Matemática propedeutica, para maestría en administración de empresas (página 2)

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES: Dos rectas paralelas o perpendiculares entre sí, pueden caracterizarse por medio de sus pendientes

RECTAS PARALELAS: Dos rectas no verticales y=m1x+b1 y y= m2x + b2 son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente (m1 = m2)

RECTAS PERPENDICULARES: Las dos rectas y=m1x+b1 y y= m2x + b2 son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1 (m1m2= -1) (aquí se supondrá, por supuesto, que m1 ? 0 y= m2 ? 0), por lo tanto, ninguna de las dos rectas es horizontal o vertical.

EJEMPLO ILUSTRATIVO Los siguientes pares de recta ¿son paralelas, perpendiculares o ninguno de los casos?

• a) Pasa a través de (2,5) y (4,9) y a través de (3,-1) y (6,5)

• b) Pasa a través de (4,0) y (2,-1) y a través de (2,5) y (5,1)

• c) Pasa a través de (12,5) y (10,4) y a través de (-1,0) y (0,-2)

SOLUCION

a) , m1 = m2 ( son paralelas b) , ( ninguna de las dos c) , m1m2 =-1 (son perpendiculares

VERIFICANDO SU COMPRENSION

Los siguientes pares de rectas, ¿son paralelas, perpendiculares o ninguno de los casos? a) 6x + 3y = 4 b) 8x – 2y = 5 2x + y = -5 x + 4y = 15

CASO B: FUNCION CUADRATICA Y SU GRAFICA Recordamos: una función polinomial, f, de grado 2, definida por f(x)=ax2+bx+c, donde a,b y c son números reales, a?0, se llama función cuadrática.

La ecuación, y = ax2+bx+c, que define a una función cuadrática se llama ecuación cuadrática (escrita en forma estándar).

Así: y = 3×2-x+4 y y + x = x2 – 5 son ecuaciones cuadráticas, pero sólo la primera función está en forma estándar.

• Se dice que una ecuación cuadrática es completa si tiene un término en x2, un término en x y un término independiente de x. Así, las ecuaciones.

a) x2 = 2x – 5 + y b) x2 + 3x – 8 = y c) x2 – x = 3y – 4 Son ecuaciones cuadráticas completas (solo b) está en forma estándar).

• Se dice que una ecuación cuadrática es incompleta si es de la forma:

y = ax2 + c (carece del término en x) o de la forma y = ax2 + bx (carece del término independiente) A la abscisa a del punto (a,0), donde la gráfica de f cruza al eje x (la intersección x) se llama

• Cero de la función cuadrática, o bien

• Raíz de la ecuación cuadrática

DEFINICIÓN: Las raíces de una ecuación cuadrática son los valores de la incógnita (x en nuestro caso) que satisface la ecuación)

NOTA 1: Resolver una ecuación cuadrática es hallar las raíces de la ecuación. Si estamos interesados solo en los valores reales, pueden ocurrir tres casos: que la cuadrática tenga dos raíces reales, una sola raíz real o que carezca de solución real.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS La ecuación y = (x-1)(x+2) tiene dos raíces reales: x=1 y x=-2. En efecto 0 = (x-1)(x+2).

Si x = 1, se cumple 0 = 0 (x+2) = 0 Si x = 1, se cumple 0 = 0 (x+2) = 0 La ecuación y = (x-4)2 tiene una solución real única: x=4.

En efecto 0 = (x-4)2, Si x = 4, se cumple 0 = (4-4)2 = 0 La ecuación y=x2+4 carece de solución real porque 0=x2+4 es lo mismo que x2=-4 y cualquier potencia para de un número real es un número negativo.

NOTA 2: Hallar los ceros de una función cuadrática es hallar las raíces de la ecuación (cuadrática) que la define. Así:

• Los ceros de f(x) = (x-1)(x+2) son las raíces de la ecuación

y=(x-1)(x+2)(1y-2).

• La función f(x) = (x-4)2 tiene un cero único, porque la ecuación

y=(x-4)2 tiene una raíz real única (x=4)

• La función f(x) = x2+4, carece de ceros, porque la ecuación

y = x2+4 no tiene raíces reales.

METODOS PARA RESOLVER ECUACIONES CUADRATICAS

Existen métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas y varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas; sin embargo, utilizaremos únicamente el método de la fórmula general que igual sirve para los distintos tipos de ecuaciones cuadráticas.

FORMULA GENERAL PARA RESOLVER ECUACIONES CUADRATICAS

Las raíces de la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0 son:

Fórmula general.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:

a) 2×2 = 3 – 5x b) x2 + 9 = 6x c) x2 + 2x + 2 =0 d) x2 = 4 e) x2 – 2x = 0

SOLUCION En cada caso, para identificar a,b y c de la fórmula general, la ecuación debe estar en forma estándar.

Así :

Para a) 2×2 + 5x – 3 = 0 : a = 2, b = 5, y c = -3 Para b) x2 – 6x + 9 = 0 : a = 1, b = 6, y c = 9 Para c) x2 + 2x + 2 = 0 : a = 1, b = 2, y c = 2 Para d) x2 + 0x – 4 = 0 : a = 1, b = 0, y c = -4 Para e) x2 – 2x + 0 = 0 : a = 1, b = -2, y c = 0 En la fórmula cuadrática, la expresión b2 – 4ac que aparece dentro del signo radical se llama discriminante de la ecuación cuadrática. Al determinar el valor del discriminante se obtiene información acerca de la naturaleza de las raíces, sin tener que resolver realmente la ecuación.

• Si b2 – 4ac > 0 y tiene raíz exacta, habrá dos raíces distintas y racionales

• Si b2 – 4ac > 0 y no tiene raíz exacta, habrá dos raíces distintas e irracionales

• Si b2 – 4ac = 0, entonces, habrá una raíz única

• Si b2 – 4ac < 0, la solución no es un número real.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS Determine la naturaleza de las raíces de la ecuación dada:

a) 3×2 – 7x + 2 = 0 b) 2×2 = 4x – 1 c) 25 = 10x – x2

VERIFICANDO SU COMPRENSION Determine la naturaleza de las raíces de las ecuaciones a) 6×2 = 11x + 10 b) 2×2 = x – 3

GRAFICA DE UNA FUNCION (ECUACION) CUADRATICA

PRIMERA FORMA: Usando deslazamientos y reflexiones de la gráfica de la ecuación y = x2

Para un número real c mayor que cero:

• La gráfica de y = x2 + c, es la gráfica de y = x2 desplazada c unidades hacia arriba.

• La gráfica de y = x2 – c, es la gráfica de y = x2 desplazada c unidades hacia abajo.

• La gráfica de y = (x + c)2, es la gráfica de y = x2 desplazada c unidades hacia la izquierda.

• La gráfica de y = (x – c)2, es la gráfica de y = x2 desplazada c unidades hacia la derecha.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

La gráfica de y = 4 – x2, se obtiene de la gráfica de y = x2 reflejándola y luego la reflexión se desplaza 4 unidades hacia arriba (cruza el eje de x en -2 y 2).

La gráfica de y = 4 – (x+2)2, se obtiene de la gráfica de y = x2 desplazándola 2 unidades hacia la izquierda; esta a su vez se refleja y la reflexión se desplaza 4 unidades hacia arriba (Corta al eje x en -4 y 0).

Advierta: Cuando en una función cuadrática la variable dependiente está despejada.

• Si el coeficiente de x2 es positivo, la gráfica es cóncava hacia arriba

• Si el coeficiente de x2 es negativo, la gráfica es cóncava hacia abajo

VERIFICANDO SU COMPRENSION Construya mediante desplazamiento (y reflexiones) de la gráfica de y=x2, las gráficas de las siguientes ecuaciones:

a) y = (x-1)2 – 1 b) y = 1-(x+2)2 c) y = -1- (x-2)2

SEGUNDA FORMA: Usando las raíces de la ecuación

• Si la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales, r1 y r2, se ubican en el plano los puntos (r1,0),

• 

• y (r2,0) y luego se unen con una curva de trazo continua

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 1. Construya la gráfica de la función f definida por f(x) = 2×2 + 3x – 2 SOLUCION f(x) = 2×2 + 3x – 2 = 0, cuando x =

o x = -2 (verificarlo), si y r=-2, entonces y Los puntos a ubicar en el plano son (-2,0), y

Si la ecuación cuadrática tiene una raíz real única, r entonces se ubica en el plano el punto (r,0) y la intersección y, (0,y) y luego se unen los puntos con una curva de trazo continuo.

• Cóncava hacia arriba, si el coeficiente de x2 es positivo.

• Cóncava hacia abajo, si el coeficiente de x2 es negativo.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

1. Construya la gráfica de la ecuación f(x) = x2 + 2x +1 SOLUCION y = x2 + 2x + 1 = 0, únicamente si x=-1 (verifíquelo).

La intersección y es 1. Los puntos a ubicar en el plano son (-1,0), (0,1)

3.3.2 FUNCION RAIZ CUADRADA Y SU GRAFICA DEFINICION DE FUNCION RAIZ CUADRADA: Una función "raíz cuadrada" f, se denota por el símbolo

y se especifica así:

es el número no negativo cuyo cuadrado es x.

Tiene como dominio natural, el conjunto de todos los números reales no negativos.

Así porque (se dice la raíz cuadrada de 4 es 2) porque (se dice la raíz cuadrada de 9 es 3) Advierta no está definida?

GRAFICA DE UNA FUNCION RAIZ

CUADRADA (SUS DESPLAZAMIENTOS Y REFLEXIONES)

3.3.3 FUNCIONES EXPONENCIALES Y SUS GRAFICAS

Las funciones (como las polinomiales y las raíces cuadradas) cuya regla de correspondencia es una expresión algebraica, se llama "funciones algebraicas".

Las funciones que no son algebraicas se llaman "funciones trascendentes". Entre ellas tenemos las funciones exponenciales, que estudiamos a continuación. Con tal propósito recordamos la potenciación.

POTENCIACION

1. CONCEPTO DE POTENCIA CON EXPONENTE ENTERO Y POSITIVO.

Al hacer cálculos matemáticos con frecuencia encontramos que algunos involucran productos de varios factores iguales, de tal manera que es conveniente tener una forma abreviada para expresarlos y establecer las reglas que permitan realizar operaciones con ellos en su forma abreviada. En esta sección nos ocupamos de ambos aspectos. Comenzamos con un caso en el cual el factor repetido es un número, luego es un monomio y finalmente un binomio.

DEFINICION: Si n es un entero positivo y "a" es cualquier número real, entonces la "n-ésima potencia de a", representada por

es el resultado de tomar el número "a" n veces como factor; esto es

= a.a.a.a.a…..a, n veces En el símbolo "a" se llama "la base" y "n", el "exponente" de la potencia. se lee "la n-ésima potencia de a" o "a elevada a la n". Al proceso para encontrar las potencias de un número se le llama "potenciación". Advierta que la primera potencia de cualquier número "a" es el mismo número; es decir; por ello, cuando no se escribe exponente, debe entenderse que éste es uno.

2. Signos de las potencias.

a) Potencias de un número positivo

(3)(3) = 9 (la segunda potencia de 3 es 9)

(3)(3)(3) = 27 (la tercera potencia de 3 es 27)

(3)(3)(3)(3) = 81 (la cuarta potencia de 3 es 81) Para recordar: cualquier potencia de un número positivo es un número positivo.

b) Potencias de un número negativo

(-3)(-3) = 9

(-3)(-3)(-3) = -27

(-3)(-3)(-3)(-3) = 81

(-3)(-3)(-3)(-3)(-3) = -243 Recuerde: Toda potencia par de un número negativo es un número positivo, y toda potencia impar de un número negativo es un número negativo.

CUIDADO

9 y -9; por lo tanto, ?

ACTIVIDADES

1. Determine, por simple inspección, si la potencia dada es un número positivo o negativo.

a) b) c) d)

2. Evalúe cada una de las expresiones siguientes a) c) e) g) b) d) f) h)

3. Reglas para trabajar con potencias En esta sección elaboramos una lista de las reglas que se aplican al trabajar con potencias. En éstas asumimos que:

• Los exponentes, m y n, son enteros positivos;

• Las bases, a y b, son números reales, y

• Los denominadores no pueden valer cero.

Reglas de la multiplicación.

R1. (cuando las bases son iguales, los exponentes se suman) Ejemplos R2. (cuando las bases no son iguales, las bases se multiplican)

Ejemplos Regla de la potencia de una potencia.

R3. (los exponentes se multiplican)

Ejemplos

CUIDADO Evite el siguiente error usual (los exponentes deben multiplicarse, no sumarse)

REGLA DEL COCIENTE (UN CASO PARTICULAR).

R4.

(cuando las bases son iguales y m > n, los exponentes se restan)

Ejemplos

Advierta que en esta regla faltan por considerar dos casos: cuando m=n y m R5.

(cuando las bases no son iguales las bases se dividen)

Ejemplos

ACTIVIDADES

1. Clasifique cada aseveración como falsa o verdadera. Si es falsa, corrija el lado derecho de la igualdad para obtener una expresión verdadera.

a) d) g) b) e) h) c) f) g)

2. Evalúe cada una de las expresiones siguientes.

a) d) g) b) e) h) c) f) g)

3. Extensión del concepto de potencia para el caso de un exponente entero cualquiera Nuestro estudio sobre las potencias ha estado limitado al uso de exponentes enteos positivos y nada más.

Sabemos que es el resultado de considerar el 3 dos veces como factor; sin embargo, carece de sentido decir que es el resultado de tomar el 3 cero veces como factor, o que es el resultado de considerar el 3 menos dos veces como factor.

Por tal motivo, ahora se extenderá la definición de potencia para permitir que el exponente (n) pueda ser cero o un entero negativo. La extensión se hará de tal manera que las reglas de las potencias, ya citadas puedan aplicarse a cualquier tipo de exponente entero. Para que R1 sea válida, es necesario definir y asumir que a? 0 (luego En efecto,

(por R1)

(obvio)

(despejando )

(el cociente de cualquier cantidad, diferente de cero, entre ella misma es 1) Para que R4 sea válida es necesario definir ya que Pero luego debe ser

Los dos resultados anteriores nos permiten formular la definición siguiente.

DEFINICIÓN a) Si a es un número real diferente de cero, entonces b) Si a es un número real diferente de cero y n es un entero positivo (-n<0),

Según (a) queda sin definir.

Según (b) ya que En palabras: Una fracción elevada al exponente -1 es el recíproco de la propia fracción.

Con la definición anterior es posible generalizar R4 para los casos en que m=n y m

Ejemplos

ACTIVIDADES

1. Clasifique cada aseveración como falsa o verdadera. Si es falsa, corrija el lado derecho de la igualdad para obtener una expresión verdadera.

a) d) g) b) e) h)

c) f) g)

2. Evalúe cada una de las expresiones.

a) d) g) b) e) h) c) f) g)

FUNCION EXPONENCIAL Y SUS GRAFICAS

Una función exponencial como que tiene la variable independiente como exponente se conoce con el nombre de "función exponencial". Su dominio natural son todos los números reales.

Estudiaremos este tipo de funciones con la suposición de que la base numérica b>0.

Graficar y = 2x en

NOTA 1. Todas las funciones exponenciales de la forma donde b > 1 tiene la misma forma de la función

• Su intersección "y" es 1;

• Son crecientes

• Su rango es el conjunto de todos los reales positivos; es decir bx > 0 para todo valor de x y

• Su gráfica es cóncava hacia arriba

SOLUCION

• La gráfica de y = 2x-3 se obtiene desplazando la gráfica de y = 2x, tres unidades hacia la derecha

• a gráfica de y = 2x+3, se obtiene desplazando la gráfica de y = 2x, tres unidades hacia la izquierda.

• La gráfica de y = -2x-3, es el reflejo en el eje x de la gráfica de y = 2x-3.

Particularmente importante por sus aplicaciones, es la función exponencial y = bx cuando b = e (Euler). Es decir f(x) = ex . Aquí se satisface la condición 2<3; e˜2.71828

• Dominio: todos los números reales

• Rango: R+; es decir ex > 0

• 0 < ex < 1, para x<0

• e0 = 1

• ex > 1 para x > 0

• La gráfica es cóncava hacia arriba

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIAL

En muchos fenómenos naturales, hay cantidades que crecen o decrecen a una razón proporcional a su tamaño. Por ejemplo.

• El número de bacterias de un cultivo

• La masa de una sustancia radioactiva

Las únicas funciones que describen tales fenómenos son las funciones exponenciales de base e.

y = f(x) = cekt, donde c y k son constantes por determinar.

Si k>0 se habla de crecimiento exponencial Si k<0 se habla de crecimiento exponencial

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

• 1. Un cultivo de bacterias empieza con 10 bacterias y al cabo de 2 horas hay 30. Suponiendo que el cultivo crece a una razón proporcional a su tamaño, establezca la población al cabo de 4 horas.

• 2. Una sustancia radioactiva decrece a una razón proporcional a su tamaño. Si la cantidad inicial es de 10 gramos y después de 5 años quedan 8 gramos, calcule la cantidad restante a los 10 años.

• 3. Un cultivo de bacterias empieza con 10 bacterias y al cabo de 2 horas hay 30. Suponiendo que el cultivo crece a una razón proporcional a su tamaño, establezca la población al cabo de 4 horas.

• 4. Una sustancia radioactiva decrece a una razón proporcional a su tamaño. Si la cantidad inicial es de 10 gramos y después de 5 años quedan 8 gramos, calcule la cantidad restante a los 10 años.

MATEMATICA PROPEDEUTICA, PARA MAESTRIA EN ADMINISTRACION DE EMPRESAS

Enviado por: Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.

"NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"®

www.monografias.com/usuario/perfiles/ing_lic_yunior_andra_s_castillo_s/monografias

Santiago de los Caballeros, República Dominicana, 2015.

"DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE"®

Autor:

Lic. Mauro H. Henríquez Rauda.