Matemática propedeutica, para maestría en administración de empresas

PARTE I.

Nociones matematicas relevantes

1. CONJUNTOS

• CONCEPTO INTUITIVO DE CONJUNTO Y NOTACIÓN DE CONJUNTOS

DEFINICION: Podemos considerar un conjunto como una colección (o grupo bien definido de objetos, llamados elementos del conjunto. Bien definida: No debe haber duda de si un cierto objeto pertenece o no al conjunto.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS El conjunto de los números naturales (bien definido) El conjunto de las mujeres bonitas (mal definido) VERIFICANDO SU COMPRENSION Podemos considerar como conjunto bien definido o mal definido:

• a) Es conjunto bien definido:

Es conjunto mal definido

• b) Es conjunto bien definido:

Es conjunto mal definido NOTACION: Las letras mayúsculas se utilizan generalmente para denotar conjuntos y las minúsculas, para denotar elementos.

Escribimos:

• como abreviatura de a es un elemento de A o a pertenece al conjunto A

• como abreviatura de a no es un elemento de A o a no pertenece al conjunto A

Existen dos maneras para especificar a un conjunto: por extensión y por comprensión.

• a) Por extensión: se hace una lista de los elementos que pertenecen al conjunto y se encierra dicha lista entre llaves

• b) Por comprensión: se encierra entre llaves una frase descriptiva conviniendo que son elementos del conjunto aquellos objetos, y sólo aquellos que poseen la propiedad descrita.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

1.

Advierta

2.

Advierta

OBSERVACIONES

• a) Cuando el conjunto se especifica por extensión, cada elemento debe escribirse una sola vez

• b) El orden de los elementos es irrelevante.

VERIFICANDO SU COMPRENSION

DEFINICION: Se llama conjunto vacío, y se denota con la letra griega el conjunto que no tiene elementos.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

VERIFICANDO SU COMPRENSION

1.2 SUBCONJUNTOS DEFINICION: El conjunto A es un subconjunto del conjunto B, si todo elemento de A es elemento de B.

NOTACION: Se usa el símbolo

• para indicar que A es un subconjunto de B y se lee: A es un subconjunto de B o bien A esta incluido en B

• para indicar que A no es un subconjunto de B y se lee: A no es un subconjunto de B o bien A no esta incluido en B

ADVIERTA:

si y sólo si implica

si y sólo si no implica o bien pero

NOTAS: a) todo conjunto es subconjunto de si mismo b) el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto A.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

• 1. Si y entonces En efecto, cada elemento de B, 1 y 2 son elementos de A.

• 2. Si y entonces porque 1 es un de A pero no es un elemento de B.

• 3. Si entonces A tiene los siguientes subconjuntos

NOTA: Para un conjunto de n elementos, es posible formar 2n subconjuntos.

EJEMPLO ILUSTRATIVO

tiene 2 elementos; por lo tanto tendrá 4, (22) subconjuntos.

VERIFICANDO SU COMPRENSION

DEFINICION: Dos conjuntos A y B son iguales (A=B) si todo elemento de A es elemento de B y todo elemento de B es elemento de A.

En Símbolos: A=B si y sólo si y

EJEMPLO ILUSTRATIVO

Si y

entonces A=B VERIFICANDO SU COMPRENSION

1.3 OPERACIONES CON CONJUNTOS DEFINICION: La unión de dos conjuntos, A y B, denotada por es el conjunto de elementos que pertenecen por lo menos a uno de los dos conjuntos A o B.

se lee "A unión B" En Símbolos:

DEFINICION: La intersección de dos conjuntos, A y B, denotada por es el conjunto de elementos que pertenecen tanto a A como a B.

se lee "A intersección B" En Símbolos:

DEFINICION: Dos conjuntos A y B son disjuntos si

ADVIERTA: Dos conjuntos disjuntos no tiene elementos comunes

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

1. Dados los conjuntos y

hallar y

SOLUCION

y

por lo tanto

2. Dados los conjuntos y encontrar y SOLUCION

(A y B son disjuntos

) VERIFICANDO SU COMPRENSION

DEFINICION: La diferencia de dos conjuntos A y B, denotada por A–B, es el conjunto de todos los elementos de A que no están en B A – B se lee " A menos B" En símbolos EJEMPLO ILUSTRATIVO Dados los conjuntos y

Encontrar A-B, B-A, y C-A SOLUCION

= C (advierta, la diferencia entre dos conjuntos disjuntos es el igual al minuendo)

VERIFICANDO SU COMPRENSION

DEFINICION: Se llama "conjunto universal", y se denota por U, al conjunto que contiene a todos los elementos disponibles para formar cualquier conjunto, en una situación determinada EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 1. Para formar conjuntos formados por letras, U se define así:

2. Para el conjunto el universo es U = N

VERIFICANDO SU COMPRENSION

DEFINICION: Si U es el conjunto universal y entonces "el complemento de A", denotado por es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A.

se lee "A complemento", y está formado por los elementos que le faltan al conjunto A para ser igual al universal.

En símbolos:

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS Sea y

Encontrar:

a) b) c) d) e) f)

SOLUCION Para a) Para b) Para c) Para d) Para e) Para f)

ADVIERTA:

=

=

Lic. Mauro H. Henríquez Rauda

COMENTARIOS

• El complemento del conjunto vacío es el conjunto universal

• 

• El complemento del universal es el conjunto vacío

• 

LEYES DE MORGAN

=

=

VERIFICANDO SU COMPRENSION

1.4 DIAGRAMA DE VENN

Los diagramas de Venn son gráficos que se utilizan para representar conjuntos. Generalmente se emplea a un rectángulo para representar al conjunto Universal U, y cualquier figura cerrada dentro del rectángulo representará un subconjunto de U

Los diagramas de Venn son de gran utilidad en la ilustración de las operaciones entre conjuntos y en problemas que se resuelven aplicando combinaciones de estas operaciones.

CASO 1. Para ilustrar las operaciones entre conjuntos, se sombrea la parte que nos interesa

CASO 2. Problemas que se resuelven aplicando combinaciones de operaciones con conjuntos.

Para facilitar el uso de diagramas de Venn identificamos las regiones que determinan el diagrama. Así:

3. En una encuesta aplica a 260 estudiantes se obtuvieron los siguientes datos:

64 toman un curso de matemáticas 94 toman un curso de computación 58 toman un curso de administración 28 toman un curso de matemáticas y administración 26 toman un cursi de matemática y computación 22 toman un curso de administración y computación 14 toman los tres cursos a)

¿Cuántos estudiantes de la encuesta no toman curso alguno? b) ¿Cuántos estudiantes de la encuesta toman solo el curso de computación?

2. Ecuaciones lineales

2.1 AXIOMAS DE IGUALDAD Sean a,b,c números reales i.

Ley reflexiva: a=a ii. Ley simétrica: Si a=b entonces b=a iii.

Ley transitiva: Si a=b y b=c entonces a=c iv.

Axioma de sustitución: si a=b, entonces, podemos sustituir a por b en cualquier expresión matemática v.

Principio fundamental de las igualdades (PF): si efectuamos las mismas operaciones con cantidades iguales, los resultados serán iguales

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 1. Si 0 = 2x + 7, entonces 2x + 7 = 0 (por simetría) 2. Si z = 3x + 7 y z = 2x – 1, entonces 3x + 7 = 2x – 1 (por transitividad) 3. Si 6x = 1, entonces 6x) =

1) (Por PF ó por sustitución) VERIFICANDO SU COMPRENSION

2.2 ECUACIONES Y CONCEPTOS RELACIONADOS CON LAS ECUACIONES DEFINICION:

Se llama ecuación a una igualdad entre dos expresiones algebraicas Recordamos: expresión algebraica es un número, una variable o una combinación de números y variables por medio de operaciones: suma, resta, multiplicación, cociente, potenciación y radicación.

CONCEPTOS RELACIONADOS CON LAS ECUACIONES.

• Incógnitas de una ecuación: son las variables que aparecen en la expresiones algebraicas de las ecuaciones

• Raíz o solución de una ecuación: es el número (o los números) para el cual la ecuación tiene el mismo valor numérico en sus dos miembros.

NOTA: al sustituir la incógnita de una ecuación por un valor numérico se dan dos casos.

• Cada miembro asigna un número real ó

• Al menos un miembro de la ecuación no origina un número real.

En el primer caso se deduce que el valor numérico es un valor permisible; en el segundo, que es un valor no permisible.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 1. 6 y son soluciones de la ecuación porque ambos miembros tiene el mismo valor numérico, 8, cuando x=6 y, -3, cuando x=.

2. 5 y 0 no son raíces de la ecuación por que 5 es un valor no permisible de x y si x=0, la igualdad no se cumple

VERIFICANDO SU COMPRENSION

CONJUNTO SOLUCION DE UNA ECUACION: Son todos los números para los cuales se cumple la igualdad que define a una ecuación.

ECUACION IDENTIDAD: Es aquella en la cual la igualdad se cumple para todos los valores permisibles de la incógnita.

ECUACION IMPOSIBLE: Es aquella que no tiene solución.

ECUACION CONDICIONADA: Es aquella en la cual la igualdad sólo se cumple para algunos valores de la incógnita EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

• a) es una identidad por que la igualdad se cumple para todos los valores permisibles de "x", los números reales, excluido el 2.

• b) es una ecuación imposible.

• c) es una ecuación condicionada. La igualdad se cumple si x=2 ó x=-2. El conjunto es C.S =

VERIFICANDO SU COMPRENSION

ECUACIONES EQUIVALENTES: Son las que tienen el mismo conjunto solución

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

• 1. Las siguientes ecuaciones son equivalentes:

y y (x-2)(x+2)=0

• 2. Las siguientes ecuaciones no son equivalentes:

(x-1)(x-5) = 0 y por que no tienen el mismo conjunto SOLUCION Para la primera C.S = Para la segunda C.S =

DEFINICION: Se llama ecuación lineal con una incógnita a cualquier ecuación que pueda escribirse (o este escrita) en la forma ax + b = 0, donde a y b son números reales y a ? 0

NOTA: a las ecuaciones lineales se les llama también, ecuaciones de primer grado por que el mayor exponente con que aparece la incógnita es 1.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 1. La ecuación 3x = 0 es lineal, con a = 3 y b = 0 2. La ecuación -2x = 7 es lineal, con a = -2 y b = -7 3.

No son lineales y ¿Por qué?

2.3. RESOLUCION DE ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE Para resolver una ecuación, simplificamos su forma, lo cual consiste en transformarla en otras ecuaciones equivalente hasta obtener una ecuación equivalente que reúne en uno de sus miembros todos los términos independientes y finalmente se dividen ambos miembros entre el coeficiente de la incógnita. Las transformaciones se hacen aplicando los axiomas de igualdad.

NOTA: Se recomienda comprobar los resultados mediante la sustitución de la incógnita.

NOTA: Nos limitamos a resolver ecuaciones lineales con una incógnita EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.

1. Resolver la ecuación 5x – 7 = 3x – 1 SOLUCION 5x – 7 = 3x – 1 ———————dada 2x – 7 = 1 ————————— principio fundamental de las igualdades 2x = 8 ——————————– principio fundamental de las igualdades X = 4 ———————————- principio fundamental de las igualdades.

Comprobación. Si x = 4: Ambas igualdades se cumplen, por lo tanto x=4 es solución y C.S = 2. Resolver la ecuación SOLUCION

——————————-dada

——————- multiplicando ambos miembros para el m.c.m de los denominadores: 4 y 3

2.4 RESOLUCION DE PROBLEMAS USANDO ECUACIONES

Problema: nos proponemos resolver problemas de la vida real mediante el uso de ecuaciones.

A continuación ilustramos la manera en la que frases y problemas verbales pueden planearse como expresiones algebraicas.

• Un número aumentado en 5 se representa como x+5

• Cinco veces un número disminuido en 4: 5x-4

• Un número supera en 6 a otro: x+6 es un número y x el otro.

• La suma de dos números es 15: sea x un número, 15-x es el otro

• Un número es la tercera parte del otro:

Para plantear la ecuación con la cual se resolverá el problema, conviene leer el enunciado tantas veces como sea necesario hasta que se entienda bien y se puedan diferenciar las magnitudes desconocidas, los datos y las relaciones que sugiere el enunciado del problema. Sólo entonces:

• Represente una de las magnitudes por x y usando los datos represente todas las otras magnitudes en términos de x.

• Determine dos expresiones que sean iguales

• Resuelva la ecuación

• Compruebe la solución.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 1. Don Rogelio cobra un cheque por $10,000 en la ventanilla de un banco. Después de recibir $800 en billetes de cien, la cajera le informa que el resto se lo pagará en billetes de $20 por que sólo le quedan de esa denominación. ¿Cuántos billetes de $20 recibirá Don Rogelio? SOLUCION Sea x el número de billetes de veinte El dinero que recibirá en billetes de veinte es 20x Ya recibió $800.

Debe cumplirse 800 + 20x = 10,000 20x = 9200 2x = 920 X = 460 Recibirá 460 billetes de 20 dólares 2. En un inicio de clases, los Martínez gastaron $224 en la nueva ropa escolar de sus dos hijos. Si la ropa de sus hijos costó del costo de la ropa para el menor. ¿Cuánto gastaron por cada niño? SOLUCION Sea x el gasto de la ropa del hijo menor es el gasto de la ropa del hijo mayor.

Debe cumplirse 3x + 4x = 672 7x = 672 X = 96 Gastaron $96 en la ropa del hijo menor y $128 en la ropa del hijo mayor.

VERIFICANDO SU COMPRENSION 1. El número de mujeres en una clase es 8 mas que el doble de varones. Si hay 72 mujeres en la clase ¿Cuántos varones hay? 2. Amadeo se dio cuenta que ya había resuelto la tercera parte de los problemas de su tarea de matemática, y que al resolver dos problemas más estaría a la mitad de la tarea, ¿Cuántos problemas tenía la tarea?.

2.5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES DEFINICION: A una ecuación que puede escribirse en la forma ax+by=c, donde a, b y c son números reales y a y b no son 0, se llama ecuación lineal con dos variables x y y Resolver una ecuación de la forma ax + by = c para una de las variables "y" es transformarla en otra ecuación equivalente que tenga la variable y como uno de sus miembros. En lugar de resolver para y se dice también despejar y.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS Resuelva la ecuación 3x – 2y = 5 a) Para y b) Para x Para a) Para b) 3x – 2y = 5 3x – 2y = 5 -2y = 5 – 3x 3x = 5 + 2y 2Y = 3x – 5 2y = 3x – 5 y = x =

VERIFICANDO SU COMPRENSION

1. Resuelve para x cada ecuación a) 3x – 5 = 2y b) 2y – 6x – 5 = 0 c) 2 – 4x = y =

2. Resuelva para y cada ecuación a) 2x – y = 5 b) x + 5y = 6 c) x – 2y = 8

DEFINICION: Un par de números (a,b) es solución de la ecuación ax+by = c si al sustituir x por a y la y por b, la igualdad se cumple.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 1. El par (1,5) es solución de 3x + 2y = 13 COMPROBACION 3x + 2y = 2 (5) = 3 + 10 = 13 2. El par (5,1) no es solución de 3x + 2y = 13 SE DEJA COMO EJERCICIO VERIFICANDO SU COMPRENSION 1. ¿Para cuál de las ecuaciones siguientes, el par (2,-3) es una solución? a) 3x – 5y = 21 b) 5x – 3y = 19 c) x + y = 1 2. ¿Para cuál valor de a, el par (a,3) es solución de

DEFINICION:

Un par de números (p,q) es solución del sistema a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Si al sustituir la x por p y la y por q, la igualdad se cumple en ambas ecuaciones.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

1. El par (3,1) es solución del sistema

SOLUCION Si x = 3 y y = 1, entonces

Puesto que la igualdad se cumple en ambas ecuaciones, (3,1) es solución del sistema dado.

2. Determine si el par (3,1) es solución del sistema

SOLUCION Si x = 3 y y = 1, entonces Puesto que sólo una igualdad se cumple (3,1) no es solución del sistema.

VERIFICANDO SU COMPRENSION

1. ¿Para cuál sistema es el par (1,3) una solución? a) b) c)

2. ¿Cuál de los pares dados es solución del sistema? 5x – 3y = 0 7x – y + 16 = 0 a) (0,0) b) (-3,5) c) (-3,-5)

2.6 METODOS ALGEBRAICOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES

Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, es necesario obtener, partiendo de las dos ecuaciones dadas, una única ecuación con una incógnita. Esta operación se llama eliminación. Los métodos de eliminación más usuales son tres: igualación, sustitución y reducción.

ELIMINACION POR IGUALACION

Descripción del método

• a) Se despeja la misma incógnita, por ejemplo la y, en ambas ecuaciones

• b) Se igualan entre sí las dos valores de y que hemos obtenido y ya tenemos una ecuación con una incógnita, la x. Se resuelve esta ecuación para x

• c) Sustituyendo el valor de x en cualquiera de las ecuaciones dadas, se obtiene el valor de y.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

Resolver el sistema

SOLUCION Despejando la y en ambas ecuaciones

9x + 42 = -4z + 16 13x = 16 – 42 13x = -26 X = -2 Sustituyendo x=-2 en 2x +3y = 8, resulta que 2(-2) + 3y = 8 -4 + 3y = 8 3y = 12 y = 4 La solución del sistema es (-2,4) SE DEJA COMO EJERCICIO.

VERIFICANDO SU COMPRENSION

1. Resuelva por el método de igualación.

a) c) e) b) d) f)

ELIMINACION POR SUSTITUCION

Descripción del método

• a) Se resuelve una de las ecuaciones para una de las variables, digamos para la y, (puede ser para la x)

• b) Este valor de y se sustituye en la otra ecuación y ya tenemos una ecuación con una incógnita, la x en cualquiera. Se resuelve esta ecuación para la x

• c) Sustituyendo el valor de x en cualquiera de las ecuaciones dadas, se obtiene el valor de y.

NOTA: La eliminación por sustitución es más fácil cuando uno de los coeficientes en una ecuación es 1.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

Resolver por sustitución el sistema

SOLUCION Como en la segunda ecuación el coeficiente de la y es 1, esta ecuación se resolverá para y. y = 1 – 3x (resolviendo la 2da ecuación para y) 2x-(1-3x) = 9 (sustituyendo en la 1ª) 2x – 1 + 3x = 9 5x = 10 x = 2 y=1–3(2)=1–6 =-5 (sustituyendo el valor de la x en la fórmula que da y) La solución del sistema es (2,-5)

SE DEJA COMO EJERCICIO 2. Resuelva por sustitución el sistema

SOLUCION

(resolviendo la 1ª ecuación para y)

(sustituyendo en la 2da.)

12x – (4 – 3x) – 6 = 0 12x – 4 + 3x – 6 = 0 15x – 10 = 0 3x = 2

La solución del sistema es el par

SE DEJA COMO EJERCICIO EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

1. Resuelva por el método de sustitución

a) c) e) b) d) f)

ELIMINACION POR REDUCCION

Descripción del método

• a) Se multiplica cada ecuación por un número diferente de cero, el cual se elige de tal manera que los coeficientes resultantes de una de las variables, por ejemplo la y, difieran solo en sus signos.

• b) Se suman miembro a miembro las ecuaciones del nuevo sistema (con ello se elimina la y). La ecuación resultante se resuelve para x.

• c) Sustituyendo el valor de x en cualquiera de las ecuaciones dadas, se obtiene el valor de y.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

Resuelva por reducción el sistema Si multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2, resulta que los coeficientes de la y difieren sólo en sus signos.

3 (3x – 2y + 14) = 3 (0), o bien, 9x – 6y + 42 = 0 2 (2x + 3y – 8) = 2 (0), o bien, 4x + 6y – 16 = 0 Sumamos miembro a miembro las ecuaciones del nuevo sistema para eliminar la y y obtener el valor de x. 9x – 6y + 42 = 0 4x + 6y – 16 = 0

13x + 26 = 0 13x = -26 x = -2 Sustituyendo x = -2 en 3x – 2y + 14 = 0 resulta que 3 (-2) – 2y + 14 = 0 -6 – 2y + 14 = 0 – 2y + 8 = 0 2y = 8 y = 4 La solución del sistema es (-2,4)

SE DEJA COMO EJERCICIO NOTA: Cuando en el sistema de ecuaciones dado los coeficientes de una de las variables difieren solo en su signo, se omite el paso 1.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS Resuelva por reducción el sistema Sumamos miembro a miembro las ecuaciones del nuevo sistema para eliminar la y y obtener el valor de x. 3x – 2y = 6 x + 2y = 2

4x = 8 x = 2 Sustituyendo x = 2 en x + 2y = 2 resulta que 2 + 2y = 2 2y = 0 y = 0 La solución del sistema es (2,0)

SE DEJA COMO EJERCICIO.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

1. Resolver por reducción

a) c) e) b) d) f)

3. Funciones

• DEFINICION DE FUNCION Y TERMINOS RELACIONADOS CON LA DEFINICION

NOTACION: Cuando escribimos y=f(x) estamos indicando que "y" es el único elemento en Y que la función f asigna a x en X. Por lo tanto llamamos a f(x) "valor de f en x".

El valor de f en x (que es "y") depende de la elección de x, por lo que se llama "variable dependiente" mientras que a la "x" la denominaremos "variable independiente".

RESTRICCION: En general el dominio, y el codominio de una función f no necesitan ser conjunto de números reales. Sin embargo consideraremos únicamente funciones en las que ambos son subconjuntos de números reales; es decir, consideraremos únicamente "funciones reales de una variable real" Para especificar una función, conociendo una descripción de ella, es suficiente establecer

• a) su dominio y

• b) su regla de correspondencia, es decir una regla para evaluarla.

NOTAS

• 1. La regla de correspondencia que define a una función, usualmente es una fórmula o una ecuación.

• 2. Llamamos "dominio natural de una función" al conjunto de todos los valores de la variable independiente para los que la fórmula (o ecuación) origine un número real. Decimos que la función f está definida en un conjunto S, cuando S está contenido en el dominio natural de f.

• 3. Si se da la regla de correspondencia y no se especifica el dominio, se sobreentiende que éste, es su dominio natural.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 1. Encuentre una fórmula que exprese el área de un cuadrado en función de su perímetro.

2. Un hombre dispone de 40 pies de malla de alambre para cercar un jardín rectangular, utilizando como muro un lado de su casa. Encuentre una fórmula que exprese el área del jardín en función de x (la longitud de uno de sus lados).

Entonces A: =x (40-2x) = 40x – 2

El mayor valor de x será cuando y=0; es decir si 40-2x = 0 o bien x=20

D= VERIFICANDO SU COMPRENSION 1. Con una hoja cuadrada de cartón, de 50 cms por lado, se hará una caja sin tapa, recortando un cuadrado en cada una de sus esquinas y luego doblando los bordes hacia arriba. Expresar:

a) El área de la base y b) El volumen de la caja, en función de la longitud "x" del lado del cuadrado recortado.

2. Un cable de 100 cms de longitud se corta en dos pedazos. Con un pedazo que tiene x cms de longitud se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es el doble de la altura. Expresar la suma de las áreas (del cuadrado y rectángular) en función de x.

3.2 GRAFICA DE UNA FUNCION

En símbolos: Gráfica de

EJEMPLO ILUSTRATIVO

1. Sea f la función definida por en

Entonces (0,0) gráfico de f. ¿Porqué? (2,4) gráfico de f. ¿Porqué? (-1,1) gráfico de f. ¿Porqué? (4,16) gráfico de f. ¿Porqué?

VERIFICANDO SU COMPRENSION 2. Sea g la función definida por

• a) ¿Cuál es el domino natural de g?

• b) Si g está definida en

• determine puntos en la gráfica de g y puntos que no estén en la gráfica de g. Justifique su respuesta

PROCEDIMIENTO PARA GRAFICA SU FUNCION

Para construir la gráfica de una función se sugieren tres pasos.

PASO 1: Obtener las coordenadas de unos puntos que satisfagan la ecuación que define a la función. Presentar estos puntos en una tabla de valores PASO 2: Ubicar en el plano los puntos de la tabla de valores y PASO 3: Unir los puntos mediante una curva de trazo contínuo.

NOTA: Al construir la gráfica de una función definida en un intervalo o conviene comenzar la tabla de valores con el punto con abscisa "a" y terminar con el punto con abscisa "b". Cuando el intervalo es abierto, se eliminan los puntos terminales de la gráfica, dejando en su lugar un hueco.

EJEMPLO ILUSTRATIVO

3.3 FUNCIONES ESPECIALES Y SUS GRAFICAS

3.3.1. FUNCIONES POLINOMIALES

Obviamente, el dominio natural de cualquier función polinomial es R.

Si n es el grado de la función polinomial Particularmente, una función polinomial

• De grado 0, se llama "función constante".

• De grado 1, se llama "función lineal".

• De grado 2, se llama "función cuadrática"

• De grado 3, se llama "función cúbica"

CASO A: FUNCION LINEAL Y SU GRAFICA

Graficar en el intervalo la función f a) Si o y= 2x-1 b) Si o y= -2x-1

SOLUCION En ambos casos, la tabla de valores constará de dos puntos, porque como pronto veremos, la gráfica de una función líneal es una línea recta y toda recta está determinada por dos puntos de ella.

Advierta: cuando en la ecuación que define a una línea recta, la variable dependiente está despejada:

– La recta sube si el coeficiente de la variable independiente es positivo; es decir, el valor "y" crece al crecer el valor de "x".

– La recta baja si el coeficiente de la variable independiente es negativo; es decir, el valor de "y" decrece al aumentar el valor de "x".

NOTA: Si c es una constante, entonces y=c representa una recta horizontal y x=c representa una recta vertical

NOTA 1. La pendiente de una recta vertical no está definida porque en tal caso

c – c = 0, de modo y la división entre cero no está permitida.

NOTA 2. La pendiente de una recta horizontal es cero ya que

c – c = 0, y

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS Encuentre la pendiente de la recta representada por la ecuación a) y = 2x – 4 b) y = -2x + 4

SOLUCION En cada caso necesitamos dos puntos (cualesquiera) que pertenezcan a la gráfica de la ecuación dada.

Advierta: en cada caso, la pendiente de la recta es el coeficiente de la variable independiente, cuando la variable dependiente está despejada. Consecuentemente m > 0, indica que la recta sube m< 0, indica que la recta baja m = 0, ni sube ni baja.

VERIFICANDO SU COMPRENSION Encuentre de dos maneras distintas, la pendiente de la recta representada por la ecuación.

a) 3x – 2 = 4y b) 3 – 2y = x Para obtener la ecuación que define a una recta se tienen las siguientes alternativas.

PRIMERA FORMA: PUNTO PENDIENTE

Si (x1,y1) es un punto específico de una recta no vertical, (x,y) es cualquier otro punto situado sobre la recta y m es la pendiente, entonces la ecuación se puede escribir como: y – y1 = m (x – x1), que es la forma punto pendiente de la ecuación de la recta que pasa a través del punto (x1,y1) y cuya pendiente es m.

Particularmente, si en la forma punto pendiente (x1,y1) = (0,b), donde b se llama intersección "y" y es la ordenada del punto donde la recta cruza el eje y, se tiene y-b = m(x-0) = mx o bien y = mx + b.

y = mx + b es la fórmula "pendiente-intersección" de la ecuación de la recta.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 1. Determine la ecuación de la recta que pasa por (1,3) con pendiente 6.

SOLUCION Tomando (x1,y1) = (1,3) y m=6 en la forma punto pendiente se obtiene y – 3 = 6 (x-1) y – 3 = 6x – 6 y = 6x – 3 2. Calcule la pendiente y la intersección "y" de 2x+3y+6 = 0 SOLUCION Despejando y: y = Por tanto m = es la pendiente y b = -2 es la intersección "y"

VERIFICANDO SU COMPRENSIÓN 1. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-1,-3) con pendiente -1.

2. Calcule la pendiente y la intersección "y" de y-2x+1=0

SEGUNDA FORMA: DOS PUNTOS Si (x1,y1) y (x2,y2) son puntos específicos de una recta no vertical y (x,y) es cualquier otro punto situado sobre la recta, entonces y

son expresiones de la pendiente, por lo tanto

= m o bien y – y1 = x-x1)

Esta última igualdad recibe el nombre de Forma de dos puntos de la ecuación de la recta que pasa a través de los puntos (x1,y1) y (x2,y2).

NOTA: En la forma dos puntos de la ecuación de la recta, a cualquiera de los dos puntos se puede elegir como (x1,y1).

EJEMPLO ILUSTRATIVO Halle la ecuación de la recta que pasa a través de los puntos (6,-4) y (1,-1).

SOLUCION

Tomando (x1,y1) = (6,-4) Tomando (x1,y1) = (1,-1) y-(-4) = y-(-1) = y+4 = y+1 = -5(y+4) = 3(x-6) 5(y+1) = -3(x-1) -5y – 20 = 3x – 18 5y + 5 = -3x + 3 0 = 3x + 5y + 2 3x + 5y + 2 = 0

VERIFICANDO SU COMPRENSION Halle la ecuación de la recta que para a través de los puntos (-6,4) y (-1,1).