CÁLCULO DE p POR EL MÉTODO DE LEIBNITZ BASADO EN EL ARCO TANGENTE DE JAMES GREGORY
Para empezar, se va a hallar la serie de Maclaurin de arc tan x, alrededor del punto x = 0.
Se sabe que: tan-1 x = 2).
Expandiendo la función 1/(1+t2) alrededor del punto t = 0, se obtiene:
1/(1+t2) = 1 – t2 + t4 – t6 + … (1)
De (1) se obtiene:
tan-1 x = 2) = ∫ (1 – t2 + t4 – t6 + …) dt = x – x3/3 + x5/5 – x7 +…
por integración. De hecho la serie para tan-1 x converge en x = 1.
tan –1 1 = π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – … (2)
Así que π resulta ser:
π = 4(1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …) (3)
El siguiente es el programa MATLAB para el cálculo de pi por el método de Leibnitz basado en el arco tangente de James Gregory.
%Laboratorio de Matematicas con MATLAB
%Tema: calculo del numero PI
%
clc
n=input('ENTRE EL NUMERO DE TÉRMINOS DE LA SERIE A CALCULAR: ');
disp(' ')
suma=0;
suma1=0;
suma2=0;
k=2*n;
k1=-3;
k2=-1;
while k1<k-3,
k1=k1+4;
suma1=suma1+1/k1;
end
while k2<k-3,
k2=k2+4;
suma2=suma2+1/k2;
end
suma=4*(suma1-suma2);
vpa(suma,100)
La serie converge de una manera terriblemente lenta (no es un superatractor como se verá más adelante), pero sin embargo se pueden obtener algunos resultados en un tiempo relativamente corto. Se usa más como ejercicio didáctico que como una buena forma de calcular pi.
Con dos millones de términos de la serie, solamente se obtienen 7 cifras significativas y una precisión de una millonésima.
Ejecutando el anterior programa se obtiene:
ENTRE EL NÚMERO DE TÉRMINOS DE LA SERIE A CALCULAR: 2000000
ans =
3.14159215358828269870627991622313857078552246093750000000000000000000000000000
Nota: los números en rojo, no son significativos
Con mil millones de términos de la serie, se obtienen 9 cifras significativas y una precisión de una cien millonésima. Se puede afirmar empíricamente que en el sistema dinámico utilizado anteriormente para calcular pi, éste no es un súper atractor.
Al ejecutar el programa se obtiene:
ENTRE EL NÚMERO DE TÉRMINOS DE LA SERIE A CALCULAR: 1000000000
ans =
3.14159265258555464583878347184509038925170898437500000000000000000000000000000
Existen mejores métodos que convergen más rápidamente para calcular el número pi, como el método de Francois Viéte (quien previamente usó un polígono de 393,216 lados para encontrar 9 cifras decimales), entre otros.
Se presenta ahora por curiosidad, el resultado de un cálculo de pi con 20,000 cifras decimales utilizando una PC doméstica, un algoritmo de convergencia rápida y MATLAB, en unos pocos segundos. Con estas herramientas utilizadas adecuadamente se pueden obtener excelentes resultados y son armas de largo alcance en la investigación científica.
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164
062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253
594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659
334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936
072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903
600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173
819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298
336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931
767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371
787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219
608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328
160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378
387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823
537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952
572010654858632788659361533818279682303019520353018529689957736225994138
912497217752834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983
817546374649393192550604009277016711390098488240128583616035637076601047
101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590
694912933136770289891521047521620569660240580381501935112533824300355876
402474964732639141992726042699227967823547816360093417216412199245863150
302861829745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449
872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746
728909777727938000816470600161452491921732172147723501414419735685481613
611573525521334757418494684385233239073941433345477624168625189835694855
620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843
838279679766814541009538837863609506800642251252051173929848960841284886
269456042419652850222106611863067442786220391949450471237137869609563643
719172874677646575739624138908658326459958133904780275900994657640789512
694683983525957098258226205224894077267194782684826014769909026401363944
374553050682034962524517493996514314298091906592509372216964615157098583
874105978859597729754989301617539284681382686838689427741559918559252459
539594310499725246808459872736446958486538367362226260991246080512438843
904512441365497627807977156914359977001296160894416948685558484063534220
722258284886481584560285060168427394522674676788952521385225499546667278
239864565961163548862305774564980355936345681743241125150760694794510965
960940252288797108931456691368672287489405601015033086179286809208747609
178249385890097149096759852613655497818931297848216829989487226588048575
640142704775551323796414515237462343645428584447952658678210511413547357
395231134271661021359695362314429524849371871101457654035902799344037420
073105785390621983874478084784896833214457138687519435064302184531910484
810053706146806749192781911979399520614196634287544406437451237181921799
983910159195618146751426912397489409071864942319615679452080951465502252
316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615
014215030680384477345492026054146659252014974428507325186660021324340881
907104863317346496514539057962685610055081066587969981635747363840525714
591028970641401109712062804390397595156771577004203378699360072305587631
763594218731251471205329281918261861258673215791984148488291644706095752
706957220917567116722910981690915280173506712748583222871835209353965725
121083579151369882091444210067510334671103141267111369908658516398315019
701651511685171437657618351556508849099898599823873455283316355076479185
358932261854896321329330898570642046752590709154814165498594616371802709
819943099244889575712828905923233260972997120844335732654893823911932597
463667305836041428138830320382490375898524374417029132765618093773444030
707469211201913020330380197621101100449293215160842444859637669838952286
847831235526582131449576857262433441893039686426243410773226978028073189
154411010446823252716201052652272111660396665573092547110557853763466820
653109896526918620564769312570586356620185581007293606598764861179104533
488503461136576867532494416680396265797877185560845529654126654085306143
444318586769751456614068007002378776591344017127494704205622305389945613
140711270004078547332699390814546646458807972708266830634328587856983052
358089330657574067954571637752542021149557615814002501262285941302164715
509792592309907965473761255176567513575178296664547791745011299614890304
639947132962107340437518957359614589019389713111790429782856475032031986
915140287080859904801094121472213179476477726224142548545403321571853061
422881375850430633217518297986622371721591607716692547487389866549494501
146540628433663937900397692656721463853067360965712091807638327166416274
888800786925602902284721040317211860820419000422966171196377921337575114
959501566049631862947265473642523081770367515906735023507283540567040386
743513622224771589150495309844489333096340878076932599397805419341447377
441842631298608099888687413260472156951623965864573021631598193195167353
812974167729478672422924654366800980676928238280689964004824354037014163
149658979409243237896907069779422362508221688957383798623001593776471651
228935786015881617557829735233446042815126272037343146531977774160319906
655418763979293344195215413418994854447345673831624993419131814809277771
038638773431772075456545322077709212019051660962804909263601975988281613
323166636528619326686336062735676303544776280350450777235547105859548702
790814356240145171806246436267945612753181340783303362542327839449753824
372058353114771199260638133467768796959703098339130771098704085913374641
442822772634659470474587847787201927715280731767907707157213444730605700
733492436931138350493163128404251219256517980694113528013147013047816437
885185290928545201165839341965621349143415956258658655705526904965209858
033850722426482939728584783163057777560688876446248246857926039535277348
030480290058760758251047470916439613626760449256274204208320856611906254
543372131535958450687724602901618766795240616342522577195429162991930645
537799140373404328752628889639958794757291746426357455254079091451357111
369410911939325191076020825202618798531887705842972591677813149699009019
211697173727847684726860849003377024242916513005005168323364350389517029
893922334517220138128069650117844087451960121228599371623130171144484640
903890644954440061986907548516026327505298349187407866808818338510228334
508504860825039302133219715518430635455007668282949304137765527939751754
613953984683393638304746119966538581538420568533862186725233402830871123
282789212507712629463229563989898935821167456270102183564622013496715188
190973038119800497340723961036854066431939509790190699639552453005450580
685501956730229219139339185680344903982059551002263535361920419947455385
938102343955449597783779023742161727111723643435439478221818528624085140
066604433258885698670543154706965747458550332323342107301545940516553790
686627333799585115625784322988273723198987571415957811196358330059408730
681216028764962867446047746491599505497374256269010490377819868359381465
741268049256487985561453723478673303904688383436346553794986419270563872
931748723320837601123029911367938627089438799362016295154133714248928307
220126901475466847653576164773794675200490757155527819653621323926406160
136358155907422020203187277605277219005561484255518792530343513984425322
341576233610642506390497500865627109535919465897514131034822769306247435
363256916078154781811528436679570611086153315044521274739245449454236828
860613408414863776700961207151249140430272538607648236341433462351897576
645216413767969031495019108575984423919862916421939949072362346468441173
940326591840443780513338945257423995082965912285085558215725031071257012
668302402929525220118726767562204154205161841634847565169998116141010029
960783869092916030288400269104140792886215078424516709087000699282120660
418371806535567252532567532861291042487761825829765157959847035622262934
860034158722980534989650226291748788202734209222245339856264766914905562
842503912757710284027998066365825488926488025456610172967026640765590429
099456815065265305371829412703369313785178609040708667114965583434347693
385781711386455873678123014587687126603489139095620099393610310291616152
881384379099042317473363948045759314931405297634757481193567091101377517
210080315590248530906692037671922033229094334676851422144773793937517034
436619910403375111735471918550464490263655128162288244625759163330391072
253837421821408835086573917715096828874782656995995744906617583441375223
970968340800535598491754173818839994469748676265516582765848358845314277
568790029095170283529716344562129640435231176006651012412006597558512761
785838292041974844236080071930457618932349229279650198751872127267507981
255470958904556357921221033346697499235630254947802490114195212382815309
114079073860251522742995818072471625916685451333123948049470791191532673
430282441860414263639548000448002670496248201792896476697583183271314251
702969234889627668440323260927524960357996469256504936818360900323809293
459588970695365349406034021665443755890045632882250545255640564482465151
875471196218443965825337543885690941130315095261793780029741207665147939
425902989695946995565761218656196733786236256125216320862869222103274889
218654364802296780705765615144632046927906821207388377814233562823608963
208068222468012248261177185896381409183903673672220888321513755600372798
394004152970028783076670944474560134556417254370906979396122571429894671
543578468788614445812314593571984922528471605049221242470141214780573455
105008019086996033027634787081081754501193071412233908663938339529425786
905076431006383519834389341596131854347546495569781038293097164651438407
007073604112373599843452251610507027056235266012764848308407611830130527
932054274628654036036745328651057065874882256981579367897669742205750596
834408697350201410206723585020072452256326513410559240190274216248439140
359989535394590944070469120914093870012645600162374288021092764579310657
922955249887275846101264836999892256959688159205600101655256375678566722
796619885782794848855834397518744545512965634434803966420557982936804352
202770984294232533022576341807039476994159791594530069752148293366555661
567873640053666564165473217043903521329543529169414599041608753201868379
370234888689479151071637852902345292440773659495630510074210871426134974
595615138498713757047101787957310422969066670214498637464595280824369445
789772330048764765241339075920434019634039114732023380715095222010682563
427471646024335440051521266932493419673977041595683753555166730273900749
729736354964533288869844061196496162773449518273695588220757355176651589
855190986665393549481068873206859907540792342402300925900701731960362254
756478940647548346647760411463233905651343306844953979070903023460461470
961696886885014083470405460742958699138296682468185710318879065287036650
832431974404771855678934823089431068287027228097362480939962706074726455
399253994428081137369433887294063079261595995462624629707062594845569034
711972996409089418059534393251236235508134949004364278527138315912568989
295196427287573946914272534366941532361004537304881985517065941217352462
589548730167600298865925786628561249665523533829428785425340483083307016
537228563559152534784459818313411290019992059813522051173365856407826484
942764411376393866924803118364453698589175442647399882284621844900877769
776312795722672655562596282542765318300134070922334365779160128093179401
718598599933849235495640057099558561134980252499066984233017350358044081
168552653117099570899427328709258487894436460050410892266917835258707859
512983441729535195378855345737426085902908176515578039059464087350612322
611200937310804854852635722825768203416050484662775045003126200800799804
925485346941469775164932709504934639382432227188515974054702148289711177
792376122578873477188196825462981268685817050740272550263329044976277894
423621674119186269439650671515779586756482399391760426017633870454990176
143641204692182370764887834196896861181558158736062938603810171215855272
668300823834046564758804051380801633638874216371406435495561868964112282
140753302655100424104896783528588290243670904887118190909494533144218287
661810310073547705498159680772009474696134360928614849417850171807793068
108546900094458995279424398139213505586422196483491512639012803832001097
738680662877923971801461343244572640097374257007359210031541508936793008
169980536520276007277496745840028362405346037263416554259027601834840306
811381855105979705664007509426087885735796037324514146786703688098806097
164258497595138069309449401515422221943291302173912538355915031003330325
111749156969174502714943315155885403922164097229101129035521815762823283
182342548326111912800928252561902052630163911477247331485739107775874425
387611746578671169414776421441111263583553871361011023267987756410246824
032264834641766369806637857681349204530224081972785647198396308781543221
166912246415911776732253264335686146186545222681268872684459684424161078
540167681420808850280054143613146230821025941737562389942075713627516745
731891894562835257044133543758575342698699472547031656613991999682628247
270641336222178923903176085428943733935618891651250424404008952719837873
864805847268954624388234375178852014395600571048119498842390606136957342
315590796703461491434478863604103182350736502778590897578272731305048893
989009923913503373250855982655867089242612429473670193907727130706869170
926462548423240748550366080136046689511840093668609546325002145852930950
000907151058236267293264537382104938724996699339424685516483261134146110
680267446637334375340764294026682973865220935701626384648528514903629320
199199688285171839536691345222444708045923966028171565515656661113598231
122506289058549145097157553900243931535190902107119457300243880176615035
270862602537881797519478061013715004489917210022201335013106016391541589
578037117792775225978742891917915522417189585361680594741234193398420218
745649256443462392531953135103311476394911995072858430658361935369329699
289837914941939406085724863968836903265564364216644257607914710869984315
733749648835292769328220762947282381537409961545598798259891093717126218
283025848112389011968221429457667580718653806506487026133892822994972574
530332838963818439447707794022843598834100358385423897354243956475556840
952248445541392394100016207693636846776413017819659379971557468541946334
893748439129742391433659360410035234377706588867781139498616478747140793
263858738624732889645643598774667638479466504074111825658378878454858148
962961273998413442726086061872455452360643153710112746809778704464094758
280348769758948328241239292960582948619196670918958089833201210318430340
128495116203534280144127617285830243559830032042024512072872535581195840
149180969253395075778400067465526031446167050827682772223534191102634163
157147406123850425845988419907611287258059113935689601431668283176323567
325417073420817332230462987992804908514094790368878687894930546955703072
619009502076433493359106024545086453628935456862958531315337183868265617
862273637169757741830239860065914816164049449650117321313895747062088474
802365371031150898427992754426853277974311395143574172219759799359685252
285745263796289612691572357986620573408375766873884266405990993505000813
375432454635967504844235284874701443545419576258473564216198134073468541
117668831186544893776979566517279662326714810338643913751865946730024434
500544995399742372328712494834706044063471606325830649829795510109541836
235030309453097335834462839476304775645015008507578949548931393944899216
125525597701436858943585877526379625597081677643800125436502371412783467
926101995585224717220177723700417808419423948725406801556035998390548985
723546745642390585850216719031395262944554391316631345308939062046784387
785054239390524731362012947691874975191011472315289326772533918146607300
089027768963114810902209724520759167297007850580717186381054967973100167
870850694207092232908070383263453452038027860990556900134137182368370991
949516489600755049341267876436746384902063964019766685592335654639138363
185745698147196210841080961884605456039038455343729141446513474940784884
423772175154334260306698831768331001133108690421939031080143784334151370
924353013677631084913516156422698475074303297167469640666531527035325467
112667522460551199581831963763707617991919203579582007595605302346267757
943936307463056901080114942714100939136913810725813781357894005599500183
542511841721360557275221035268037357265279224173736057511278872181908449
006178013889710770822931002797665935838758909395688148560263224393726562
472776037890814458837855019702843779362407825052704875816470324581290878
395232453237896029841669225489649715606981192186584926770403956481278102
179913217416305810554598801300484562997651121241536374515005635070127815
926714241342103301566165356024733807843028655257222753049998837015348793
008062601809623815161366903341111386538510919367393835229345888322550887
064507539473952043968079067086806445096986548801682874343786126453815834
280753061845485903798217994599681154419742536344399602902510015888272164
745006820704193761584547123183460072629339550548239557137256840232268213
012476794522644820910235647752723082081063518899152692889108455571126603
965034397896278250016110153235160519655904211844949907789992007329476905
868577878720982901352956613978884860509786085957017731298155314951681467
176959760994210036183559138777817698458758104466283998806006162298486169
353373865787735983361613384133853684211978938900185295691967804554482858
483701170967212535338758621582310133103877668272115726949518179589754693
992642197915523385766231676275475703546994148929041301863861194391962838
870543677743224276809132365449485366768000001065262485473055861598999140
170769838548318875014293890899506854530765116803337322265175662207526951
791442252808165171667766727930354851542040238174608923283917032754257508
676551178593950027933895920576682789677644531840404185540104351348389531
201326378369283580827193783126549617459970567450718332065034556644034490
453627560011250184335607361222765949278393706478426456763388188075656121
689605041611390390639601620221536849410926053876887148379895599991120991
646464411918568277004574243434021672276445589330127781586869525069499364
610175685060167145354315814801054588605645501332037586454858403240298717
093480910556211671546848477803944756979804263180991756422809873998766973
237695737015808068229045992123661689025962730430679316531149401764737693
873514093361833216142802149763399189835484875625298752423873077559555955
465196394401821840998412489826236737714672260616336432964063357281070788
758164043814850188411431885988276944901193212968271588841338694346828590
066640806314077757725705630729400492940302420498416565479736705485580445
865720227637840466823379852827105784319753541795011347273625774080213476
826045022851579795797647467022840999561601569108903845824502679265942055
503958792298185264800706837650418365620945554346135134152570065974881916
341359556719649654032187271602648593049039787489589066127250794828276938
953521753621850796297785146188432719223223810158744450528665238022532843
891375273845892384422535472653098171578447834215822327020690287232330053
862163479885094695472004795231120150432932266282727632177908840087861480
221475376578105819702226309717495072127248479478169572961423658595782090
830733233560348465318730293026659645013718375428897557971449924654038681
799213893469244741985097334626793321072686870768062639919361965044099542
167627840914669856925715074315740793805323925239477557441591845821562518
192155233709607483329234921034514626437449805596103307994145347784574699
992128599999399612281615219314888769388022281083001986016549416542616968
586788372609587745676182507275992950893180521872924610867639958916145855
058397274209809097817293239301067663868240401113040247007350857828724627
134946368531815469690466968693925472519413992914652423857762550047485295
476814795467007050347999588867695016124972282040303995463278830695976249
361510102436555352230690612949388599015734661023712235478911292547696176
005047974928060721268039226911027772261025441492215765045081206771735712
027180242968106203776578837166909109418074487814049075518
¿Cuál es el interés de calcular veinte mil (quizá millones) o más dígitos del número pi?
Podría afirmar que es la misma razón por la cual los humanos escalan el Himalaya o cualquier cumbre elevada. Es más un desafío e interés científico que cualquier otra cosa.
Si se varía una billonésima del número pi, en el cálculo de la longitud de la circunferencia que realiza un satélite en órbita alrededor de la tierra a una altura de 330 kilómetros de la superficie terrestre (nivel del mar), solamente variaría unos pocos centímetros.
>> format long
>> pi1 = 3.141592653588
pi1 =
3.141592653588
>> pi2=3.141592653589
pi2 =
3.141592653589
>> L1=2*pi1*370000 % altura de la orbita del satélite desde el centro de la tierra asumiendo un radio terrestre de cuarenta mil kilómetros.
L1 =
2.324778563655120e+006 Km
2324778.563655120 metros de longitud
>> L2=2*pi2*370000 % altura de la orbita del satélite desde el centro de la tierra asumiendo un radio terrestre de cuarenta mil kilómetros.
L2 =
2.324778563655860e+006
2324778.563655860 metros de longitud
Los dos resultados solamente varían en el orden de micrones. ¿Será necesaria tanta precisión para la NASA en el cálculo de un vuelo espacial? Obsérvese que la medida de la altura de la órbita está dada con precisión de kilómetros y las cifras del orden de micrones no son significativas. Si se varía una billonésima en el número pi, solamente se tendría una variación en el orden de micrones. Pero, el radio en el cual orbita el satélite no tiene tanta precisión. Podría tener precisión de kilómetros, quizá de metros, por tal motivo no se ganaría mucho con tanta precisión de pi.
Existen muchos otros algoritmos para el cálculo de pi que son más eficientes, como por ejemplo:
- Método de Leibniz
- Método de Brouncker
- Método de Montecarlo
- Método de John Wallis
- Método de Abraham Sharp
- Método de John Machin
- Método de Leonhard Euler
Entre muchos otros.
BIBLIOGRAFÍA
- ELGARTEN, Gerald H. Y otros. Using Computers in Mathematics. Addison-Wesley Publishing Company. Menlo Park, California, 1983.
- Stanley, William D. Technical Analysis and Applications with MATLAB. Thomson Delmar Learning. Canada, 2005.
- POTTER, Merle C. y otros. Advanced Engineering Mathematics. Oxford University Press. Osford, 2005.
- PÉREZ, César. Matlab y sus aplicaciones en las ciencias y la Ingeniería. Prentice Hall. Pearson Educación, S. A. Madrid, 2002.
- LINZ, Peter y WANG, Richard L. C. Numerical Methods. An Introduction to Scientific Computing Using MATLAB. Jones and Bartlett Mathematics. Sudbury, Massachusetts, 2003.
Autor:
Héctor José Pabón
| Página siguiente |