LOGICA MATEMATICA 1. RESERVA HISTORICA: Etimológicamente el término significa la ciencia de los logos. En efecto, el vocablo logos traduce palabra o discurso, hecho por el cual se definió a la lógica como una rama de la gramática que estudia ciertos estilos del lenguaje. En este contexto, se hace necesario la elaboración de argumentos para defender o refutar pensamientos o posturas ideológicas, se recurrió a métodos para poder evaluar o verificar la validez dichos razonamientos .En este sentido, el gran filósofo griego Aristóteles, tiene el honor de ser el primer sistematizador de los conceptos de la lógica que los condensó en célebre texto denominador Organon, en este ensayo, el filósofo trata a la lógica como un simple método de las ciencias, debido que los propósitos de la lógica se encaminaban a estudiar las estructuras del pensamiento. En concordancia con lo anterior, la lógica Aristotélica resalta la estrecha conexión entre los conceptos de categoría, definición, juicio de valor, proposición y silogismo, es decir, desarrollar la lógica proposicional, estableciendo los procedimientos para demostrar la verdad o falsedad de las proposiciones compuestas y de los silogismos en resumen; en la antigüedad, la lógica estuvo asociada al conjunto del pensamiento de las diferentes doctrinas filosóficas y religiosas. Ahora bien, el término lógica matemática fue acuñado en los años 500 A.C. por el pensador LAO-TSÉ, al llegar a una evidente conclusión: “EL TOTAL ES MAYOR QUE SUS PARTES” al referirse a la relación existente entre las partes separadas y el conjunto coordinado de esas partes. De hecho, el término lógica matemática que denota un conjunto de reglas y técnicas del razonamiento deductivo, que partiendo de simples y a veces de ingenuas afirmaciones se pueden sacar audaces conclusiones y nuevos conceptos, llegando a resultados asombrosos. Cabe de resaltar, la importancia de la lógica en la construcción del pensamiento, el hermoso y bien logrado pasaje de la novela del escritor italiano Luciano Zuccoli (1886-1829) en donde relata la auto evaluación realizada por el joven protagonista de esa historia “ no jugaba casi nunca con juguetes verdaderos, que tuviesen una forma determinada, un sentido preciso. Abandonaba los soldaditos de plomo para hacer largas batallas con las que daba mando, nombre, vida; y las piezas del dominó le servían de material para construir fortificaciones y baluartes. Se creaba su mundo a su modo”. En efecto, la lógica permite la interpretación del mundo a la manera de los grandes pensadores, que a través de aventuras hipotéticas, utopías y fantasías propias de la mente humana, explican la realidad. Retomando la evolución de la lógica, es de capital importancia los aportes del matemático alemán GOTTFRIED LEIBNIZ quien fue el primero en formular la estrecha, conexión entre la lógica y la matemática. Además, introdujo los símbolos matemáticos para hacer representaciones proposiciones. En el sigo XIX, los avances de esta ciencia se deben a los aportes de los matemáticos GEORGE BOOLE y AUGUSTUS MORGAN. En efecto. A Boole se le debe la introducción de los operadores lógicos equivalentes a la unión, intersección y la negación con los operadores aritméticos de la adición, multiplicación y sustracción. En trabajo colaborativo.com Morgan formulan los principios del razonamiento simbólico de otro lado, a Boole se atribuyen dos hechos de importancia para el desarrollo de la lógica: El primero, la invención de las tablas de verdad para comprobar la validez de las proposiciones compuestas. El segundo, la introducción del sistema binario de la lógica, es decir, falso o verdadero, hecho que dio origen a lo que actualmente llamamos Algebra de Boole, que consiste en la aplicación de los símbolos y operaciones lógicas mediante la manipulación de dichos símbolos con procedimientos similares a los del Algebra, se pueden sacar conclusiones a partir de las proposiciones iniciales (premisas). Años más tarde, el matemático alemán GEORG CANTOR establece la teoría de conjuntos y sus operaciones y la hace la conexión los operadores lógicos para la unión, la intersección, diferencia y complemento .En 1910, aparece la monumental obra “Principio matemático” de BERTNARD RUSSELL y ALFRED WHITEHEAD, en donde retoman los estudios anteriores y redefinen los conceptos, básicos de las aritmética en términos y conceptos de la lógica,
estableciendo los fundamentos de las matemáticas puras, es decir, la lógica formal moderna y sus poderosos instrumentos para el avance de las matemáticas y las demás ciencias.
2. CONCEPTUALIZACION
La lógica ofrece métodos que enseñan como elaborar proposiciones, evaluar su valor de verdad y determinar si las conclusiones se han deducido correctamente a partir de proposiciones supuestas, llamadas premisas además, la lógica es una ciencia que se interesa por las relaciones existentes entre las proposiciones con el fin de proporcionar tres características del razonamiento lógico: conciso, preciso y claro. La claridad y concisión, los estudiantes la consigue en la medida que familiariza con los elementos básicos de un argumento lógico, tanto en su representación lógica como en su significado, lo que permite la simplificación de argumentos lógicos complicados, de esta manera los símbolos permite la concentración en lo esencial de un contexto.
3. PROPOSICIONES
Es una oración declarativa que puede tomar el valor de verdadero o falso pero no ambos a la vez. La proposición es el elemento esencial de la lógica para la matemática. En efecto, a la proposición se le puede considerar excepción lingüística que tiene la propiedad de tomar un solo valor de verdadero o falso, que sirve para la simplificación de argumentos complicados se crea un lenguaje artificial en donde se establece un conjunto de reglas claras, bien definidas y no se presentan ambigüedades ni vaguedades del lenguaje corriente.
Es importante tener en cuenta que las proposiciones son oraciones declarativas y tienen una estructura definida así un sujeto bien definido, un predicado y una conjugación de un verbo. El simple sustantivo o sujeto no configura una proposición. Las proposiciones se representan simbólicamente mediante el uso de letras minúsculas del alfabeto tales como p,q,r,s,t,…x,y,z. las cuales reciben el nombre de letra o variables proposicionales, de esta manera, el lenguaje proposicional se hace más simple y exacto que el lenguaje cotidiano.
Ejemplos: P: La luna es un satélite natural de la tierra. q. El dos es un número primo. r: 4+3 = 7 2 2 2 t: New York es llamada la capital del mundo Existen enunciados que no son proposiciones, porque no es posible establecer su valor de verdad por ejemplo: p: ¿Qué hora es? q: ¡Millonarios será el próximo campeón! r: Mañana lloverá t : ojalá que pase el examen de matemáticas w : x+7 = 18
3. Clases de proposiciones Las proposiciones se pueden clasificar en proposiciones simples y compuestas.
Proposiciones simples Son aquellas oraciones que carecen de conectivos lógicos. Ejemplos: P: La lluvia es un fenómeno natural q: 5 es el inverso aditivo de -5 r : Bolivia no tiene costas marítimas
Proposiciones compuestas Son aquellas proposiciones se forman al combinar proposiciones simples con los conectivos lógicos o términos de enlaces.
Ejemplos p: Estadio q: Apruebo el semestre p ? q: si estudio entonces apruebo el semestre : un triángulo es equilátero t : un triángulo que tiene los tres lados iguales. S?t: un triángulo es equilátero si y solo si tiene sus tres lados iguales p: Gloria canta q: Luisa es estudiante. p : Gloria canta y Luisa es estudiante.
4. CONECTIVOS LOGICOS simples, estos son: la conjunción, Son términos que sirven para enlazar proposiciones disyunciones, la negación el condicional, bicondicional. 5. TABLA DE VERDAD PARA LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS LA CONJUCIÓN (? ) Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición compuesta p ? q se denomina conjunción. Ejemplo 1: La proposición compuesta: 5 es un número impar y es un entero positivo Esta formada por: p: 5 es un número impar q: entero positivo : Conjunción
Para determinar la tabla de verdad, para la conjunción. Analizaremos la siguiente proposición. p: 8 es un número par (v) q: 5 es un número primo (v) p q: verdadero
p: 8 no es un número par (f) q: 5 es un número primo (v) p q: falso
p: 8 es un número par (v) q: 5 no es un número primo (f) p q: falso
p: 8 no es un número par (f) q: 5 no es un número primo (f)
Sea que: 7 =49 p ? q: falso Conclusión: La conjunción es verdadera, cuando las dos proposiciones son verdaderas, en los demás casos es falsa. ? 5.2 LA DISYUNCION ( ? ) Sean p y q dos proposiciones simples. La proposición compuesta p o q, simbolizada por p
El operador “o” se puede usar como “o incluyente” o como “o excluyente” . En el primer caso hace que el valor de verdad de una de las proposiciones simple repercuta en el valor verdadero de la proposición disyuntiva, mientras que el segundo caso (o excluyente) el valor de verdad de una de la proposición, excluye la veracidad de la otra. La tabla de verdad de la “o inclusiva” o “exclusiva” se puede resumir LA NEGACION
Sea p, una proposición simple, se define la negación mediante la proposición compuesta no p, simbolizada por ?p. Su tabla de verdad se puede resumir así:
Una proposición simple, se puede negar de varias maneras. Ejemplos Negar las siguientes proposiciones: 1. Sea p: el 7 es un número primo Solución ?p: no es cierto que el 7 sea un número primo ?p: el 7 es un número compuesto 2. 2 Solución 2 2 3. Sea r: todos los peces viven bajo el agua Solución
?r: algunos peces no viven bajo el agua 4. Sea s: Algunas plantas son medicinales Solución ?s: ninguna planta es medicinal
USO INADECUADO DE LA DOBLE NEGACION
Es frecuente en la vida diaria utilizar la negación dos o mas veces, hecho que genera, en algunos casos confusiones. En efecto, se presentan ambigüedades, cuando se pronuncian frases como estas: ? ? ? Nunca digas un nunca Yo no miento nunca No estoy dentro Así por ejemplo, en la frase yo no miento nunca, se está utilizando dos veces la negación: cuando se dice no y cuando se dice un nunca. En matemáticas, cuando se usa dos veces la negación, estas funcionan como los signos negativos, es decir, se eliminan mutuamente. En la frase “no es cierto que no fui al cine”, lo que está diciendo es que si fui al cine. Cabe advertir, que se debe tener mucho cuidado cuando se utilizan expresiones como doble negación.
EJERCICIO
Negar las siguientes proposiciones. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Diana es modista 12 es un número par estas dos rectas son paralelas todos los hombres son mortales algunos deportistas son ciclistas ningún loro vive en el polo norte Solución 1. 2. 3. 4. 5. 6. Diana no es modista No es cierto que 12 sea un número par… 12 es un número impar Estas rectas no son paralelas; estas rectas son concurrentes. Algunos hombres son inmortales ningún deportista es ciclista algunos loros no viven en el polo norte EL CONDICIONAL O IMPLICACION
Se dice que una proposición compuesta por el condicional, si está formada por dos proposiciones simples entrelazadas por la expresión: si…., entonces,…
La mayoría de las proposiciones matemáticas o teoremas tienen esta estructura P ? q ? Antecedente consecuente ? Hipótesis ? conclusión Se puede de enunciar de varias formas
? ? ? ? ? p entonces q p solo si q que si p p es suficiente para q q es necesaria para p Analicemos el valor de verdad para el condicional
1. Sean p y q verdaderas p ? q Es verdadera Si se parte de una hipótesis falsa y nuestro razonamiento ha sido correcto nos conduce a una conclusión verdadera, por lo tanto, la implicación es verdadera. 2. Si p es verdadera y que es falsa: p ? q es falsa
Si la hipótesis es verdadera, nos conduce a una conclusión falsa, es porque hemos cometido un error en el razonamiento y finalmente el condicional es falso. 3. Si p es falsa y que es verdadera Si se parte de una hipótesis falsa y razonando correctamente, podemos llegar a una conclusión verdadera. En caso, el condicional es verdadero. 4. si p y q son falsas p ? q es verdadero Si partimos de una hipótesis falsa y razonando correctamente podemos llegar a una conclusión falsa. Por tanto, el condicional es verdadero. ? CONDICION NECESARIAS O SUFICIENTES Analice las siguientes implicaciones: 1. P: Manuel Elkin Patarroyo es tolimense q: Manuel Elkin Patarroyo es colombiano P Q: Manuel Elkin Patarroyo es tolimense entonces es colombiano.
En este caso, basta que Manuel Elkin Patarroyo sea tolimense para ser colombiano. Es decir P es una condición suficiente para q. En cambio. Es necesario que Manuel Elkin sea colombiano para ser tolimense; es decir, q es una condición necesaria para p. 2. P: Existe fuego Q: Hay presencia de oxigeno P Q : Si existe fuego entonces hay presencia de oxigeno.
En este caso, es suficiente que haya fuego para comprobar la presencia de oxigeno: P es suficiente para q. En cambio, es necesario que exista la presencia de oxigeno para que se produzca el fuego: q es necesaria para p. 3. P: El papa sale del cuerpo cardenalicio Que: El cardenal Castrillón puede ser papa P q: Si el papa sale del colegio cardenalicio entonces el cardenal Castrillón puede ser papa.
Es decir, que es suficiente ser cardenal para ser papa: p es suficiente para q. En cambio, es necesario ser cardenal para ser papa: q es necesario para p.
LA RECÍPROCA Y LA CONTRARRECÍPROCA A partir de la implicación o condicional p q se puede obtener otros dos condicionales fundamentales cuando se trabaja los teoremas. Estas dos condicionales son: 1. 2. La reciproca de p ? q es q ?P La contrarrecíproca de p?q es q? p Ejemplo 1: 2 Hallar la reciproca y su valor de verdad
2 El valor verdadero de éste condicional q es verdadero y p es verdadero, en el condicional es verdadero.
2 El valor de verdad de este condicional es q es falso y p es falso y el condicional es verdadero.
EL BICONDICIONAL
Se denomina bicondicional a la proposición formada por dos proposiciones simples p y que conectada con la expresión: “si y solo si”, simbólicamente lo podemos expresar, así: p ? q
Esta proposición está formada por las implicaciones p ? q y q ? p , las cuales deben de tener el mismo valor de verdad, para formar la equivalencia entre p y q; en consecuencia se dice que p es equivalente a q y se acostumbra a escribir p ? q . Esta equivalencia entre p y q, tiene más de una traducción que significan lo mismo: p si y solo q q si y solo p si p entonces q recíprocamente si q entonces p recíprocamente
TABLAS DE VERDAD PARA EQUIVALENCIA
CONSTRUCCION DE TABLAS DE VERDAD
En la construcción de tablas de verdad debemos tener los siguientes hechos: 1. Determinar el número posibles de combinaciones. Si hay proposiciones, el número de combinaciones será 2n 2. Se debe procurar respetar el orden de los valores de verdad dentro de la tabla así por ejemplo:
Si hay tres proposiciones, el número de combinaciones serán 23 ?8 ; por lo tanto para primera proposición serán 4 verdaderas y 2 falsas; para la segunda proposición 2 verdaderas y 2 falsas; para la tercera: una verdadera y la otra falsa. 3. Si la última casilla o columna son todas verdaderas, se dice que la proposición es una tautología.
Ejemplos: 1. Construir la tabla de verdad para: p ?q ???q ?? p?
? ? ? ? ?? ? ? 2. Construir la tabla de verdad
?r ?s??q ???s ??q???r?
? ?? 3. CONSTRUIR LA TABLA DE VERDAD APROPIADA PARA DEMOSTRAR O REFUTAR ? ? ? ? ??
OBSERVACIONES:
En la última columna de una tabla de verdad pueden suceder 3 casos: 1.
2.
3. Si todos los valores son VERDADEROS, se dice que la proposición es TAUTOLOGÍA.
Si todos los valores son FALSOS, se dice que la proposición es una CONTRADICCION.
Si aparecen valores de verdaderos y falsos, se dice que la proposición es una INDETERMINACION.
LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Las siguientes son las leyes de la lógica de proposiciones. 1. IDEMPOTENCIA P? P ? P P? P ? P 2. CONMUTATIVA p?q ? q? p p?q ? q? p 3. ASOCIATIVA ?p? q?? r ? p??q? r? ?p ?q??r ? p ??q?r? 4. DISTRIBUTIVA ?p ?q?? r ??p? r???q? r? ?p? q??r ??p ?r???q ?r? 5. IDENTIDAD p?0 ? p
p ?0 ? 0 p?1?1
p?1? p
6. COMPLEMENTO p??p ?1 ???p?? p p ??p ? 0
?1? 0, ?0 ?1 7. LEYESE DE MORGAN ? ??p ?q?? ?p??q ??p? q?? ?p ??q
Estas leyes son formuladas por pares de debido a la naturaleza dual del Algebra de proposiciones.
ARGUMENTOS LOGICOS
Un argumento lógico es un razonamiento que parte de una serie de enunciados llamados premisas se puede llegar a un resultado llamado CONCLUSION.
Se dice que el argumento es válido si se asumen de todas las premisas son verdaderas por lo tanto la conclusión también es verdadera. Si un razonamiento no es válido se dice que es un sofisma o falencia.
EJEMPLOS
Verificar la validez de los siguientes argumentos.
?p1: p ? q ? 1. ?p2 ?q: p ? r
Para demostrar la validez de un argumento debemos a partir del hecho que tenemos las proposiciones p1 ? p2 ??? pn y tratar de llegar a la conclusión de la lógica.
Los cuatro ejemplos que se dan a continuación corresponden a preguntas de este tipo. La explicación de sus respuestas indica la alternativa correcta para cada pregunta y el razonamiento que muestra la falsedad de las demás opciones.
DEMOSTRACION p1: p ? q p2: r?q p3: q?r (recíproca de p2) q: p?r (silogismo de p1 y p3) 1. Demuestre la validez del siguiente argumento P1: p?q P2: q V r q: p?r
Demostración P1: p?q P2: q V r P3: q?r (ley de la implicación) q: p?r (ley del silogismo) 2. Demostrar que (p V q) ? (p V q) ? q Demostración ( q V p) ? (q V p) q V (p ?p) qV O ley conmutativa ley distributiva ley de complemento q ley de identidad ? p ?q Ejemplo 4 Demostrar: (p V q) ? (q V r) ? (q V r)
Demostración (p V q) ? (q V r) ? (q V r) (p V q) ? [q V (r ?r] (p V q) ? [q V o] (p V q) ? q (p ? q) V (q ? q) premisas ley distributiva ley complemento ley identidad ley distributiva ley complemento ley identidad (P ? q) V 0 p?q
Ejemplo 5 Demostrar: [(p ? q ? r) V (p ? q ? r)] ? pVr Demostración [(p ? q ? r) V (p ? q ? r)] Ley premisa [(p ? r ? q) V (p ? r ? q)] Ley conmutativa [(p ? r) V (q V q)] ley distributiva [(p ? q ) V 1] Ley complemento [p ? r] Ley identidad p V r Ley de Morgan INFERENCIAS LOGICAS
Para la definición de inferencias lógicas es necesario tener la capacidad y precisión de dos conceptos básicos: razonamiento y demostración.
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