- Haz de rectas paralelas
- Area del transformado de un polígono regular
- La elipse como transformada del círculo
- Conclusiones
- Bibliografía
La idea de utilizar el movimiento en la Geometría, data desde hace bastante tiempo. La traslación, la rotación y la homotecia son buenos ejemplos que se encuentran contemplados en los programas de Educación Básica; en los casos citados se realizan aplicaciones que consisten en desplazar la totalidad de los vértices de una figura dada y, con ello, toda la figura. Cuando se trabaja con triángulos, se suele ubicar una base sobre una recta y trazar otra paralela por el vértice opuesto. Al desplazar este vértice, sobre la recta, se hace notar que existen infinitos triángulos con igual área y que, además, pueden ser de cualquier tipo, siempre que la base y la distancia entre las rectas no varíe. Algunos matemáticos han ido más lejos al incorporar la velocidad en la resolución de problemas geométricos (véase bibliografía al final). La GEOMETRÍA DINÁMICA, como se suele llamar, toma impulso en la década de los 90's con el desarrollo de software CABRI aplicado a Geometría y de otros posteriores que se encuentran ampliamente difundidos en la red. Antes de 1998, cuando aparece el software citado, la Geometría Dinámica ofrecía presentaciones estáticas, lo que exigía grandes dosis de imaginación; luego de ese año, las presentaciones también se hicieron dinámicas, por lo que la manipulación y la observación pasaron a jugar el rol preponderante. La intuición es importante ambos tipos de presentación; sin embargo, la dinámica hace que fluya de una forma más ágil y precisa.
Este trabajo recoge viejas ideas referentes a la transformación de figuras. mediante la aplicación que denominaremos Contracción del Haz Paralelo Respecto al Polígono Dado ( o Figura Dada), complementada con la Fórmula General del Area del Polígono, observaremos la facilidad con que se puede llegar a conclusiones. Aunque la aplicación puede ser utilizada en infinidad de situaciones, se mencionan solamente la semejanza de polígonos y se realiza un estudio de la elipse, considerándola como transformada del círculo; aspecto éste que se desarrolla con más amplitud, puesto que se introducen puntos de vista algo diferentes que se desprenden de la contracción. Ambos a manera de ejemplos, para demostrar que se puede llegar a conclusiones utilizando sencillos procedimientos algebraicos que acompañan al geométrico.
El contenido de este artículo se desarrolla en la forma tradicional (demostraciones estáticas), por no disponer del software adecuado, con la intención de despertar el interés de otras personas para que desarrollen las ideas y las publiquen por este mismo medio, o por cualquier otro similar, utilizando paquetes de Geometría Dinámica.
De su lectura se desprenderán otras transformaciones que pueden estudiadas en Geometría Dinámica, bien sea con presentaciones estáticas o asistidas por computadora.
Nota: Este artículo fue presentado ante el XV Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, celebrado en Bogotá en junio de 2004, sin el aparte Area del Transformado de un Polígono Regular. Este se ha anexado a la presente publicación, como complemento, para ofrecer otra muestra de la aplicación descrita.
Atentamente,
Gustavo Yanes Yanes
Email: gustavo_yanes[arroba]hotmail.com
Profesor titular en la especialidad de Matemática
U.E. " Prof.Boris Bossio Vivas"
San Antonio de Los Altos
República Bolivarina de Venezuela.
Un conjunto de rectas el plano que pasan por un mismo punto se denomina haz central y el punto común es el centro del haz. Un conjunto de rectas paralelas pertenecientes a un plano se denomina haz de rectas paralelas, o haz paralelo. Un haz paralelo es finito si consta de un número finito de rectas; si k es el número de rectas del haz paralelo se denominará k-haz.
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Dos rectas de un haz paralelo son consecutivas si entre ellas no se encuentra ninguna otra perteneciente al haz dado. Un haz paralelo es regular si las rectas consecutivas se encuentran a una distancia constante, de lo contrario es irregular.
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Si definimos un sentido perpendicular al k-haz (en la ilustración anterior indicado con la flecha) tendremos un haz paralelo ordenado. Las rectas se enumeran: r0, r1, r2,….., rk-1; en forma prelativa y en el sentido dado. Las rectas r0 y rk-1 se denominan extremos del k-haz.
La distancia entre dos rectas consecutivas de un haz paralelo se denota:
d(ri ri+1).
Se puede ordenar un haz paralelo infinito, tomando una recta como r0 y a partir de ésta, en el sentido seleccionado las enumeraremos consecutivamente: r0,r1, r2, r3,…..; en el sentido contrario las enumeraremos : r0, r-1, r-2, r-3,……
Dados dos haces paralelos: son paralelos, perpendiculares u oblicuos entre sí, si tomado una recta de cada haz, éstas son paralelas, perpendiculares u oblicuas entre sí, respectivamente.
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En la ilustración de arriba observamos haces paralelos, perpendiculares y oblicuos entre sí.
Haz Paralelo Respecto A un Polígono Dado
Todo haz paralelo finito, cuyas rectas pasen por vértices de un polígono dado se denomina: k-haz del polígono dado. Es evidente que podemos trazar infinitos haces paralelos de una figura; cuando nos refiramos al k-haz de un polígono dado, entenderemos que es cualquiera de los infinitos k-haces paralelos que se pueden trazar.
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En la ilustración podemos observar un octágono y algunos de sus k-haces. Las flechas indican un sentido de su posible ordenación, aunque también puede tomarse el contrario.
Llamaremos contracción de un haz paralelo a una aplicación que convierte al haz dado en otro haz cuyas distancias entre rectas consecutivas se han multiplicado por un factor constante. Si el factor es menor que uno: las rectas se juntan; si es mayor que uno: las rectas se separan. Si es uno, el haz permanece sin cambios. Denotando como ri ' y ri+1' a las nuevas rectas y l al factor constante, será: d(ri 'ri+1' ) =l d(ri ri+1).
La contracción puede hacerse con respecto a una recta del haz, en cuyo caso la recta dada permanece inmóvil y el resto de las rectas del haz paralelo se acercarán o alejarán de ella en función de la constante l . Si no se especifica nada, se tomará como fija la recta r0.
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En la ilustración arriba se puede observar un 5-haz y un nuevo 5-haz obtenido al aplicarle un factor de contracción l = 1/2, respecto a la recta situada en la parte inferior.
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Dejando fija r1 podemos observar una contracción del primer haz con factor l <1 y otra con factor l >1.
OBSERVACIONES:
La contracción con factor l = 1.equivale a dejar invariable el haz de rectas.
La contracción con factor l = 0 convertirá al haz en una recta.
Puede definirse la contracción con factor l < 0, que convertirá al haz en otro paralelo cuyas rectas son r0, r-1, r-2,… r-k y se ubicarán, simétricamente, en el semiplano opuesto al del haz dado.
Contracción Del Haz con Aplicación al Polígono.
La contracción de un polígono dado, se obtiene mediante la contracción de un k-haz trazado respecto a éste.
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Cuando realizamos la contracción de un polígono, su área aumenta o disminuye en la proporción indicada por el factor de contracción l . En efecto: si A es el área de la figura original, A = ½S S(ri ri+1) d(ri ri+1), como S(riri+1) no varía con la contracción, área de la figura resultante será:
A'=½S S(ri'ri+1') d(ri'ri+1')= ½S S(riri+1)l d(riri+1)= l ½S S(riri+1) d(riri+1)=l A
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Si realizamos una contracción l ', sobre la nueva figura, se tendrá:
A"=l 'A'=l 'l A.
En particular, si la contracción es de igual factor l , se tendrá:
A"=l A'=l l A=l 2A
Si las contracciones consecutivas se realizan de tal forma que cada una, a partir de la segunda, se ejecuta sobre el k-haz resultante de la contracción anterior (haces paralelos); la última figura que obtiene puede generarse con una única contracción cuyo factor sea igual al producto de los factores de las contracciones aplicadas consecutivamente.
La figura que se obtiene después de aplicar la contracción se denomina transformada y en cualquier caso el área de la transformada será igual al producto del área original por el factor de contracción aplicado, o por el producto de los factores de las contracciones aplicadas separadamente, si este fuera el caso.
Podemos deducir que dos contracciones consecutivas e inversas aplicadas a una figura dada, la transforman en otra figura que tiene el área equivalente al de la dada. En efecto el área se multiplicará por el factor l en la primera contracción resultando l A y esta por (en la segunda contracción resultando l (1/l )A = A. Si la segunda contracción se aplica paralelamente a la primera, se obtendrá la figura dada.
Los vértices, lados y los ángulos de la figura resultante se corresponden con los de la figura original
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En la ilustración anterior son correspondientes los vértices A, A' y A"; B, B' y B", C, C' y C", D, D' y D", E, E' y E", F, F' y F"; respectivamente. Son correspondientes, a su vez, los lados, los diagonales y los ángulos definidos por vértices correspondientes.
Dos contracciones aplicadas perpendicularmente sobre una misma figura, con factores inversos entre sí, transformarán a la figura originaria en otra con igual número de lados y ángulos y, además, con la misma área.
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Es fácil observar que los lados de la figura, perpendiculares al k-haz, varían sus dimensiones en la misma proporción indicada por el factor de contracción l ; así mismo, los lados que forman parte del k-haz no sufren alteraciones durante la contracción.
Al aplicar contracciones sobre k-haces perpendiculares entre sí, respecto a la misma figura, los lados mencionados anteriormente intercambian sus posiciones relativas respecto a cada k-haz; luego, los lados que variaron sus dimensiones durante la primera contracción no las variarán durante la segunda y los que se mantuvieron constantes en la primera contracción serán los que varíen durante la segunda.
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Además de comprobar lo dicho para los lados, obsérvese también que los ángulos rectos no varían, si sus los lados se posan, alternativamente, sobre las rectas de los k-haces perpendiculares, así mismo, obsérvese que las contracciones pueden ser realizadas en cualquier orden, o a un mismo tiempo, para obtener el mismo resultado.
Los lados de la figura que son oblicuos a dos k-haces perpendiculares variarán con cada contracción, por ubicarse en retículas formadas por pares de rectas consecutivas de cada k-haz.
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En el recuadro, donde se muestra una retícula ampliada, observamos las transformaciones que sufre un lado situado en forma oblicua entre dos pares de rectas de k-haces perpendiculares. El lado es el diagonal de un rectángulo formado por dos pares de rectas consecutivas de cada k-haz.
Sean: l longitud del diagonal; h y h' las distancias entre las dos rectas consecutivas de cada k-haz; l y l ' los factores de contracción y, por último, lT la longitud del diagonal después de haber aplicado las dos contracciones.
Por el Teorema de Pitágoras se tiene:
l = (h2+h'2)1/2 y lT = (l 2h2+l '2h'2)1/2.
Si l ' = l se tendrá:
lT = (l 2h 2 + l 2h' 2) 1/2=[ l 2(h2+h'2) ] 1/2= l (h2+h'2) 1/2= l l.
:De lo visto podemos concluir que la relación entre los lados correspondientes de una figura dada y su transformada respecto a dos contracciones perpendiculares entre sí, con factor constante, es proporcional a este factor.
Observemos los mismos rectángulos y veamos lo que sucede a los ángulos a y b del rectángulo original.
Partimos de: tanb = h'/h y
tan a = h/h'.
En la transformada:
tanb ' = l 'h'/l h y
tana ' = l h /l 'h'
Si l '=l se tiene:
tanb = l h'/l h = h'/h= tanb y
tana = l h /l h' =h/h'= tana . De donde: b '=b y a '=a .
Por lo que podemos concluir en lo siguiente: dos contracciones con el mismo factor y perpendiculares entre sí, aplicadas a una misma figura, no alteran las medidas de los ángulos internos (recuérdese lo mencionado para los ángulos rectos cuyos lados se posan alternativamente sobre los k-haces paralelos).
Las contracciones sobre una figura son tales que:
1. Si l y l ' son dos factores diferentes: Tl F <> Tl 'F.
2. Existe un factor de contracción l =1 que devuelve la figura en ella misma: F'=Tl F= F, factor de contracción neutro.
3. Si l , l ' y l " son tres factores cualesquiera:
Tl l 'l " F = T(l l ')l "F = Tl (l 'l ") F, asociatividad.
Tl l ' F = Tl 'l F, conmutatividad.
- Si l y l ' son dos factores cualesquiera:
- Para cada contracción con factor l existe una contracción paralela con factor 1/l tal que Tl (1/l ) F = T1F = F, existencia de inversas.
- Si F'=Tl F, se tiene que: AF' = l AF.
- Si F es una figura cualquiera y l =0: Tl F es un segmento de recta, cuya longitud es igual al ancho de la figura respecto a un k-haz perpendicular al que ha sido objeto de contracción.
…………………
Nota: Tl F significa transformada de la figura F mediante una contracción con factor l ; AF significa área de la figura F. Las contracciones estarán siempre asociadas a un haz determinado para cada una. El ancho de una figura respecto a un k-haz es d(r0 rk-1).
Visto lo anterior, se puede abordar el tema de las figuras semejantes sin dejar dudas en referencia a las relaciones que existen entre sus áreas como entre sus lados correspondientes. Realizaremos algunas observaciones puntuales de-bido a que el basamento está suficientemente desarrollado.
Dadas las figuras F y F', diremos que son semejantes si F' es la transformada de F mediante la aplicación de dos contracciones paralelas, perpendiculares entre sí, con factor común l ( notación: F' = Tl 2F^ )
Una figura cualquiera y su transformada, después de haber aplicado dos contracciones perpendiculares de un mismo factor, se denominan Figuras Semejantes.
Sean F y F' dos figuras semejantes; A, l y q el área, la longitud de un lado dado y q la medida un ángulo dado de la figura F; A' el área de F', l' la longitud del lado correspondiente al dado y q ' la medida del ángulo correspondiente al dado. Entonces se cumple: A´=l 2A; l'=l l y q '=q , donde l es el factor de las contracciones perpendiculares entre sí, que aplicadas a la figura F dan como resultado la figura F'.
Si los lados de las figuras semejantes, F y F', son l1,l2,l3,…..,ln y l'1,l'2,l'3,…..,l'n, respectivamente; llamando p y p' a sus perímetros y l al factor de contracción tendremos:
p' = l'1+l'2+l'3+…..+l'n =l l1+l l2+l l3+…..+l ln=l ( l1+l2+l3+…..+ln) =l p
de donde p'/p =l ; luego: A´=(p'/p)2A. ()
Para que dos figuras de igual número de lados sean semejantes es necesario y suficiente que se cumpla que sus ángulos, tomando uno de cada figura, sean iguales dos a dos y sus lados, tomados en forma análoga a los ángulos, estén relacionados por un factor común.
Toda figura es semejante a ella misma, puesto que se obtiene de aplicar dos contracciones perpendiculares y consecutivas con factor l = 1. Por supuesto que dos figuras iguales son semejantes entre sí.
AREA DEL TRANSFORMADO DE UN POLÍGONO REGULAR.
Estudiemos el área del transformado de un polígono regular3 obtenido mediante contraccion del haz paralelo que contiene a una base dada b, aplicando la fórmula del área del polígono regular An = kna2:
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No deben confundirse las relaciones entre las áreas de las figuras y sus transformadas con las de los lados correspondientes de las figuras semejantes; pues el área de la transformada sólo depende del valor de los factores de contracción y las medidas de los lados dependen, además, del sentido en que se apliquen las contracciones.
Si F' º Tl 2F║ (F' es la transformada resultante de dos contracciones con factor l , paralelamente aplicadas a la figura F), donde A y A' son las áreas de las figuras anteriores, respectivamente; se tendrá que A´=l 2A y sin embargo no es cierto que l'=l l para cualquier lado de longitud l de la figura F y su correspondiente de la figura F' con longitud l'. Pues si tomamos un haz paralelo que contenga algún lado de F, este lado no variará; si tomamos un haz que contenga un lado perpendicular a éste con longitud l, al aplicar las contracciones será l´=l 2l.
Sea el polígono regular de base b, de ancho h0 respecto a esa base y su transformado con la misma base y ancho h ( ver fuguras)-
El área del transformado se puede obtener mediante la fórmula: AT=Anλ.
El factor de contracción λ se puede calcular mediante la razón de los anchos de los polígonos respecto a la base b, antes y después de la contracción.
Luego:
En los polígonos regulares con un número par de lados h0 = 2a y en los que poseen un número impar de lados h0 = a + r; siendo r el radio del círculo circunscrito y a la vez del polígono regular. Esta última igualdad se puede escribir h0 = 2a + (r-a).
Definamos la función m: NxN*→N de tal forma que a cada par (a,b) de NxN* se le asigna el resto de la división entera de a entre b, que denotaremos m(a,b) y leeremos a módulo b. Situemos en la primera componente del par el número de lados del polígono regular y fijemos el número 2 en la segunda. De esta manera m(n,2) tomará el valor 0 para los polígonos con un número par de lados y valdrá 1 para los que poseen un número impar de lados: por lo que el ancho del polígono regular respecto a la base dada es:
Por lo que
De la definición de la constante de semiproporcionalidad
y llamando b al lado, tenemos:
expresemos el radio en función de la base y la apotema:
y expresando la apotema en función de la base:
Trabajando el denominador de la fórmula del área del transformado se tiene:
y al sustituirla en la fórmula del transformado queda:
que es una fórmula relativamente sencilla.
Si el transformado se obtuvo al aplicar un factor de contracción nulo, entonces h=0 y el numerador se anula por lo que AT=0.
Si el transformado se obtuvo al aplicar un factor de contracción λ=1, se trata del polígono regular dado, por lo que AT=kna2.
Comprobación:
Para polígonos regulares con un número par de lados, será m(n,2)= 0, la fórmula se reduce a:
Como h= h0= 2a y b=2akn/n, sustituyendo estos valores en la ecuación se tiene:
Para polígonos regulares con un número impar de lados, la fórmula del transformado queda:
Como h = a+r, el numerador se puede convertir en: nb(a+r). Luego, escribiendo b y r en función de la apotema:
El numerador será:
Como el factor entre corchetes es igual al denominador de la fórmula del transformado, se cancelan y queda:
Con lo que queda comprobada la afirmación inicial.
Si se sustituye kn = n tan(180°/n) en la fórmula del transformado tendremos:
Al ser m(n,2) = 0 la fórmula se convierte en aritmética; por lo que la trigonométrica sólo tiene sentido para transformados de polígonos con un número impar de lados. En consecuencia, la fórmula trigonométrica puede ser expresada así:
Para todo n impar.
LA ELIPSE COMO TRANSFORMADA DEL CÍRCULO
Estudiemos ahora las contracciones del haz paralelo respecto al círculo. Para ello no trazaremos las infinitas rectas del haz, sino sólo tres rectas, de manera que una de ellas pase por el centro del círculo y las otras dos sean tangentes a la figura; por supuesto, imaginaremos el movimiento de todos los puntos tal como si estuvieran trazadas las infinitas rectas del haz.
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La transformada que se obtiene al aplicar una contracción paralela al círculo se puede observar en la ilustración de la izquierda. La circunferencia, por su parte, se transforma en otra curva que se denomina elipse.
Si denominamos r al radio del círculo, el área de la región limitada por la elipse será p r2l . Si aplicamos una contracción a la transformada, paralela a la anterior, con factor 1/l , obtendremos el círculo original. Si aplicamos una contracción perpendicular con el mismo factor obtendremos un nuevo círculo de área p r2l 2.
Si, por el contrario, aplicamos una contracción perpendicular con factor 1/l , obtendremos una nueva elipse que limita un área equivalente a la del círculo.
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La contracción paralela a la anterior, con el mismo factor, aplicada a la transformada del círculo, devuelve el círculo original.
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Una contracción perpendicular a la anterior aplicada sobre la transformada del círculo, con el mismo factor, devuelve un círculo con área igual a l 2 veces la del círculo original.
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Una contracción perpendicular con factor 1/l devuelve una elipse que encierra un área equivalente a la del círculo original.
Area de la Región Limitada por la Elipse
Para estudiar las propiedades de la elipse, sustituiremos la recta intermedia del haz por el diámetro, en la circunferencia original; igualmente trazaremos el diámetro perpendicular al anterior. Denominaremos r al radio de la circunferencia.
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Al aplicar la contracción con factor l , el diámetro que se encuentra sobre el haz no varía, por lo que su mitad se-guirá siendo r; el perpendicular al anterior se multiplicará por l y el radio se convertirá en l r .
Los segmentos correspondientes a los diámetros de la circunferencia, obtenidos después de la contracción se denominan ejes de la elipse. Denotaremos D al mayor y d al menor de ellos. Los segmentos r y rl se denominan semiejes y se denotan con las letras a y b respectivamente, por lo que 2a y 2b serán las medidas de cada eje. Como b/a = l ó a/b = l , dependiendo de que l sea menor o mayor que 1.
Ae = l Ac = l (p a2) = (b/a) (p a2) =p ab ó Ae = l Ac = l (p b2) = (a/b) (p b2) =p ab
y en referencia a los ejes: Ae =p ab = p (D/2)(d/2) = p Dd /4
Por cuanto la elipse se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas sumas de las distancias a dos puntos fijos del mismo plano (denominados focos) son constantes; vamos a ubicar los focos de la elipse resultante de la contracción del círculo.
La elipse de semiejes a, b (siendo a el semieje mayor) se puede obtener, aplicando una sola contracción, de las formas:
- Aplicando la contracción con factor l = b/a al círculo de radio a.
- Aplicando la contracción con factor l = a/b al círculo de radio b.
En el primer caso: l >1; en el segundo: l < 1.
Del procedimiento para el trazado de la elipse ( del hilo), observamos que los focos se sitúan sobre el eje mayor D, a distancias iguales del centro de la figura (O). Denominemos los focos con F y F'.
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La suma de las distancias desde el punto A hasta ambos focos es:
AF+AF' = AF+AF+FF' = D.
La suma de las distancias desde B hasta ambos focos es: BF+BF' = D, por definición de elipse.
Pero BF = BF' puesto que B es un extremo de d, perpendicular a D en su punto medio y por lo tanto mediatriz del segmento FF'. En virtud de ello BF+BF' =2BF= D y BF = D/2 = a.
Como debemos calcular OF, aplicaremos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo BOF, donde BO = b:
(OF)2 =( a2 – b2), de donde: OF=( a2 – b2) 1/2
Si la elipse se obtuvo por la contracción del circulo de radio a, entonces OA = r = a y: OB=b= al (l <1), por lo que nuestra fórmula quedará:
OF=( a2 – a2l 2) 1/2 =[ a2 ( 1 – l 2) ] 1/2= a ( 1 – l 2) 1/2 = r ( 1 – l 2) 1/2
Si se obtuvo la misma elipse aplicando la contracción del círculo de radio b, entonces b=r y OA= a= bl (l >1), de donde:
OF= (b2l 2-b2) 1/2 =[ b2 (l 2 -1) ] 1/2= b (l 2-1) 1/2 = r (l 2 -1) 1/2
Como 1 – l 2 = – ( l 2-1) y la cantidad subradical es siempre positiva, nuestra fórmula puede expresarse así: OF= r ç l 2-1ç 1/2.
Luego los focos de la elipse: se ubicarán sobre el eje mayor, a una distancia del centro equivalente al producto del radio del círculo que la originó, por la raíz cuadrada del valor absoluto de: el cuadrado del factor de contracción aplicado, disminuido en 1.
Si establecemos que la elipse siempre está generada por la contracción del círculo de diámetro 2a, siendo ésta la longitud del eje mayor, tendremos que l £ 1en todos los casos. Luego:
OF = a (1-l 2 ) 1/2, de donde
OF/ a = (1-l 2 ) 1/2
La razón OF/a se denomina excentricidad de la elipse y se denota e, de lo que concluimos:
e= (1-l 2) 1/2
Obsérvese que si l =1 se ha aplicado la contracción Ck0F, donde l = k0=1 siendo e=0 y OF =0 por lo que los focos F y F' coinciden con el centro del círculo y la suma de las distancias de cualquier punto de la circunferencia a los dos focos será 2r = D (diámetro de la circunferencia). Por supuesto, que en el círculo el eje mayor y el menor coinciden.
Dos elipses F y F', con semieje mayor y menor: a,b y a',b', respectivamente, son semejantes si se cumple que a/b = a'/b' y en consecuencia: e = e'.
Si se sitúa la elipse en el plano cartesiano de tal forma que el centro coincida con el origen de coordenadas, podemos deducir la ecuación que la define: x2/a2 + y2/b2 = 1. Partiendo de la ecuación de la circunferencia: x2 + y2 = r2 .
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El punto P de la circunferencia se transforma en el punto P' de la elipse, después de la contracción. Las coorde-nadas de P' son (x,y) y las de P: (x,y/l ). El radio del círculo coincide con a.
En el círculo se tiene: x2+ (y/l )2 = a2. O bien: x2 + y2/l 2 = a2
Dividiendo por a2 ambos miembros de la igualdad anterior:
x2/ a2+ y2/( a2l 2 )= 1
De donde: x2/ a2+ y2/ (al )2= 1
Y por último x2/ a2+ y2/ b2= 1.
Por ser (x,y) las coordenadas del punto P' de la elipse y a, b la mitad de sus ejes mayor y menor, se concluye que la última ecuación está referida a ésta y se denomina: ecuación canónica de la elipse.
Edwards y Penney en la obra Cálculo con Geometría Analítica (p.664), proponen una fórmula para el cálculo aproximado del perímetro de la elipse:
p » p (A+R) donde A=(a+b)/2 y R=[ (a2+b2)/2] 1/2
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Esta aproximación falla por lo siguiente:
Si observamos la ilustración a la izquierda podemos darnos cuenta que cuando a y b tienen valores muy próximos, la longitud del perímetro tiende a 2p a, es decir tiende a la circunferencia que origina la elipse; por otra parte, cuando b se aproxima a cero, el perímetro se aproxima al valor 4a, por exceso En este sentido, la fórmula citada cumple la primera condición; mas, no la segunda.
Se trata de demostrar que lim p (A+R) <> 4a+, por reducción al absurdo:
Suponemos válida la fórmula p » p (A+R)
Sustituyendo b por 0 en A y R tendremos: A=a/2 y R= aÖ 2/2
Luego: lim p (A+R) =p ( a/2 + aÖ 2/2) = a(p /2 + p Ö 2/2). De donde:
p /2 + p Ö 2/2 = 4; como 3,15 > p y 1,42 >Ö 2 se tendrá que 3,15/2 + 3,15(1,42)/2 > 4 por lo que 3,15+ 3,15(1,42) > 8 y 3,15 + 4,473 > 8; por último 7,623 > 8 lo que es absurdo; con lo que queda demostrado lo enunciado en un principio.
La fórmula que se propone para calcular la longitud de la elipse Le es:
Le = 4a(p /2) l , que equivale a Le = 4a(p /2) b/a
Como podrá observarse:
Lim Le = Lim 4a(p /2) b/a=4a(p /2) a/a =2p a; y
Lim Le = Lim 4a(p /2) b/a=4a(p /2) 0/a = 4a.
En la tabla siguiente se presenta el resultado de la aplicación de las dos fórmulas señaladas, partiendo de una circunferencia de radio 1 (a). Se ha disminuido progresivamente el valor de b; el coincide en todos los casos con l =b/a.
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Obsérvese que a partir de los valores señalados por la flecha, p (A+B) arroja resultados inferiores a 4.
Si continuamos disminu-yendo el valor de b el resultado se aproximaría al valor 3,79223780.
La fórmula 4a(p /2) l man-tiene los resultados por encima del valor 4. Si el valor de b se continúa disminuyendo el resulta-do se aproximaría cada vez más a 4.
Sean e y e' dos elipses con semiejes mayor y menor iguales a a,b y a',b' respectivamente.
Sus áreas serán: Ae= p ab y Ae'= p a'b'; de donde
Ae/ Ae'= ab/a'b' = (a/a')(b/b')
Sus longitudes serán: Le = 2 2- l p l a y Le' = 22- l 'p l 'a'; de donde
Le/ Le' = 22- l p l a/22-l 'p l 'a' =22- l – (2- l ')p l – l 'a' =
= (a/a') 2l '-l p l – l ' =(a/a')( p l – l '/2l – l ') =
=(a/a')( p /2)l – l '
Decimos que dos elipses, de semiejes a,b y a',b', son semejantes si a/a'= b/b'. De allí tendremos que a/b = a'/b', o k=k'. Siendo k y k' los factores de contracción aplicados a las circunferencias que las originan.
Como b=ak y b'= a'k' se tendrá:
Ae/Ae'= ab/a'b' = a ak/a' a'k' =(a/a')2
De lo anterior y de a/a'=b/b' se tiene:
Ae/Ae'=(a/a')2=( b/b')2
Y como a y a´, o b y b', son los radios de las circunferencias que generan las elipses, tendremos que:
a/a'= b/b'=r/r
De donde:
Ae/Ae'=(r/r')2
De donde concluimos que la razón entre las áreas de elipses semejantes es igual al cuadrado de la razón entre los respectivos radios de los círculos que las generan.
Pero, como cualquiera de las elipses semejantes se puede obtener a partir de la otra mediante la aplicación de dos contracciones perpendiculares entre sí, con factor común l ; considerando originaria a la de semieje a, se tiene que:
a/a' = b/b´= 1/l ;
Siendo l el factor de contracción aplicado a la elipse originaria.
Luego: Ae/ Ae'= 1/l 2 y Ae' = l 2 Ae.
Por otra parte tenemos: Le/ Le'=(a/a')( p /2)l – l =(a/a')( p /2) 0 = (a/a'); de donde Ae/ Ae'=( Le/ Le')2 . De donde concluimos que la razón entre las áreas de dos elipses semejantes es igual al cuadrado de la razón entre sus respectivas longitudes.
De Le/ Le'=(a/a') y de a/a' =1/l se tiene Le/ Le'= 1/l ó l =Le'/Le y por último:
Ae'= ( Le'/ Le)2 Ae
Por lo que la semejanza en las elipses cumple con las condiciones estudiadas para la semejanza de las figuras en general.
Mediante la Contracción del Haz Paralelo Respecto al Polígono Dado, es posible abordar una serie de aspectos, en Geometría, en forma rápida y fácil. Incluso, en el estudio de figuras semejantes, esta propuesta puede sustituir a la Homotecia, también llamada Contracción al Punto, debido a que las relaciones de semejanza son más evidentes. Tal como puede observarse en el caso de la elipse, también es posible evidenciar otros aspectos que permanecen ocultos en las figuras cuando se tratan con métodos, o procedimientos, tradicionales.
El uso de la Fórmula General del Area del Polígono (véase Area del Polígono – Enfoque para el Cálculo, en monografías.com) facilita el establecimiento de relaciones entre los polígonos y sus transformados.
A través de la utilización de computadora y software especializado las presentaciones podrán ser manipuladas por profesionales y estudiantes, por lo que el aprendizaje de los contenidos se vería facilitado, se incrementaría el interés y se abrirían nuevos caminos en la Geometría.
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Por
Gustavo Yanes Yanes
Profesor Titular de Matemática
U.E "Prof. Boris Bossio Vivas"
San Antonio de Los Altos- Edo. Miranda
República Bolivariana de Venezuela.