 Enteros Restricción de no negatividad
4. EL PROBLEMA DE LOS PAQUETES DE TUERCAS
Un distribuidor de ferretería planea vender paquetes de tornillos mezclados.
Cada paquete pesa por lo menos 2 libras y está compuesto por tres tamaños de tornillos, los cuales se compran en lotes de 200 libras. Los lotes de tamaños 1, 2 y 3 cuestan respectivamente $20, $8 y $12, además:
a) El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del paquete.
b) El peso de los tamaños 1 y 2 no debe ser mayor que 1.6 libras
c) Cualquier tamaño de tornillo debe ser al menos el 10% del paquete total
¿Cuál será la composición del paquete que ocasionará un costo mínimo?
Formulación
Xj= Peso en libras de los tornillos del tamaño j-ésimo (j=1,2 y 3) en el paquete
Observe que:
20/200 es lo que vale una libra de tornillos tipo 1
8/200 es lo que vale una libra de tornillos tipo 2
12/200 es lo que vale una libra de tornillos tipo 3
Minimizar Z = 20/200 X1 + 8/200 X2 + 12/200 X3
S.A:
X1 + X3 = (X1 + X2 + X3)/2 Los tamaños 1 y 3 al menos la mitad del peso
X1 + X2 =1.6 Los tamaños 1 y 2 no deben ser mayor de 1.6 lb.
X1 = 0.1 (X1 + X2 + X3) El tamaño 1 debe ser al menos el 10% del total
X2 = 0.1 (X1 + X2 + X3) El tamaño 2 debe ser al menos el 10% del total
X3 = 0.1 (X1 + X2 + X3) El tamaño 3 debe ser al menos el 10% del total
X1 + X2 + X3 = 2 El paquete debe ser al menos de 2 libras
XJ =0 j = 1, 2 y 3 Condición de no negatividad
Minimizar Z = 0,1X1 + 0,04X2 + 0,06X3
S.A:
X1 – X2 + X3 = 0
X1 + X2 = 1.6
0,9X1 -0,1X2 – 0,1X3 = 0
-0,1X1 +0,9X2 – 0,1X3 = 0
-0,1X1 –0,1X2 + 0,9X3 = 0
X1 + X2 + X3 = 2
XJ =0 j= 1, 2 y 3
Solución óptima
X1 = 0.2 Libras del tamaño 1
X2 = 1.0 Libras del tamaño 2
X3 = 0.8 Libras del tamaño 3
Z = $0.108 Costo mínimo del paquete
5. PROBLEMA CLÁSICO DEL TRANSPORTE
Un fabricante tiene tres centros de distribución en: Bogotá, Medellín y Cali. Estos centros tienen disponibilidades de: 20, 40 y 40 unidades respectivamente. Sus detallistas requieren las siguientes cantidades: Pereira 25, Tulúa 10, Anserma 20, Ibagué 30 y Armenia 15.
El costo de transporte por unidad en dólares entre cada centro de distribución y las localidades de los detallistas se dan en la siguiente tabla:
¿Cuantas unidades debe mandar el fabricante desde cada centro de distribución a cada detallista, de manera que los costos totales de transporte sean mínimos?
Formulación
Xij = Cantidad de unidades a enviar desde el centro de distribución i-ésimo (1=Bogotá, 2=Medellín, 3=Cali), al detallista j-ésimo (1=Pereira, 2=Tulúa, 3=Anserma, 4=Ibagué, 5=Armenia)
Minimizar Z = 55X11 + 30X12 + 40X13 + 50X14 + 40X15 + 35X21 + 30X22 + 100X23 + 45X24 + 60X25 + 40X31 + 60X32 + 95X33 + 35X34 + 30X35
S.A:
X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 20 Restricciones debidas a la disponibilidad
X21 +X22 + X23 + X24 + X25 = 40 de unidades en los respectivos
X31 +X32 + X33 + X34 + X35 = 40 centros de distribución 1, 2 y 3
X11 + X21 + X31 = 25 Restricciones debidas a los requerimientos
X12 + X22 + X32 = 10 de unidades,
X13 + X23 + X33 = 20 de los detallistas respectivos 1, 2, 3, 4 y 5
X14 + X24 + X34 = 30
X15 + X25 + X35 = 15
Xij =0 ; i = 1, 2 y 3 ; j = 1, 2, 3, 4 y 5
Solución óptima
X11 = 0 X 21 = 25 X 31 = 0
X12 = 0 X 22 = 10 X 32 = 0
X13 = 20 X 23 = 0 X 33 = 0
X14 = 0 X 24 = 5 X 34 = 25
X15 = 0 X 25 = 0 X 35 = 15
Z = $ 3525
6. PROBLEMA DE LOCALIZACIÓN DE PLANTA
Una empresa del sector textil, que opera en todo el país, dispone de la siguiente configuración:
Dos plantas de fabricación en Pereira e Ibagué, con capacidades de 900 y 1.500 unidades respectivamente.
Cuatro almacenes regionales de distribución que sirven a los clientes de sus respectivas zonas en: Neiva, Medellín, Cali y Bogotá, con demandas de: 700, 800, 500 y 400 unidades respectivamente.
En los próximos años, la empresa espera un crecimiento de la demanda del orden del 25%, lo cual ha llevado a la Dirección de la misma a plantearse la apertura de una nueva fábrica.
A la vista de los criterios que la empresa estima importantes para la localización de la nueva planta, existen dos alternativas a considerar: Pasto (alternativa 1) y Villavicencio (alternativa 2). La elección recaerá en aquella que provoque los menores costos de transporte entre las fábricas y los almacenes, dado que ambas parecen ser igualmente convenientes respecto a otros factores.
La tabla siguiente muestra los costos de transporte unitarios entre cada origen y destino.
Formulación
(a) Considerando establecer la nueva planta en Pasto
Xij = Unidades a enviar desde la planta i-ésima (1=Pereira, 2=Ibagué, 3=Pasto) al almacén j-ésimo (1=Neiva, 2=Medellín, 3=Cali, 4=Bogotá)
Minimizar Z = 6X11 + 4X12 + 2X13 + 6X13 + 2X21 + 3X22 + 7X23 + 5X24 + 6X31 + 4X32 + 4X33 + 8X34
S.A:
X11 + X12 + X13 + X14 = 900 Restricciones debidas a la disponibilidad
X21 + X22 + X23 + X24 = 1500 de unidades en
X31 + X32 + X33 + X34 = 600 las plantas 1, 2 y 3
X11 + X21 + X31 = 700 + 175 = 875 Restricciones debidas a los requerimientos
X12 + X22 + X32 = 800 + 200 = 1000 de unidades de los almacenes regionales
X13 + X23 + X33 = 500 + 125 = 625 de distribución 1, 2, 3 y 4
X14 + X24 + X34 = 400 + 100 = 500
Xij =0 ; i = 1,2 y 3 ; j = 1,2,3 y 4
Solución óptima
X 13 = 625 X 14 = 275 X 21 = 875 X 22 = 400 X 24 = 225 X 32 = 600
Z = $9375
(b) Considerando establecer la nueva planta en Villavicencio:
Xij = Unidades a enviar desde la planta i-ésima (1=Pereira, 2=Ibagué, 3=Villavicencio) al almacén j-ésimo (1=Neiva, 2=Medellín, 3=Cali, 4=Bogotá)
Minimizar
Z = 6X11 + 4X12 + 2X13 + 6X13 + 2X21 + 3X22 + 7X23 + 5X24 + 6X31 + 3X32 + 4X33 + 2X34
S.A:
X11 + X12 + X13 + X14 = 900 Restricciones debidas a la
X21 + X22 + X23 + X24 = 1500 disponibilidad de unidades en
X31 + X32 + X33 + X34 = 600 las plantas 1, 2 y 3
X11 + X21 + X31 = 875 Restricciones debidas a los requerimientos
X12 + X22 + X32 = 1000 de unidades de los almacenes regionales
X13 + X23 + X33 = 625 de distribución 1, 2, 3 y 4
X14 + X24 + X34 = 500
Xij =0 ; i = 1,2 y 3 ; j = 1,2,3 y 4
Solución óptima
X 12 = 275 X 13 = 625 X 21 = 875 X 22 = 625 X 32 = 100 X 34 = 500
Z = $7275
De los resultados obtenidos se deriva que Villavicencio es la mejor localización bajo el criterio de minimizar los costos del transporte.
7. El problema de asignaciones
Se usan cuatro barcos cargueros para transportar bienes de un puerto a otros cuatro puertos (numerados 1, 2, 3 y 4). Se puede usar cualquier barco para hacer cualquiera de los cuatro viajes. Sin embargo, dadas algunas diferencias entre los barcos y las cargas, el costo total de cargar, transporte y descargue de bienes para las distintas combinaciones de barcos y puertos varían mucho.
Estos costos se muestran el la siguiente tabla:
El objetivo es asignar los barcos a los puertos en una correspondencia uno a uno, de manera que se minimice el costo total de los cuatro barcos.
Xij = 0, No asigne el barco i-ésimo ( i = 1, 2, 3 y 4 ) al puerto j-ésimo ( j = 1, 2, 3 y 4 )
Xij = 1, Si asigne el barco i-ésimo ( i = 1, 2, 3 y 4 ) al puerto j-ésimo ( j = 1, 2, 3 y 4 )
Minimice
Z = 5X11 + 4X12 + 6X13 + 7X14 + 6X21 + 6X22 + 7X23 + 5X24 + 7X31 + 5X32 + 7X33 + 6X34 + 5X41 + 4X42 + 6X43 + 6X44
S.A:
X11 + X12 + X13 + X14 = 1 Restricciones que aseguran
X21 + X22 + X23 + X24 = 1 que un solo barco
X31 + X32 + X33 + X34 = 1 es asignado a un solo puerto
X41 + X42 + X43 + X44 = 1
X11 + X21 + X31 + X41 = 1 Restricciones que aseguran
X12 + X22 + X32 + X42 = 1 que un solo puerto
X13 + X23 + X33 + X43 = 1 es asignado a un solo barco
X14 + X24 + X34 + X44 = 1
Xij =0 ; i = 1,2,3 y 4 ; j = 1,2,3 y 4
Solución óptima
X * 11 = 1 X * 12 = 0 X * 13 = 0 X * 14 = 0
X * 21 = 0 X * 22 = 0 X * 23 = 0 X * 24 = 1
X * 31 = 0 X * 32 = 1 X * 33 = 0 X * 34 = 0
X * 41 = 0 X * 42 = 0 X * 43 = 1 X * 44 = 0
Z * = 21
Barco 1 ——–Puerto 1 ——–Costo $ 5
Barco 2 ——–Puerto 4 ——–Costo $ 5
Barco 3 ——–Puerto 2 ——–Costo $ 5
Barco 4 ——–Puerto 3 ——–Costo $ 6
Costo total mínimo: $21
8. Problema de la mezcla
Una compañía de petróleos produce tres tipos de gasolina: Super, Normal y Euro. Se obtienen por mezcla de tres calidades de crudo (A,B,C), que contienen tres componentes (1,2,3). La participación de estos componentes en la composición de cada crudo es:
Las especificaciones de los tres tipos de gasolina son:
Los costos por barril de crudo A, B y C son: $650, $500 y $450, respectivamente.
El presupuesto diario de compra es de $50 Millones.
La disponibilidad diaria de crudos B y C se limita, respectivamente, a 3000 y 7000 barriles.
Ciertos acuerdos obligan a comprar al menos 2500 barriles de A.
Las demandas de gasolina Super y Normal son de 2000 y 2500 barriles diarios, que deben satisfacerse. La compañía desea maximizar la producción de gasolina Euro.
Formule un modelo de programación lineal que de respuesta al problema planteado por la compañía.
10. El problema del financiero
Un inversionista tiene la intención de hacer varias inversiones, las cuales se extenderán por un periodo de cinco años, al final del cual necesitará de todo el capital. Las inversiones se hacen el 1º de Enero de cada año y son:
Inversión A: Disponible el 1º de Enero de cada año y produce el 15% de interés al final de cada año.
Inversión B: Disponible en dos años a partir de ahora (Comienzo del 3º año), y produce un retorno del 25% al final del 3º año y lo máximo que el inversionista considerará son $40.000
Inversión C: Disponible en un año a partir de ahora (Comienzo del 2º año), y produce el 40% al final del cuarto año. Esta inversión será de $30.000 como máximo.
El inversionista tiene $100000 disponible para las inversiones.
¿Cuál debe ser el portafolio de inversión que le permita obtener la máxima cantidad de dinero al final del año quinto?
Formulación:
Xij = Cantidad de dinero a invertir en la alternativa i-ésima (i=A, B y C) al principio del año j-ésimo (j = 1, 2, 3, 4 y 5 ).
Capital Inicial: $100.000
Para construir las restricciones piense, que al principio de cada año va a tener disponibles algunas alternativas de inversión para las que no podrá invertir más de lo tenga disponible en ese momento.
El lado izquierdo de las restricciones, representa la cantidad de dinero que el inversionista invertirá en las alternativas disponibles al principio de cada año y el lado derecho representa la cantidad de dinero disponible para invertir, que es la suma de: El capital inicial + La suma de todos los intereses recibidos hasta la fecha – Los capitales que están invertidos en ese momento y que no han retornado.
Maximizar Z = 0,15 (XA1 + XA2 + XA3 +XA4 + XA5) + 0,25XB3 + 0,4XC2
S.A:
Restricciones debidas a la cantidad de dinero disponible al principio de cada uno de los cinco años:
XA1 = 100000
XA2 + XC2 = 100000 + 0,15XA1
XA3 + XB3 = 100000 + 0,15(XA1 + XA2) – XC2
XA4 = 100000 + 0,15(XA1 + XA2 + XA3) + 0,25XB3 – XC2
XA5 = 100000 + 0,15(XA1 + XA2 + XA3 +XA4) + 0,25XB3 + 0,4XC2
XB3 = 40000
XC2 = 30000
Xij =0 ; i = A, B y C ; j = 1, 2, 3, 4 y 5
Solución óptima
X A1 = $100000 XA2 = $115000 X A3 = $ 92250 X A4 = $156087,50
X A5 = $179500,6 XB3 = $ 40000 X C2 = $0
Z = $206425,7
13. El problema de los manteles
En un salón de banquetes se tienen programados banquetes durante los siguientes cinco días. Los requisitos de manteles por banquete son:
El problema del administrador es que se requieren manteles diferentes a los que se usan, por lo que tendrá que comprar ese tipo de manteles.
El costo de cada mantel es de $40 y el costo de mandarlo a la lavandería bajo servicio urgente para tenerlo listo a los dos días es de $10 por mantel.
¿Cuál es el modelo que le permitirá al administrador cumplir con sus requisitos y además minimizar el costo total?
Formulación:
Xi = Número de manteles a comprar para el banquete i-ésimo (i = 1, 2, 3, 4 y 5)
Yi = Número de manteles a mandar a lavar después del banquete i-ésimo (i = 1, 2 y 3)
Ii = Número de manteles limpios al final de cada banquete i-ésimo (i = 1, 2, 3 y 4)
Minimizar Z = 40(X1 + X2 +X3 +X4 +X5) + 10(Y1 + Y2 + Y3)
S.A:
X1 = 80 + I1
I1 +X2 = 60 + I2
Y1 + I2 + X3 = 100 + I3
Y2 + I3 + X4 = 130 + I4
Y3 + I4 + X5 = 200
Y1 =80
Y2 =60
Y3 =100
Xi =0 ; i = 1, 2, 3, 4 y 5
Ii =0 ; i = 1, 2, 3 y 4
Yi =0 ; i = 1, 2 y 3
Solución óptima
X 1 = 80 X 2 = 60 X 3 = 20 X 4 = 70 X 5 = 100
Y 1 = 80 Y 2 = 60 Y 3 = 100
I i = 0 ; i = 1, 2, 3, 4
Z = $15600
Autor:
Msc. Ing. Mohammed Portilla Camara
Gerente de Operaciones
Grupo Groming Ingeniería SAC. y
CEENQUA: Certifications for Engineering of Quality
La Molina, Lima – Perú
Estudios realizados en: Ingeniería Industrial, Ingeniería de Minas e Ingeniería Informática
Universidad de Lima
Pontificia Universidad Católica del Perú
Universidad Nacional de Ingeniería
Escuela de Negocios para Graduados – ESAN
 Página anterior | Volver al principio del trabajo | Página siguiente  |