- Cantidades de inercia
- Traslación de los ejes coordenados
- Producto tensorial
- Propiedad universal del producto tensorial
- Producto tensorial de espacios de Hilbert
- Ejemplos y aplicaciones
- Descripción intrínseca
- Relación con el espacio dual
- Tipos de tensores, v.g. alternantes
- Sobre anillos más generales
El tensor de inercia se presenta cuando en un contexto físico una magnitud escalar a es una función lineal de otra x, es decir, cuando
a(x + y) = a(x) + b(y)
entonces esta relación puede representarse mediante un escalar k tal que
a(x)=k x
El momento de inercia de una masa con respecto a un eje hace parte de las consideraciones de la dinámica del cuerpo rígido.
Una superficie plana gira alrededor de un punto cuando existiendo similitud entre las componentes del esfuerzo en dos dimensiones, los momentos y los productos de inercia, sus componentes cambian conforme el sistema de referencia respecto al cual se están midiendo; cabe que este constituye un caso especial del tensor de esfuerzos.
Los momentos y productos de inercia de unas superficies son igualmente casos especiales del tensor de inercia de las masas.
Teniendo un cuerpo rígido de mas M, y un sistema de referencia xyz, los cuales pueden tener cualquier clase de movimiento relativo entre si, el cuerpo se asumirá como un compuesto de partículas, cada una de las cuales tienen su propia masa p dv; siendo p la densidad de masa, dv el volumen.
Para un cuerpo de masa M las componentes inerciales con respecto a xyz en tiempo t serán
Ixx, Iyy, Izz,los cuales son los momentos de inercia de la masa del cuerpo respecto a x,y,z los cuales están definidos como la integración del elemento de masa pdv multiplicado por el cuadrado de la distancia perpendicular al eje correspondiente.
El producto de inercia de la masa son los términos con índices mixtos, y se toma respecto a los ejes que se indican en los subíndices.
Los índices en el producto de inercia se pueden invertir lo que da un total de nueve términos; pero vale la pena tener en cuenta que hay términos iguales:
Ixy= Iyx Izx= Ixz Iyz= Izy
Estas cantidades dependen de la inclinación, y posición del sistema de referencia, el cual se puede ubicar en cualquier parte del espacio.
Las componentes inerciales tiene una in variancia importante, debido a que la suma de los momentos inerciales de la masa, dentro de un conjunto ortogonal de ejes no depende de la orientación de los ejes, solo depende de la posición del origen.
Teniendo en cuenta que la magnitud del vector de posición desde el origen hasta una articulación no depende de la inclinación del sistema, entonces la suma de los momentos de inercia en un punto del espacio para un cuerpo dado es invariante.
Se debe tener muy en cuenta que los momentos de inercia siempre deben ser mayores que cero, los productos pueden tomar cualquier valor.
Cuando dos ejes forman un plano de simetría para la distribución de la masa de un cuerpo los productos de inercia que tengan como uno de sus índices a la coordenada perpendicular al plano de simetría serán cero, por ejemplo si el plano de simetría es el plano xy los productos Ixz, Iyz serán cero.
Para calcular los momentos de inercia y los productos de inercia se debe realizar lo siguiente:
Dando la densidad p
Primero se calcula Ixx con las ecuaciones indicadas anteriormente de la integral triple.
Iyy, Izz se calculan permutando términos.
Luego se procede a calcular Ixy empleando la ecuación dada para este termino; los términos Ixz, e Iyz se hayan permutando términos; Cuando se trata con una cuerpo esférico las componentes del tensor de inercia se halla usando coordenadas esféricas; teniendo las nueve componentes se procede a armar la matriz de nueve elementos.
Teniendo el tensor de inercia se hace posible hallar los segundos momentos y los productos de inercia de las áreas, para esto se debe tomar en cuenta que teniendo las ecuaciones anteriores para Ixx, Iyy, Izz Ixy, Ixz, Iyz; se considera t tendiendo a cero y p tendiendo a infinito, dependiendo de la rapidez con que se lleve a cabo =lo anteriormente planteado será el valor del pt, así que se puede considera que este producto llegue a ser 1, basados en estas consideraciones y con las ecuaciones que se han venido planteando se puede obtener las ecuaciones para los momentos y productos de inercia de un área, a partir de los momentos y productos de inercia de una cara, las ecuaciones que se emplearan para esto serán:
Izz se considera como el momento de inercia polar
Ixx, Iyy, son los segundos momentos
Ixy, es el producto de inercia de la cara de la superficie.
Traslación de los ejes coordenados
Hasta el momento los cálculos se ha realizado sobre el eje coordenado O, ahora se considerara un sistema coordenado xyz desplazado
referencia x’y’z’, cuyo origen está en el centro de la masa.
Si va a calcular el momento de inercia Izz.
Izz = ∫∫∫y (x2 + y2) ρdv = ∫∫∫y [(xc + x’)2 + (yc + y’)2)] ρdv
Desarrollando los cuadrados, reordenando y observando que las cantidades del subíndice c son constantes para la integración y pueden sacarse de ella, así:
Izz = M[xc2 + yc2] + 2xc ∫∫∫y x’dm + 2yc ∫∫∫y y’ dm + ∫∫∫y (x’2 + y’2) ρdv
Donde en algunos términos se ha sustituido pdv por dm y se ha obtenido el valor de la integral ∫∫∫ pdv que es M, la masa total del cuerpo. En la expresión anterior los términos intermedios son cero y si el ultimo termino se designa por Iz`z`, se tiene la formula deseada:
Izz = Iz’z’ + M(xc2 + yc2) = Iz’z’ + Md2
Donde d es la distancia perpendicular entre los ejes z y z’. Se puede generalizar el enunciado anterior, el momento de inercia de algún cuerpo con respecto a cualquier eje, es igual al momento de inercia de algún cuerpo con respecto a un eje paralelo que pase a través del centro de masa, mas la masa total multiplicado por el cuadrado de la distancia perpendicular entre los ejes
Producto tensorial de dos tensores
Hay una fórmula general para el producto de dos (o más) tensores
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Estamos asumiendo aquí, para simplificar, tensores ortogonales, sin distinción entre índices covariantes y contra variantes. Los parámetros introducidos arriba trabajan así:
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Producto tensorial de funciones multilineales
Dadas las funciones multilineales f(x1… xk) y g(x1… xm) su producto tensorial es la función multilineal
Producto tensorial de espacios vectoriales
El producto
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de dos espacios vectoriales V y W tienen una definición formal por el método de generadores y relaciones. La clase de equivalencia de (v,w) se llama un tensor y es denotada por
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. Por construcción, se puede probar solamente tantas identidades entre los tensores, y las sumas de tensores, como se siguen de las relaciones usadas.
Tómese el espacio vectorial generado por W x V y aplique (factorice los subespacios generados por) las relaciones multilineales detalladas abajo. Con esta notación las relaciones toman la forma:
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Propiedad universal del producto tensorial
El espacio de todos las funciones bilineales desde V x W a R es naturalmente isomorfo al espacio de todos las funciones lineales de
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a R. Esto es por construcción:
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tienen solamente las relaciones que son necesarias para asegurarse de que un homomorfismo de los
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a R será bilineal
Producto tensorial de espacios de Hilbert
El producto tensorial de dos espacios de Hilbert es otro espacio de Hilbert.
Sean H1 y H2 dos espacios de Hilbert con los productos internos < ·, ·>1 y < ·, ·>2, respectivamente. Constrúyase el producto tensorial de H1 y H2 como espacios vectoriales. Podemos convertir a este producto tensorial de espacios vectoriales en uno con producto escalar definiendo:
Para todo
y extendiendo por linealidad. Finalmente, tomemos completación de este producto interno. El resultado es el producto tensorial de H1 y H2 como espacios de Hilbert.
Propiedades
Si H1 y H2 tienen bases ortonormales {φk} y {ψl}, respectivamente, entonces {φk⊗ψl} son una base ortogonormal para H1⊗H2.
Dados dos espacios de medida X y Y, con μ y ν las medidas respectivamente, uno puede considerar L2(X × Y), el espacio de las funciones en X × Y que son cuadrado-integrables con respecto a la medida producto μ Χ ν. Si f es una función cuadrado-integrable en X, y g es una función cuadrado-integrable en Y, entonces podemos definir una función h en X × Y por h(x, y) = f(x) g(y). la definición de la medida producto nos asegura que todas las funciones de esta forma son cuadrado-integrables, así que ésta define una función bilineal de L2(X) × L2(Y) → L2(X × Y). Las combinaciones lineales de las funciones de la forma f(x) g(y) estan también en L2(X × Y). Resulta que el conjunto de combinaciones lineales es de hecho denso en L2(X × Y), si L2(X) y L2(Y) son separables. Esto demuestra que L2(X) ⊗ L2(Y) es isomorfo a L2(X × Y), y también explica porqué necesitamos tomar la completación en la construcción del producto tensorial del espacio de Hilbert.
Semejantemente, podemos demostrar que L2(X; H), denotando el espacio de las funciones cuadrado-integrables de X → H, es isomorfo al L2(X) ⊗ H si este espacio es separable. El isomorfismo manda f(x) ⊗ψ ∈ L2(X)⊗ H a f(x)ψ ∈ L2(X; H). Podemos combinar esto con el ejemplo anterior y concluir que L2(X) ⊗ L2(Y) y L2(X × Y) son ambos isomorfos a L2(X; L2(Y)).
Los productos tensoriales de los espacios de Hilbert se presentan a menudo en la mecánica cuántica. Si una cierta partícula es descrita por el espacio de Hilbert H1, y se describe otra partícula por H2, entonces el conjunto que consiste en ambas partículas es descrito por el producto tensorial de H1 y H2. Por ejemplo, el espacio de estado de un oscilador armónico cuántico es L2(R), así que el espacio de estado de dos osciladores es L2(R) ⊗ L2(R ), el cual es isomorfo a L2(R2). Por lo tanto, el conjunto de la dos partículas es descrito por las funciones de la onda de la forma φ(x1, x2). Un ejemplo más intrincado es proporcionado por los espacios de Fock, que describen un número variable de partículas.
El producto tensorial de los dos espacios vectoriales V y W sobre el mismo cuerpo base F es definido por la siguiente propiedad universal: es un espacio vectorial T sobre F, junto con un operador bilineal:
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, tales que para cada operador bilineal
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existe un operador lineal L único: L: T → X con
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, i.e.
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para todo x en V y y en W.
El producto tensorial es módulo un único isomorfismo especificado unívocamente por este requisito, y podemos por lo tanto escribir
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en vez de T. Por la construcción directa, según lo sugerido en la sección anterior, uno puede demostrar que existe el producto tensorial para cualesquiera dos espacios vectoriales. El espacio
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es generado por la imagen de la
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y aún más: si S es una base de V y T es una base de W, entonces
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es una base para
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La dimensión del espacio por lo tanto está dada por el producto de las dimensiones de V y de W. Es posible generalizar la definición a un producto tensorial de cualquier número de espacios. Por ejemplo, la propiedad universal de
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es que cada operador tri-lineal en
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corresponde a un operador lineal único en
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El producto binario tensorial es asociativo:
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es naturalmente isomorfo a
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Nótese que el espacio
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(espacio dual de
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que contiene todos los funcionales lineales en ese espacio) corresponde naturalmente al espacio de todos los funcionales bilineales en los
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. Es decir cada funcional bilineal es un funcional en el producto tensorial, y viceversa. Hay un isomorfismo natural entre
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y
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. Así pues, los tensores de los funcionales lineales son funcionales bilineales. Esto nos da una nueva manera de mirar el espacio de funcionales bilineales: como producto tensorial.
Tipos de tensores, v.g. alternantes
Los subespacios lineales de operadores bilineales (o en general, operadores multilineales) determinan espacios cociente natural del espacio tensorial, que son con frecuencia útiles. Otro sería el tratamiento de las formas algebraicas como tensores simétricos.
Es también posible generalizar la definición a los productos tensoriales de módulos sobre el mismo anillo. Si el anillo es no conmutativo, necesitaremos tener cuidado en distinguir los módulos derechos y los módulos izquierdos. Escribiremos RM para un módulo izquierdo, y MR para un módulo derecho. Si un módulo M tiene una estructura izquierda de módulo sobre un anillo R y una estructura de módulo derecho sobre un anillo S, y además para cada m en M, r en R y s en S tenemos r(ms) = (rm)s, entonces diremos que M es un bimódulo, y lo notaremos RMS. Nótese que cada módulo izquierdo es un bimódulo con Z actuando por mn = m + m +… +m de m como el anillo derecho, y viceversa.
Al definir el producto tensorial, necesitamos ser cuidadosos respecto al anillo: la mayoría de los módulos se pueden considerar como distintos módulos sobre diversos anillos o sobre el mismo anillo con diversas acciones del anillo en los elementos del módulo. La forma más general de la definición de producto tensorial es como sigue: Sea MR y RN un módulo derecho y un módulo izquierdo, respectivamente. Su producto tensorial R es un grupo abeliano P junto con un operador R-bilineal T: M x N → P tal que para cada operador R-bilineal B: M x N → O hay un homomorfismo de grupos único L: P → O tales que L o T = B. P no necesita ser un módulo sobre R. Sin embargo, si S1MR es un S1-R-bimódulo, entonces hay una única estructura de S1-módulo izquierdo en P que es compatible con T. similarmente RMS2 es un R-S2-bimódulo, entonces semejantemente hay una única estructura de S2-módulo derecho en P que es compatible con T. Si M y N son ambos bimódulos, entonces P es también un bimódulo, otra vez de una manera única. (P, T) es único salvo un isomorfismo único, y se llama el "producto tensorial" de M y N. Si R es un anillo, RM es un R-módulo izquierdo, y el conmutador rs-sr de cualesquiera dos elementos r y s de R está en el aniquilador de M, entonces se puede hacer de M un módulo derecho de R fijando mr=rm. Observe que en esta situación la acción de R en M factoriza por una acción del anillo conmutativo R/Z(R), i.e. R módulo su centro. En este caso el producto tensorial de M con sí mismo sobre R es otra vez un R-módulo. Si M y N es ambos R-módulos que satisfacen esta condición, entonces su producto tensorial es otra vez un R-módulo. Esto es una técnica muy común en álgebra conmutativa.
Ejemplo: Considere los números racionales Q y los enteros módulo n Zn. Ambos se pueden considerar como módulos sobre los números enteros, Z. Sea B: Q x Zn → M sea un operador Z-bilineal. Entonces B(q, i) = B(q/n, n*i) = B(q/p, 0) = 0, así que cada operador bilineal es idénticamente cero. Por lo tanto, si definimos P como el módulo trivial, y T como la función bilineal cero, entonces las propiedades para el producto tensorial son satisfechas. Por lo tanto, el producto tensorial de Q y Zn es {0}.
RIGOBERTO HERNANDO OLARTE
ING Mecatronico.
BUCARAMANGA – SANTANDER – COLOMBIA