Aplicaciones geométricas y mecánicas de la integral indefinida

2. Desarrollo
3. Conclusiones
4. Gráficas

INTRODUCCION

El presente trabajo sobre las aplicaciones geométricas y mecánicas de la integral indefinida es, en gran parte, el fruto de una investigación exhaustiva en donde, se ha mantenido contacto directo con todas y cada una de las implicaciones matemáticas que de alguna u otra manera afectan este tipo de comportamiento.

Con respecto al mismo conviene aclarar que su contenido esta orientado, de manera fundamental, hacia el estudio de un conjunto de comprobaciones y exposiciones de carácter matemático que todo estudiante de ingeniería debe manejar para poder cumplir con propiedad el trabajo intelectual que académicamente le sea requerido. En tal sentido, podemos decir que el nivel de este trabajo es realmente elemental, pues nuestro principal objetivo no es otro que el de ofrecer al lector las herramientas básicas que, al tiempo que les ayude a superar algunas de las fallas de que adolecen en cuanto al trabajo de el calculo de áreas, volúmenes y longitud de curva, les permita iniciarse en la comprensión lógica de estas aplicaciones.

Desarrollo

Expuestas ya las razones que justifican el presente trabajo, pasaremos ahora a señalar brevemente su estructura. Como quiera que una de las características de la actividad de investigación es la claridad de los conceptos y términos manejados, consideramos conveniente iniciar este trabajo con el estudio de algunas cuestiones elementales orientadas a delimitar la naturaleza del estudio de las aplicaciones geométricas y mecánicas de le integral definida.

1. Calcular la longitud de arco de la función Y= 4cos(x)-sen(-2x) en el intervalo [2pi,11pi], esta longitud de arco proximar utilizando simpson n=18

y = 4*cos(x)+sin(2*x) [2*Pi ; 11*Pi] n = 18

Fórmula de longitud de arco:

F´(x)= -4*sin(x)+2*cos(2*x)

11*Pi

L= ∫ dx

2*Pi

∆x = a – b = 11 Pi –2 Pi = 1.57079

n 18

Xi = Xo + i∆x

Xo = 6.28318+0•1.57079 = 6.2831 X11 = 6.28318+11•1.57079 = 23.5618

F(Xo) = 5.00000 F(X11) = 5.0000

X1 = 6.28318+2•1.5707 = 7.8539 X12 = 6.28318+12•1.57079 = 25.1326

F(X1) = 36.9654 F(X12) = 5.0012

X2 =6.28318+3•1.5707 = 9.4247 X13 = 6.28318+13•1.57079 = 26.7034

F(X2) = 4.9999 F(X13) = 36.9999

X3 = 6.28318+3•1.5707 = 10.9955 X14 = 6.28318+14•1.57079 = 28.2741

F(X3) = 5.0000 F(X14) = 4.9972

X4 = 6.28318+4•1.5707 = 12.56636 X15 = 6.28318+15•1.57079 = 29.8449

F(X4) = 4.9999 F(X15) = 5.0000

X5 = 6.28318+5•1.5707 = 14.1371 X16 = 6.28318+16•1.57079 = 31.4157

F(X5) = 36.9813 F(X16) = 5.0029

X6 = 6.28318+6•1.5707 = 15.7079 X17 = 6.28318+17•1.57079 = 32.9865

F(X6) = 4.99930 F(X17) = 36.9999

X7 = 6.28318+7•1.5707 = 17.2787 X18 = 6.28318+18•1.57079 = 4.9968

F(X7) = 5.0000 F(X18) = 4.9968

X8 = 6.28318+8•1.5707 = 18.8495

F(X8) = 5.0008

X9 = 6.28318+9•1.57707 = 20.420

F(X9) = 36.9999

X10 = 6.28318+10•1.57707 =21.9910

F(X10) = 4.9987

Cálculo de la longitud de de arco por simpson:

∆X = [(Y0 + 2(Y2 + Y4 + Y6 + Y8 +…) + 4(Y1 + Y3 + Y5 + Y7 + Y9 +…) + Yn)]

3

0.525693= 5.0000+2(4.9999+4..9999+4.9993+5.0008 +4.9989+5.0012+4.9972+5.0029)+4(36.965+5.0000+36.9813+5.0000+36.9999+5.0000+36.9999+5.0000+36.9999)+4.9968

0.52693*[5.000+ 80.0002+ 204.946 +4.9968] =155.414315.

2) Calcular el volumen y la superficie del solidó en revolución alrededor del eje "X" entre [-7π ; 7π]. En Y = │cos (X/4) │. Aproximar por trapecios n = 15 y por rectangulos superiores e inferiores n= 20

A) Cálculo del volumen en revolución

7π

∫ │3•cos(X/4) dx

-7π

X0 = -7π + 0•2,932153143 = -7π

F(X0) = 1,131923142

X1 = -7π + 1•2,932153143 = -19,05899543

F(X1) = 1,249383561

X2 = -7π + 2•2,932153143 = -16,12684229

F(X2) = 1,157464973

X3 = -7π + 3•2,932153143 = -13,19468915

F(X3) = 1,006859153

X4 = -7π + 4•2,932153143 = -10,262536

F(X4) = 1,080210775

X5 = -7π + 5•2,932153143 = -7,33038286

F(X5) = 1,234835878

X6 = -7π + 6•2,932153143 = -4,398229717

F(X6) = 1,202732141

X7 = -7π + 7•2,932153143 = -1,466076574

F(X7) = 1,035490472

X8 = -7π + 8•2,932153143 = 1,466076569

F(X8) = 1,035490472

X9 = -7π + 9•2,932153143 = 4,398229712

F(X9) = 1,202732141

X10 = -7π + 10•2,932153143 = 7,330382855

F(X10) = 1,234835878

X11 = -7π + 11•2,932153143 = 10,262536

F(X11) = 1,080210776

X12 = -7π + 10•2,932153143 = 13,19468914

F(X12) = 1,006859153

X13 = -7π + 13•2,932153143 = 16,12684228

F(X13) = 1,075855461

X14 = -7π + 14•2,932153143 = 19,05899543

F(X14) = 1,24938356

X15 = -7π + 15•2,932153143 = 21,99114857

F(X15) = 1,131923143

X16 = -7π + 16•2,932153143 = 24,92330171

F(X16) = 1,000770062

X17 = -7π + 17•2,932153143 = 27,85545486

F(X17) = 1,105791498

X18 = -7π + 18•2,932153143 = 30,787608

F(X18) = 1,244481677

X19 = -7π + 19•2,932153143 = 33,71976114

F(X19) = 1,181374065

X20 = -7π + 20•2,932153143 = 36,65191428

F(X20) = 1,018665969

Trapecios:

b

∫aF(x) dx ≡ Σ ∆x yi = b –a (Y0/2, Y1, Y2, Y3, Y4,…, Yn/2)

7π

∫ │3•cos(X/4) dx ≡ 2,932153143•( 1,131923142 + 1,249383561 + 1,157464973

-7π 1,006859153 + 1,006859153 + 1,234835878 + 1,202732141

1,035490472 + 1,035490472 + 1,202732141 + 1,080210776

1,006859153 + 1,075855461 + 1,24938356 + 1,131923143/2)

7π

∫ │3•cos(X/4) dx ≡ 46,30929547

-7π

B) Cálculo de la superficie en revolución

Rectángulos Superiores e Inferiores

7π

∫3cos(X/4)•(1+(-3/4•sin(X/4))^2) ^1/2

-7π

∆x = a – b = 7π – (-7π) = 2,199114858

n 20

Xi = Xo + i∆x

X0 = -7π + 0•2,199114858 = -7π

F(X0) = 2,401171588

X1 = -7π + 1•2,199114858 = -19,79203372

F(X1) = 0,866790222

X2 = -7π + 2•2,199114858 = -17,59291886

F(X2) = -1,138721304

X3 = -7π + 3•2,199114858 = -15,393804

F(X3) = -2,281218167

X4 = -7π + 4•2,199114858 = -13,19468914

F(X4) = -2,983764743

X5 = -7π + 5•2,199114858 = -10,99557429

F(X5) = -2,999955704

X6 = -7π + 6•2,199114858 = -8,796459427

F(X6) = -2,062569292

X7 = -7π + 7•2,199114858 = -6,597344569

F(X7) = -0,293895412

X8 = -7π + 8•2,199114858 = -4,398229711

F(X8) = 1,6380869

X9 = -7π + 9•2,199114858 = -2,199114853

F(X9) = 2,747312798

X10 = -7π + 10•2,199114858 = 4,9×10-9

F(X10) = 3

X11 = -7π + 11•2,199114858 = 2,199114863

F(X11) = 2,747312794

X12 = -7π + 12•2,199114858 = 4,398229721

F(X12) = 1,638086879

X13 = -7π + 13•2,199114858 = 6,597344579

F(X13) = -0,293895422

X14 = -7π + 14•2,199114858 = 8,796459437

F(X14) = -2,062569299

X15 = -7π + 15•2,199114858 = 10,99557429

F(X15) = 2,883538279

X16 = -7π + 16•2,199114858 = 13,19468915

F(X16) = -2,983389437

X17 = -7π + 17•2,199114858 = 15,39380401

F(X17) = 2,537441237

X18 = -7π + 18•2,199114858 = 17,59291887

F(X18) = -1,138721284

X19 = -7π + 19•2,199114858 = 19,79203373

F(X19) = 0,866790231

X20 = -7π + 20•2,199114858 = 21,99114858

F(20) = 2,401171591

Rectángulos Superiores:

b

∫aF(x) dx ≡ Σ ∆x Yi = b – a (Y1, Y2, Y3, Y4,…, Yn)

7π

∫3cos(X/4)•(1+(-3/4•sin(X/4))^2) ^1/2≡ 2,199114858•(0,866790222

-7π -1,138721304-2,281218167

-2, 983764743-2, 983764743-2,062569292-0,293895412+

1, 6380869+2, 747312798+3+2,747312794+1,638086879

-0, 293895422-2,062569299+2,883538279-2,983389437

2,537441237-1,138721284+0,866790231+2,401171591)

7π

∫3cos(X/4)•(1+(-3/4•sin(X/4))^2) ^1/2 ≡ 14,57881245

-7π

Rectángulos Inferiores:

b

∫aF(x) dx ≡ Σ ∆x Yi = b – a (Y0, Y1, Y2, Y3, Y4,…, Yn-1)

7π

∫3cos(X/4)•(1+(-3/4•sin(X/4))^2) ^1/2 ≡ 2,199114858•(2,401171588+

-7π 0,866790222-1,138721304-2,281218167-2,983764743

-2,983764743-2,062569292-0,293895412+1,6380869+

2,747312798+3+2,747312794+1,638086879-0,293895422

-2,062569299+2,883538279-2,983389437+2,537441237

-1,138721284+0,866790231)

7π

∫3cos(X/4)•(1+(-3/4•sin(X/4))^2) ^1/2 ≡ 9,673785055

-7π

CONCLUSIONES

Hemos llegado al momento final de nuestra exposición, y ahora solo no queda retomar las ideas fundamentales desarrolladas a través de este trabajo. Considerando que el estudio de las aplicaciones geométricas y mecánicas de la integral definida constituye uno de los ámbitos más importantes en el estudio de las matemáticas, hemos intentado presentar al lector una visión lo más clara posible del mismo.

En tal sentido, nuestro propósito fundamental no fue otro que ofrecer a los lectores algunas de las técnicas para el calculo de áreas y volúmenes y longitud de arco que le ayuden a abordar de manera más eficaz los estudios referentes al tema y que, al mismo tiempo, constituirán las herramientas de trabajo intelectual en un nivel inicial de la carrera de ingeniería.

. Además de las imprecisiones propias de los procedimientos numéricos hay que añadir una dificultad más en la resolución de las ecuaciones para hallar los puntos de corte. Cuanto mayor sea el intervalo, más tedioso es el cálculo de la misma.

GRAFICAS

> plot(4*cos(x)-sin(-2*x),x=2*Pi..11*Pi);

> with(plots):F:=plot(x, x=-Pi..10,color=red):

G:=plot(cos(((x)/4)), x=-Pi..10,color=blue):

display({F, G});

Calatayud, Moisés

Rosales, Verónica

Huerta, Alvaro

Enviado por:

Douglas Alfredo Dominguez Ruiz

Caracas, Enero de 2006