Cálculo de Pi

1. Resumen
2. El número pi, un poco de historia
3. Cálculo de p por el método de Leibnitz basado en el arco tangente de James Gregory

Resumen

Este trabajo acerca del cálculo de pi, utiliza un algoritmo de convergencia de bajo rendimiento, como lo es el método de Leibnitz, basado en el arco tangente de James Gregory, pero, es una forma didáctica para mostrar el poco alcance de dicho método, y de esta manera buscar otros métodos con mejores rendimientos, es decir, algoritmos mucho más eficientes que éste. Seguramente presentaré en otros trabajos, algoritmos que mejoren el actual método. Esto constituirá una búsqueda utilizando la potencia de MATLAB en la investigación de este tema, aunque se sabe mucho de los trabajos que ya se han realizado sobre este tópico. Es una búsqueda didáctica, para "aprender haciendo" de los estudiantes y lectores que son inquietos intelectualmente.

EL NÚMERO PI, UN POCO DE HISTORIA

El número pi es la constante que relaciona el perímetro de una circunferencia (L), con la longitud de su diámetro p = L/D. Este no es un número exacto, sino que es de los llamados números irracionales que tiene infinitas cifras decimales sin repetición de períodos. Ya en la antigüedad, se insinuó que todos los círculos conservaban una estrecha dependencia entre el contorno y su radio, pero tan sólo desde el siglo XVII la correlación se convirtió en un dígito y fue identificado con el nombre "Pi" (de periphereia, denominación que los griegos daban al perímetro de un círculo). A lo largo de la historia, a este ilustre guarismo se le han asignado diversas cantidades. En la Biblia, aparece con el valor 3, en Babilonia 3+1/8, los egipcios le otorgaban 4(8/9)², y en China 3.1724. Sin embargo, fue en Grecia donde la correspondencia entre el radio y la longitud de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los más insignes enigmas a resolver. Un coetáneo de Sócrates, Antiphon, inscribió en el círculo un cuadrado, luego un octógono e ideó multiplicar la cantidad de lados hasta el momento en que el polígono obtenido se ajustara casi con la circunferencia. Euclides precisa en sus Elementos, los pasos al límite necesarios e investiga un sistema consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares y en demostrar la convergencia del procedimiento.

Algunos valores de pi obtenidos antes de 1900 fueron:

• Papiro Rhind o de Ahmes (Egipto, 4000 a.C.), que es uno de los documentos matemáticos más antiguos: (16/9)2 = 3.160494.
• Tablilla de Susa (Babilonia, 1600 a.C.): 3.125
• La Biblia (Reyes-I-7-23, 550 a.C.): 3
• Bandhayana (India, 500 a.C.): 3.09
• Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.): Entre 223/71 y 220/70
• Liu Hui (China, 260 d.C.): 3.1416
• Tsu Chung Chih (480 d.C.): Entre 3.145926 y 3.1415927
• Al-Khowarizmi (800 d.C.): 3.1416 (3 decimales correctos)
• Bhaskhara, el Sabio (India, siglo XII): 3 + 17/120
• Fibonacci (1220 d.C.): 3.141818
• Al-Kashi (Persia, 1429): 14 decimales
• Franciscus Viete (Francia, 1540-1603, en 1593): 9 decimales
• Newton (Inglaterra, 1642-1727, en 1665 d.C.): 16 decimales
• William Shanks, matemático inglés, dedico 20 años de su vida a la obtención de 707 decimales de pi. En 1945 se descubrió que había cometido un error en el decimal 528 y a partir de éste, todos los demás eran incorrectos.

Con las computadoras todo fue mucho más fácil:

• En 1949, Reitwiesner con uno de los primeros computadores, el ENIAC, trabajando durante 70 horas, determinó pi con 2,037 decimales.
• En 1959, Guilloud obtuvo 16,167 decimales.
• En 1961 Daniell Shanks y Wrench, obtuvieron en 8 horas y 23 minutos 100,265 cifras en una computadora IBM 7090.
• En Octubre de 1995, Daisuke Takahashi y Yasumasa Kanada llegaron a obtener 6,442’450,938 decimales tras superar varios récords suyos anteriores.
• En Julio de 1997, los mismos Yasumasa Kanada y Daisuke Takahashi obtuvieron 51,539’600,000 cifras, utilizando un computador HITACHI SR2201 con 1024 procesadores.