1.7.3 Velocidad instantánea
Imagínate ahora la siguiente pregunta: ¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando pasa por el punto s=2? (Por decir algo).
La pregunta es equivalente a la siguiente: ¿Cuál es la velocidad de la partícula para el tiempo t o los tiempos t que corresponden a s=2?
Puesto que para calcular la velocidad debemos medir el cambio en la posición durante un intervalo de tiempo y calcular la razón de cambio promedio (cociente del cambio en la posición entre el intervalo de tiempo), tenemos el mismo problema que con la recta tangente a una curva. Necesitamos dos puntos. Es decir, necesitamos conocer la posición para dos valores del tiempo y necesitamos calcular la velocidad promedio durante ese intervalo. Usaremos la misma estrategia que usamos para encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva.
Calcularemos las posiciones s(t) y s(t+t) y luego la velocidad promedio para ese intervalo de tiempo.
s(t + | |
vprom = | |
|
t) – s(t)
En la siguiente animación se analiza para un valor del tiempo t = 
/2 el valor de la velocidad (Reduerda que s(t)=3 sen t). Observa que, numéricamente, el valor de la velocidad promedio es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por los dos puntos de la curva de s(t).
¿Qué observaste acerca de las rectas secantes cuando t
0?
A continuación se generan tablas de valores de las velocidades promedio como función del número t. Observa el valor de las velocidades conforme
t se acerca a cero.
Velocidad promedio | ||
| derecha | izquierda |
0.009 | -0.0134999 | 0.0134999 |
0.007 | -0.0105 | 0.0105 |
0.005 | -0.00749998 | 0.00749998 |
0.003 | -0.0045 | 0.0045 |
0.001 | -0.0015 | 0.0015 |
Observa el valor de las pendientes de las rectas secantes, o sea el valor de las velocidades promedio, (por la derecha y por la izquierda) conforme t
0. ¿Qué observas? ¿Se acercan a un mismo número o no?
Esta observación es la base para definir la velocidad instantánea de la partícula en el tiempo t.
Observa un detalle muy importante: La definición anterior es idéntica en forma a la definición de la pendiente de la recta tangente a una curva. Esto sugiere que el concepto del límite en una expresión de la forma Lim [f(x+h)-f(x)]/h cuando h0 es un concepto importante. De hecho, es un concepto fundamental de las matemáticas. Es el concepto de la derivada.
1.7.4 Ejercicios
1) Un auto recorre las 290 millas entre los Ángeles y Las Vegas en 5 horas. ¿Cuál es su velocidad media?
2) La posición de una partícula sobre una recta coordenada horizontal está determinada por:
f(t) = -4t2 + 10t + 6.
Encuentre la velocidad instantánea de la partícula cunado t = 3
3) La altura sobre el suelo de una pelota que se deja caer desde una altura inicial de 122.5m está dada por s(t) = 122.5 – 4.9t2, en donde s se mide en metros y t en segundos. a) ¿Cuál es la velocidad instantánea cuando t = 1/2? b) ¿En qué instante choca la pelota contra el suelo? c) ¿Cuál es la velocidad de impacto?
1.8.1 Introducción
En el cuaderno de la recta tangente vimos que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y=f(x) en el punto (a,f(a)) está dada por:
f(a+h) – f(a) | ||||
m = | Lim | [ | ] | |
h | h |
En el cuaderno de movimiento rectilíneo vimos que la velocidad instantánea de una partícula en movimiento rectilíneo está dada por:
s(t + | ||||
v(t) = | Lim | [ | ] | |
| |
Que dos problemas tan diferentes nos hallan llevado a la evaluación de límites de la misma forma sugiere que dicho límite es una cantidad fundamental en las matemáticas. Como veremos en este y posteriores cuadernos, el límite…
f(x+h) – f(x) | |||
Lim | [ | ] | |
h | h |
0
…es una cantidad fundamental.
1.8.2 Definición de la función derivada
Ejemplos
A continuación se calculará la derivada de varias funciones algebráicas a partir de la definición anterior.
f(x) =3×2 + 5 x – 3
| ||
f(x+h) – f(x) | 3(x + h)2+5(x + h) -3-3×2-5x+3 | |
= | ||
h | h | |
3×2+6xh+3h2+5x+5h -3×2-5x | ||
= | ||
h | ||
6xh + 3h2 + 5h | ||
= | ||
h | ||
= | 6x + 3h + 5 | |
f '(x) | = | Lim (6x + 3h + 5) = 6x + 5 |
h | ||
Ahora observa el siguiente ejemplo. 
1.8.3 Algunas derivadas básicas
En esta sección obtendremos la derivada de algunas funciones básicas. Una vez que veamos cuáles son sus derivadas, utilizaremos los resultados obtenidos como reglas de derivación.
La derivada de una función constante
f(x) = c | ||||
f(x+h) – f(x) | (c – c) | |||
= | = | 0 | ||
h | h | |||
f '(x) | = | Lim 0 | = | 0 |
h | ||||
Teorema 12: Derivada de una constante. La derivada de una función constante es cero. |
La derivada de xn
con n = 1 | f(x) = x | |||||
f(x+h) – f(x) | (x + h – x) | h | ||||
= | = | = | 1 | |||
h | h | h | ||||
f '(x) | = | Lim 1 | = | 1 | ||
h | ||||||
con n = 2 | f(x) = x2 | |||||
f(x+h) – f(x) | (x+h)2 – x2 | x2+ 2xh + h2- x2 | ||||
= | = | = | 2x+h | |||
h | h | h | ||||
f '(x) | = | Lim (2x + h) | = | 2x | ||
h | ||||||
con n = 3 | f(x) = x3 | |||||
f(x+h) – f(x) | (x+h)3 – x3 | x3+3x2h+3xh2+h3-x3 | ||||
= | = | = | 3×2+3xh+h2 | |||
h | h | h | ||||
f '(x) | = | Lim (3×2+3xh+h2) | = | 3×2 | ||
h | ||||||
con n = 4 | f(x) = x4 | |||||
f(x+h) – f(x) | (x + h)4 – x4 | |||||
= | = | h3 + 4h2x + 6hx2 + 4×3 | ||||
h | h | |||||
f '(x) | = | Lim (h3 + 4h2x + 6hx2 + 4×3) | = | 4×3 | ||
h | ||||||
De acuerdo a lo que observaste, ¿cuál es la derivada de f(x) = xn? (Pista: fíjate bien en lo que le pasa al exponente y a los coeficientes)
Teorema 13: Derivada de una potencia entera de x. Sea n entero positivo, entonces la derivada de la función: xn es nxn-1 |
A continuación te mostraremos algunos ejemplos para que notes cómo se van desarrollando las reglas de derivación.
La derivada de una constante
Según lo que hemos descubierto anteriormente la derivada de una constante es cero. Veamos un ejemplo.
f(x) = 7
f '(x) = 0
La derivada de una potencia entera positiva
Como ya sabemos, la derivada de xn es n xn-1, entonces:
f(x)= x5
f '(x)= 5×4
Pero que sucede con funciones como f(x) = 7×5, aún no podemos derivar la función porque no sabemos cual es la regla para derivar ese tipo de expresiones.
La derivada de una constante por una función.
Para derivar una constante por una función, es decir cf(x), su derivada es la constante por la derivada de la función, o cf'(x), por ejemplo:
f(x)= 3×5 f '(x)= 3(5×4) = 15×4 |
La derivada de una suma
Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla para la derivada de una suma es (f+g)'=f'+g', es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces:
f(x)= 2×3 + x f '(x)= 6×2 + 1 |
La derivada de un producto
Aún no hemos dicho cual es la regla para derivar un producto de funciones, la regla para la derivada de un producto es (fg)'= fg'+f'g. En español esto se interpreta como "la derivada de un producto de dos funciones es la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".
f(x)= (4x + 1)(10×2 – 5) f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10×2 – 5) |
La derivada de un cociente
Ahora daremos la regla para la derivada de un cociente.
f | f 'g – fg' | |||
[ | ]' | = | ||
g | g2 |
Traducción: la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda) entre la segunda al cuadrado.
4x + 1 | ||
f(x) | = | |
10×2 – 5 | ||
4(10×2 – 5) – 20x(4x + 1) | ||
f '(x) | = | |
(10×2 – 5)2 |
Las derivadas de las funciones trigonométricas
Ahora daremos las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas.
f(x) = sen(x) | |||
f(x+h) – f(x) | sen(h + x) – sen(x) | ||
= | |||
h | h | ||
cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) – sen(x) | |||
= | |||
h | |||
cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) – sen(x) | |||
f '(x) = | Lim[ | ] = cos(x) | |
h | h | ||
Ahora daremos el resto de las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas.
f '(x)= cos(x) | |
f(x)= cos(x) | f '(x)= -sen(x) |
f(x)= tan(x) = sen(x)/cos(x) | f '(x)= sec2(x) |
f(x)= cot(x) = cos(x)/sen(x) | f '(x)= -csc2(x) |
f(x)= sec(x) | f '(x)= sec(x) tan(x) |
f(x)= csc(x) | f '(x)= -[cot(x) csc(x)] |
Las reglas de derivación que hemos definido hasta ahora no permiten encontrar la derivada de una función compuesta como (3x + 5)4, a menos que desarrollemos el binomio y luego se apliquen las reglas ya conocidas. Observa el siguiente ejemplo.
f(x) | = | (3x + 5)2 | = | 9×2 + 30 x + 25 |
f '(x) | = | 18x + 30 | = | 6(3x + 5) |
f(x) | = | (3x + 5)3 | = | 27×3 + 135×2 + 225x + 125 |
f '(x) | = | 81 x2 + 270x + 225 | = | 9(3x + 5)2 |
f(x) | = | (3x + 5)4 = | 81×4 + 540×3 + 1350×2 + 1500x + 625 | |
f '(x) | = | 324×3 + 1620×2 + 2700x + 1500 = 12(3x + 5)3 | ||
f(x) | = | (3x + 5)5 | ||
= | 243×5 + 2025×4 + 6750×3 + 11250×2 + 9375x + 3125 | |||
f '(x) | = | 1215×4 + 8100×3 + 20250×2 + 22500x + 9375 | ||
= | 15 (3x + 5)4 | |||
Observa que después de factorizar la derivada, en cada caso se obtiene la misma función pero con el exponente disminuido en 1, multiplicada por un factor que es igual al producto del exponente original por la derivada de la función base.
Teorema 14: La derivada de una potencia entera de una función f. Sea y=[f (x)]n , entonces: y'=n[f(x)](n-1) f '(x) |
Ejemplo:
f(x)= (2x + 3)3 f '(x)= (3)(2x + 3)2(2) = 6(2x + 3)2 |
Ahora que ya has visto cómo se van construyendo las reglas de derivación, veremos un último ejemplo.
f(x)= 2x sen(3x) f '(x)= 6x cos(3x) + 2 sen(3x) |
1.8.5 Ejercicios
1) Use la definición de la derivada para la función dada:
a) f(x) = 3×2
b) 
2) Determine la derivada de la función dada. Obtenga una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el valor de x indicado:
a) f(x) = 4×2 + 7x; x = -1
3) Obtenga la razón de cambio instantánea de y = 1 / x2 con respecto a x.
1.9.1 Introducción
Iniciamos el tema de la derivada con el problema de encontrar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y=f(x). Entonces llegamos a la definición de la derivada f'(x) y vimos que f'(a) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=a.
Ahora analizaremos la siguiente situación:
Dada una función y=f(x) y un valor inicial de x, digamos x0, encontramos la pendiente de la recta tangente en [x0,f(x0)], la cual está dada por m=f'(x0). La ecuación de esa recta tangente es y-f(x0)=m(x-x0).
Supongamos que ahora ocurre un cambio en x, de x0 a x0+dx (dx es una cantidad). A ese nuevo valor de x corresponden dos valores de y, uno para la curva y=f(x) y otro para la recta tangente ya encontrada anteriormente.
Hay dos cantidades de interés:
(1) el cambio que ocurre en el valor de f (que llamaremos y). (2) el cambio que ocurre en el valor de y para la recta tangente (que llamaremos dy).
De acuerdo con esto definiremos lo siguiente. 
1.9.2 Ilustración de diferenciales
En las siguientes gráficas se calculan, para una función dada (x2) y un valor dado de x=x0, y varios valores del "cambio en x" o sea el número dx (o x), el cambio en el valor de f(x) (llamado
y) y el valor de dy.
|
| ||
| | | |
| dy = 2.0 | | dy = 1.0 |
|
| ||
| | | |
| dy = 0.667 | | dy = 0.5 |
|
| ||
| | | |
| dy = 0.4 | | dy = 0.333 |
|
| ||
| | | |
| dy = 0.286 | | dy = 0.25 |
|
| ||
| | | |
| dy = 0.222 | | dy = 0.2 |
Como habrás observado, conforme más pequeño es dx, más cercanos están los valores de y y dy, y ésta es una de las aplicaciones de las diferenciales: aproximar con dy el cambio real de una función (
y).
Para valores pequeños de dx , y es aproximadamente igual a dy.
Por lo tanto, y = f(x0+dx) – f(x0) aprox. igual a dy, de donde obtenemos que:
f(x0+dx) = aproximadamente a f(x0) + dy
1.9.3 Ejemplos del manejo de diferenciales
Veamos algunos ejemplos del cálculo de diferenciales:
Utilizando diferenciales para aproximaciones
Consideremos la función f(x)=(1/ x)1/2 y dos valores de x, x0=100 y x1=96.
Por lo considerado anteriormente tenemos que:
1.9.4 Ejercicios
1) Halle la diferencial dy:
a) y = 12(x4 – 1)1/3
b) y = xcosx – sen x
2) Determine delta "y" y dy:
a) y = x2 + 1
b) y = sen x
3) Utilice el conce pto de diferencial para encontrar una aproximación a la expresión dada:
a)
b) 
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