Historia de los números naturales (página 2)

Partes: 1, 2

Una desventaja de este sistema era no contar con un símbolo para el cero. Estro podía traer ciertas confusiones.

El sistema numérico maya fue uno de los primeros en utilizar al mismo tiempo el principio posicional y el cero.

En este sistema 1 kin (sol) representa un día, 20 kines forman un huinal. Como 20 huinales representan 400 días, lo cual es mucho mayor que la duración exacta del año (este sistema fue utilizado para cálculos astronómicos), los mayas llamaron tun a 18 huinales, o 360 días. Excepto por este nivel, el resto del sistema es vigesimal.

Para representar un numero se utilizan tres símbolos: el punto (.), una barra (–) y el cero, donde cada línea representa 5 puntos. Algunos números mayas son:

A partir del numero 20, se usa un principio posicional, escribiendo los números en forma vertical, de modo que el numero inferior representan los kines, la siguiente posición hacia arriba representan los huinales, y así sucesivamente.

NUMEROS NATURALES:

Los números naturales son aquellos que normalmente utilizamos para contar. Son aquellos números positivos y sin parte decimal.

N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}

NUMEROS ENTEROS:

Son todos los números naturales y sus opuestos, es decir, los números enteros positivos y negativos.

Z = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4…}

NUMEROS RACIONALES:

Son todos aquellos que se pueden escribir en forma de fracción. Incluyen los naturales, enteros.

NUMEROS IRRACIONALES:

Son los números que poseen infinitas cifras decimales.

NUMEROS REALES:

Incluyen todos los números anteriormente descritos. Cubren la recta real y cualquier punto de esta es un número real. Estos números, por ser los más importantes, son los que mas veremos. Para verlos más ampliamente,

NUMEROS NATURALES

¿Que son los Números Naturales?

Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:

1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.

La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto

PROPIEDADES DE LA ADICION DE NUMEROS NATURALES

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.

1.- Asociativa:

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Por ejemplo:

(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16

7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

Los resultados coinciden, es decir,

(7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5)

2.-Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a + b = b + a

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:

7 + 4 = 4 + 7

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.

3.- Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a + 0 = a

Propiedades de la Multiplicación de Números Naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributivo del producto respecto de la suma.

1.-Asociativa

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

Por ejemplo:

(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30

3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30

Los resultados coinciden, es decir,

(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)

2.- Conmutativa

Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · b = b · a

Por ejemplo:

5 · 8 = 8 · 5 = 40

3.-Elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a · 1 = a

4.- Distributiva del producto respecto de la suma

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

a · (b + c) = a · b + a · c

Por ejemplo:

5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55

5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55

Los resultados coinciden, es decir,

5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8

Propiedades de la Sustracción de Números Naturales

Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar.

Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 – 2 = 4.

Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).

Propiedades de la resta:

La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a – b que b – a)

Propiedades de la División de Números Naturales

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de cosas entre un número de personas.

Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra).

Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Propiedades de la división

La división no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

NUMEROS ENTEROS

Números Enteros Positivos y Negativos

a) Números Enteros Positivos:

Se llaman así a todos los números que representen una cantidad. Los números naturales son los enteros positivos, con la única diferencia que a la hora de representar un entero positivo podemos anteponerle el signo +.

El número 8 es un entero positivo, puedo representarlo como 8 o como +8 El número 24 es un entero positivo, puedo representarlo como 24 o como +24 Los números 11, +32, +7, 35 son todos enteros positivos (no es necesario anteponer +).

b) Números Enteros Negativos:

Los enteros negativos representan una cantidad en contra o algo que no tenemos y necesariamente debemos anteponerle el signo -.

El número -8 es un entero negativo. El número -24 es un entero negativo. Los números -11, -32, -7, -35 son todos enteros negativos y por ello llevaran necesariamente el signo -.

c) Valor Absoluto:

El valor absoluto será la distancia que haya entre determinado número al origen de la recta numérica. En la práctica el valor absoluto es simplemente el número que tenemos, sin importar el signo positivo o negativo.

Para hallar el valor absoluto de -33: |-33| = 33

Para hallar el valor absoluto de +15: |+15| = 15

Comparación de Números Enteros

Para comparar números enteros debemos tener en cuenta que:

a) Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.

Por ejemplo: 4 es mayor que -1, ya que 4 es un entero positivo y -1 es un entero negativo. +3 es mayor que -18, ya que +3 es un entero positivo y -18 es un entero negativo.

b) Entre números positivos será mayor el que represente mayor cantidad. Por ejemplo: +5 es mayor que +3, ya que 5 representa mayor cantidad que 3. 16 es mayor que 8, ya que 16 representa mayor cantidad que 8. +13 es mayor que +12, ya que 13 representa mayor cantidad que 12.

c) Entre números negativos será mayor el que represente menor cantidad. Por ejemplo: -2 es mayor que -5, ya que 2 representa menor cantidad que 5. -11 es mayor que -13, ya que 11 representa menor cantidad que 13

Adición y Sustracción de Números Enteros

Tendremos dos posibilidades, las cuales son:

a) Si tenemos números de igual signo:

Cuando tengamos dos o más números de igual signo, lo que tendremos que hacer es sumar las cantidades y al resultado anteponerle el mismo signo.

Observemos el siguiente caso: 35 +46 +11

35 +46 +11 En esta operación tenemos tres números positivos: +35, +46 y +11

35 +46 +11 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 92

+92 = 92 El resultado también será positivo.

Otro ejemplo podría ser: -12 -28 -21

-12 -28 -21 En esta operación tenemos tres números negativos: -12, -28 y -21

-12 -28 -21 Entonces lo que debemos hacer es sumar los tres números, nos dará: 61

-61 El resultado también será negativo, necesariamente le antepondremos -.

b) Si tenemos números de signos diferentes:

Si tenemos números de diferentes signos, restamos el número mayor menos el número menor y el resultado llevara el signo del número mayor.

Veamos: 35 -46

35 -46 En esta operación tenemos un número positivo y otro negativo.

35 -46 El mayor es 46 y el menor 35, entonces: 46 – 35 = 11

-11 Como el número mayor es 46, y este es negativo, el resultado será también negativo.

Otro ejemplo: -12 +28

-12 +28 En esta operación tenemos un número negativo y otro positivo.

-12 +28 El mayor es 28 y el menor 12, entonces: 28 -12 = 16

+16 = 16 Como el número mayor es 28, y este es positivo, el resultado será también positivo

Multiplicación de Números Enteros

Cuando tengamos que multiplicar dos o más números enteros, lo primero que debemos hacer es proceder a multiplicar los números sin importarnos el signo que estos tengan. Una vez que hemos hallado el resultado, recién colocaremos el signo que corresponda de acuerdo a la siguiente Ley de Signos:

(+) x (+) = (+) El resultado de multiplicar dos números positivos es un número positivo

(+) x (-) = (-) El resultado de multiplicar un número positivo por otro negativo es un número negativo

(-) x (+) = (-) El resultado de multiplicar un número negativo por otro positivo es un número negativo

(-) x (-) = (+) El resultado de multiplicar dos números negativos es un número positivo

Por ejemplo, queremos multiplicar -20 x 5

-20 x 5 Recordemos que cuando un número no lleva signo, es positivo.

-20 x + 5 En esta operación 20 es un número negativo y 5 es un número positivo.

20 x 5 = 100 Nos olvidamos momentáneamente de los signos y hacemos 20 x 5 = 100

-20 x 5 = -100 Como tenemos un número negativo y otro positivo, el resultado será número negativo

Debemos emplear el mismo procedimiento para cualquier caso de multiplicación de números enteros o con signo que se nos presente.

Potenciación y radicación

Un error frecuente que se comete al trabajar con potencias de números es no tener en cuenta el uso de los paréntesis. Por ejemplo, no es lo mismo (-3) 2 que -32.

En efecto, en (-3)2, el exponente 2 afecta al signo y al número; es decir:

(-3)2=(-3)·(-3)=9

En cambio, en -32, el exponente 2 sólo está afectando al número 3; es decir:

-32 = -(3·3) = 9

La potenciación NO es distributiva respecto a la suma ni a la resta; es decir:

(a+b-c)m = am + bm – cm

En los ejercicios donde aparecen combinadas la suma. la resta. la multiplicación, la división, la potenciación y la radicación se procede así:

Si hay signos de agrupación se desarrollan las operaciones contenidas en los signos de agrupación más internos; es decir, trabajando de adentro hacia afuera.
Si no hay signos de agrupación o estos ya fueron eliminados, se desarrollan primero las operaciones de potenciación y radicación, luego los de multiplicación y división y, finalmente, las de suma y resta. En cada caso tiene preferencia la operación situada mas a la izquierda.

Ejemplo:

NUMEROS RACIONALES

Números Racionales:

Llamamos números racionales al conjunto formado por todos los números enteros y todos los fraccionarios se los designan por Q y se lo denomina conjunto de los números racionales

Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1.

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.

Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.

Q= {m/n, m Z, n Z, n =0}

Los números racionales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse y el resultado es un número racional.

Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.

Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica; por ejemplo:

Comparación:

Toda fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa. Si las fracciones tienen igual denominador será mayor aquella cuyo numerador sea mayor. Si tienen distinto denominador se comparan las fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador.

Suma y Resta de Números Racionales

La suma de dos números racionales es otro número racional. Cumple las siguientes propiedades:

Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c)

Conmutativa:

a + b = b + a

Elemento neutro:

El cero es un número racional que hace de elemento neutro en la suma,

a + 0 = a

Elemento opuesto:

El opuesto de un número racional a, es otro número racional –a,

a + (-a) = 0

Sumar y restar fracciones con igual denominador es muy sencillo. El resultado tendrá por numerador a la suma o resta de los numeradores y el denominador será el mismo. Si las fracciones no tienen el mismo denominador, se sustituyen por fracciones equivalentes con igual denominador (determinamos un denominador común). Luego se opera de la misma manera que en el cálculo anterior.

PRODUCTO DE NÚMEROS RACIONALES

El producto de dos números racionales es otro número racional. Cumple las siguientes propiedades:

Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

Conmutativa:

a · b = b · a

Elemento neutro:

El 1 es un número racional que hace de elemento neutro del producto,

a · 1 = a

Elemento inverso:

El inverso de un número racional a ≠ 0 es otro número racional

que multiplicado por a da 1:

Distributiva respecto a la suma:

a · (b + c) = a · b + a · c

COCIENTE

El cociente de dos números fraccionarios es igual al producto entre el dividendo y el inverso del divisor.

Ejemplo:

-2/5 : 4/3 = -2/5 * ¾ = -6/20 = -3/10

SIMPLIFICACIÓN

Simplificar una fracción es sustituirla por la fracción equivalente cuyo denominador es el menor posible.

Racionalización de Denominadores

Las expresiones

tienen el denominador irracional. Con frecuencia es conveniente transformarlas en otras expresiones equivalentes que tengan el denominador racional, con lo que se dice que se les ha racionalizado el denominador. Para ello se siguen distintas estrategias:

En los dos ejemplos anteriores se ha multiplicado un denominador del tipo por otro radical del mismo índice, , y tal que el producto de sus bases am, ap, sea una potencia de an. En consecuencia, ha habido que multiplicar el numerador por la misma expresión.

En los dos ejemplos anteriores se ha utilizado la identidad (a + b)(a – b) = a2 – b2 para hacer desaparecer las raíces cuadradas del denominador multiplicándolo por la expresión correspondiente que, por tanto, también ha multiplicado al numerador.

Expresión Decimal de los Números Racionales

Si queremos escribir un número fraccionario en forma decimal, bastará con dividir el numerador por el denominador.

Ejemplo:

7/2 = 3.5

Números Irracionales:

Al resolver una raíz cuadrada inexacta, como por ejemplo √2, encontraremos una respuesta decimal 1,4142135623730950488016…… que como vemos será infinita y en la cual no encontramos ninguna relación ni periodo definido. Este tipo de números son conocidos como Números Irracionales.

Es mucho mas sencillo decir simplemente √2, que decir todo el número decimal, es más, es más exacto y preciso decir √2 que decir todo el número decimal (finalmente este decimal no será más que una aproximación).

Adición y Sustracción de Irracionales

Podemos sumar y restar números irracionales solamente cuando el radical que tengamos sea el mismo en los términos que me dispongo a sumar y restar. Lo explicaremos mejor mediante ejemplos:

Ejemplo1: 3√2 +5√2 – √2 En este caso se me pide realizar una operación combinada de suma y resta 3√2 +5√2 – √2 Podremos sumar y restar ya que todos los términos tienen √2

Ejemplo2: 3√3 +5√2 – √5 Acá también se me pide realizar una operación combinada de suma y resta

3√3 +5√2 – √5 Sin embargo no será posible porque los tres radicales son diferentes.

Pero, ¿cómo puedo realizar estas operaciones?

Volvamos al Ejemplo 1:

3√2 +5√2 – √2 Ya sabemos que podremos sumarlo y restarlo sin ningún problema. 3√2 +5√2 – 1√2 Debemos saber que cuando tengamos el radical solo siempre habrá un "1"

3√2 +5√2 – 1√2 Para resolver este ejercicio bastara con sumar los números fuera de los radicales.

3√2 +5√2 – 1√2 Tendré que resolver 3 + 5 – 1 = 7 y la parte radical no cambiara.

3√2 +5√2 – 1√2 = 7√2

Veamos ahora otro ejemplo:

4√7 -2√7 + √7 Como todos los términos tienen √7 podré sumar y/o restar sin problema 4√7 -2√7 + 1√7 Hemos añadido un "1" donde no había numero con el radical. 4√7 -2√7 + 1√7 = 3√7

Multiplicación de Irracionales

Existe una propiedad de los números irracionales, y en general de los radicales, que nos dice: n√a.b = n√a n√b (y viceversa)

Esto significa que si tengo dos números multiplicándose dentro de una raíz, puedo extraer la raíz de cada uno de ellos y luego multiplicarlos; o también que si tengo dos raíces de igual grado multiplicándose puedo multiplicar los números y obtener la raíz después.

Ejemplo 1:

√9.4 = √9. √4 = 3. 2 = 6 => Primero tenia dentro de la raíz cuadrada 9×4, entonces saque raíz cuadrada a cada uno de los números para finalmente multiplicarlos.

Ejemplo 1:

√12.3 = √12. √3 = √36 = 6 => En este caso no me convenía hacer lo del ejemplo anterior, por eso multiplique 12×3 primero y luego saque la raíz cuadrada a este resultado.

División de Irracionales

La propiedad nos dice que: n√a ÷ n√b = n√a÷b (y viceversa)

Entonces, si tenemos raíces de grado n que se estén dividiendo, dará lo mismo si las resolvemos por separado y después las dividimos, que si primero las dividimos y luego extraemos la raíz.

Ejemplo1: 3√27 ÷ 3√8 = 3 ÷ 2 = 1,5 => Primero hemos extraído las dos raíces cúbicas para luego dividir los resultados.

Ejemplo 2:

3√64 ÷ 3√8 = 3√64÷8 = 3√8 = 2 => Ahora hemos resuelto primero la división de las cantidades subradicales y dejamos al ultimo la raíz cúbica.

Potenciación de Irracionales

Lo único que debemos hacer es pasar el grado del radical a dividir al exponente. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

3√66 = 66/3 = 62 = 36 => Como vemos el grado del radical (en este caso 3) paso a dividir al exponente (en este caso 6). El resultado de esta división (para nosotros 6÷3 = 2) será el nuevo exponente para la cantidad subradical (en este caso 6). Finalmente hemos realizado la potenciación

Ejemplo 2:

(√4)6 = 46/2 = 43 = 64

=> En este caso hemos hecho lo mismo que en el caso anterior, haciendo la aclaración de que cuando un radical no tiene grado, este es 2.

Operaciones Combinadas con Radicales

En algunos casos parece que no se puede resolver una operación de suma y/o resta entre números irracionales, en estos casos dependerá de nosotros darle la forma correcta ala ejercicio.

Por ejemplo, tenemos: 3√2 + √50 – √98

Aparentemente no lo podemos resolver, todos los radicales son diferentes, pero nosotros podremos utilizar las propiedades de la multiplicación para darle la forma que nos ayude a resolverlo.

√50 la podemos escribir como √25.2 porque 25. 2 = 50. Resolveremos la parte que tiene raíz cuadrada exacta, es decir, √25 = 5 La parte que no tiene raíz cuadrada exacta la dejamos igual: √2 Finalmente nos quedara que: √50 = √25.2 = √25 √2 = 5√2

Lo mismo hacemos para √98:

√98 = √49.2 = √49 √2 = 7√2

Reemplazamos los valores obtenidos:

3√2 + √50 – √98

3√2 + 5√2 – 7√2

3√2 + 5√2 – 7√2 = 1√2

El número "1" que nos queda podemos colocarlo o no según nuestra conveniencia.

¿Qué son las fracciones?

Se llaman así a todos los números que representen una cantidad inexacta, por lo general vienen de una división inexacta. Por ejemplo:

8 ÷ 5 El resultado de esta división será inexacto (cociente 1 y residuo 3)

8 ÷ 5 = 8 5 El resultado de esta división inexacta lo podemos representar como un número fraccionario

Ahora, este número fraccionario, o simplemente fracción tendrá sus partes definidas: 8 ~> es el numerador 5 ~> es el denominador

Además cabe resaltar que la raya o división central representa el operador matemático de división.

b) Números Mixtos:

Cuando el numerador sea mayor que el denominador, tendremos la posibilidad de representar la fracción como número mixto, es decir, una parte entera y otra parte fraccionaria. Veamos nuevamente nuestro caso:

8 ÷ 5 El resultado de esta división será inexacto (cociente 1 y residuo 3)

8 ÷ 5 = 8 5 El resultado de esta división inexacta lo podemos representar como un número fraccionario o también como número mixto.

8 = 1 3 5 5 Para representarlo como número mixto debemos realizar la división. De ella el cociente o resultado será la parte entera y el residuo será el numerador de la parte fraccionaria

8 = 1 3 5 5 Nótese que el denominador no cambia. Este número se leerá como 1 entero (parte entera) y tres quintos (parte fraccionaria).

Claro que también podría darse el caso de que tengamos un número mixto y lo tengamos que llevar a su forma fraccionaria. Veamos el siguiente caso:

3 5 9 Tenemos tres enteros (parte entera) y cinco novenos (parte fraccionaria)

3 5 9 Para empezar, debemos multiplicar la parte entera por el denominador de la parte decimal, para nuestro caso haremos: 3 x 9 = 27

3 5 9 Al resultado que teníamos le añadimos (en otras palabras le sumamos) el numerador, para nuestro caso será: 27 + 5 = 32

3 5 = 32 9 9 El número que hemos encontrado, es decir, el 32 será el numerador de nuestra fracción. Nótese también que el denominador no cambiara.

c) Fracciones Equivalentes:

Hablamos de fracciones equivalentes cuando tenemos fracciones que valen exactamente lo mismo aunque se escriban de diferente manera. Existen básicamente dos formas de hallar fracciones equivalentes y son por simplificación y por ampliación.

En este primer ejemplo veremos una simplificación:

4 6 En esta fracción podemos observar que tanto el número 4 como el número 6 son divisibles entre 2.

4 ~> ÷2 ~> 2 6 ~> ÷2 ~> 3 Entonces dividimos a ambos números entre 2 (siempre debemos dividir a ambos entre el mismo número) y hallamos su equivalente.

Es muy recomendable simplificar siempre las fracciones para tener una mejor presentación.

Pero ahora veamos un ejemplo de ampliación:

3 4 En esta fracción no se puede simplificar, pero si se podrá ampliar de acuerdo a lo que nos convenga.

3 ~> x3 ~> 9 4 ~> x3 ~> 12 Podemos multiplicar a ambos números por un mismo número (por ejemplo 3) y hallamos una fracción equivalente.

Comparación de Números Fraccionarios

En el caso ideal de comparación se tienen fracciones de igual denominador, entonces la de mayor numerador será la mayor. Por ejemplo:

4 y 5 la mayor de ellas es 5 porque tiene igual denominador pero mayor numerador. 7 7 7

Pero por lo general nos encontraremos con fracciones de diferentes denominadores, entonces tendremos que hacer un par de multiplicaciones para determinar cual es mayor, cual es menor, o si son iguales:

3 y 5 4 6 En este caso nosotros debemos determinar cual de estas fracciones

representa mayor cantidad.

3 y 5 4 6 Multiplicaremos en forma cruzada los numeradores con los

denominadores. Así tendremos: 3 x 6 = 18 y 5 x 4 = 20

3 y 5 4 6 18 <20 Vemos que he colocado los resultados abajo de las fracciones y los he comparado. En este caso en particular resulta que el número 20 es mayor que el número 18

3 < 5 4 6 18 <20 Entonces lo mismo se repetirá en la fracción y 5 es mayor que 3 6 4

Adición y Sustracción de Números Fraccionarios

Utilizando un algoritmo sencillo podemos aprender a sumar fracciones mentalmente.

Veamos: Sean a /b y c/d dos fracciones cualesquiera. Si las deseamos sumar podemos seguir la siguiente regla:

a + c = ad + bc (se multiplica cruzado y los productos de suman) b d bd (se multiplican los denominadores)

Veamos un ejemplo:

El jefe de Cheo repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A Cheo le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total, ¿que parte del trabajo tiene que realizar Cheo?

1 + 1 = 1(3) + 4(1) = 3 + 4 = 7 4 3 (4)(3) 12 12

Solución: Cheo tuvo que realizar 7/12 del trabajo.

Notita para darle pensamiento: (para darle "coco")

¿A Cheo le tocó más de la mitad del trabajo o menos de la mitad del trabajo?

Solución:

Para comparar fracciones utilizamos las siguientes reglas de las proporciones

a. Si a = c entonces ad = cb

b d

b. Si a < c entonces ad < cb

b d

c. Si a > c entonces ad > cb

b d Volviendo a Cheo, ¿7/12 es menor o mayor que 1/2 ?

7 ? 1 7(2) > 12(1), por lo tanto 7 > 1

12 2 12 2

De modo que Cheo realizó más de la mitad del trabajo.

Veamos otro ejemplo:

A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella dos quintas partes adicionales que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de la herencia la tocó a Maria?

Solución

1 + 2 = 1(5) + 3(2) = 5 + 6 = 11

3 5 15 15 15

A María le tocó 11/ 15 de la herencia de su padre.

Suma de Fracciones:

Para sumar dos fracciones, hay que tener en cuenta de que existen 2 tipos de fracciones:

1. Fracciones homogéneas (1, 3, 5) 4 4 4 2. Fracciones heterogéneas (1, 2, 3) 3 5 7

Las fracciones homogéneas son las fracciones que tienen el mismo denominador; y las fracciones heterogéneas son las fracciones que tienen diferentes denominadores.

Ejemplo de suma de fracciones homogéneas:

1 + 3 = 4 <Son fracciones homogéneas ya que 5 5 5 tienen el mismo denominador. Las fracciones homogéneas, en suma, se suman los numeradores y el denominador se queda igual.>

2 + 3 = 5 7 7 7

Ejemplo de suma de fracciones heterogéneas:

1 + 1 4 2 <Aquí es diferente, las fracciones son heterogéneas; los denominadores son diferentes.>

Para sumar fracciones heterogéneas:

1. Se multiplican los denominadores. 2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador. 3. Se suman los productos para obtener el numerador. 1 + 1 4 2

Paso 1 : 1 + 1 = ___ <Se multiplicaron los denominadores 4 2 8 4 · 2 } =8>

Paso 2 : 1 + 1 = (2 ·1) + (4 · 1) < Se multiplicó cruzado> 4 2 8

Paso 3: 2 + 4 = 6 < Se suman los productos para obtener el 8 8 numerador.> Paso 4: 6 ÷ 2 = 3 < Se simplifica la fracción si es posible.> 8 2 4 Resta de Fracciones

En la resta de fracciones, se utilizan las mismas reglas de la suma de fracciones; pero en este caso hay que restar.

Ejemplo 1:

5 – 1 = 4 Resta de Fracciones Homogéneas 9 9 9

Ejemplo 2:

2 – 1 = ( 2 · 2) – (3 · 1) = 4 – 3 = 1 3 2 6 6 6

Multiplicación de Números Fraccionarios

Cuando tengamos que multiplicar dos o más números fraccionarios, simplemente debemos multiplicar todos los numeradores y todos los denominadores.

Si por ejemplo tenemos: 2 x 3 x 5 tendremos que multiplicar: 2 x 3 x 5 = 30 5 4 3 5 x 4 x 3 60

Claro que aun podríamos simplificar: 30 = 1 (hemos dividido, tanto al numerador como al denominador entre 30) 60 2

Pero para ahorrarnos la simplificación, podríamos ir simplificando antes de multiplicar, ya que podemos simplificar cualquier numerador con cualquier denominador:

2 x 3 x 5 5 4 3	Esta es la operación original
2 x 3 x 5 5 4 3	Puedo simplificar el numerador 2 con el denominador 4, para ello divido a ambos entre 2.
1 x 3 x 5 5 2 3	Ahora simplifico el numerador 3 con el denominador 3, para ello divido a ambos entre 3.
1 x 1 x 5 5 2 1	Finalmente podemos simplificar el numerador 5 con el denominador 5, para ello dividimos a ambos entre 5.
1 x 1 x 1 = 1 1 2 1 2	Resolvemos la multiplicación (multiplicamos todos los numeradores y todos los denominadores) y llegamos a la misma respuesta simplificada

División de Números Fraccionarios

Cuando tengamos que dividir números fraccionarios en realidad lo que se nos pide es hacer una multiplicación cruzada. Por ejemplo: 2 ÷ 3 = 8 (hemos multiplicado 2 x 4 para hallar el numerador 8) 5 4 15 (hemos multiplicado 5 x 3 para hallar el denominador 15)

También podemos convertir la división a multiplicación, para esto cada vez que veamos una operador ÷ lo podremos reemplazar por un operador x siempre y cuando invirtamos la fracción que viene después del operador. Veamos el ejemplo anterior:

2 ÷ 3 = 2 x 4 = 8 (hemos cambiado el operador ÷ por el operador x, y además 5 4 5 3 15 hemos invertido la fracción que venia después del ÷)

Lo más recomendable es llevarlo a multiplicación ya que así la operación la podemos hacer directamente sin importar la cantidad de fracciones que tengamos y además podemos simplificar antes de multiplicar. Por ejemplo: 4 ÷ 3 ÷ 2 ÷ 1 (si la queremos resolver por multiplicación cruzada lo tendremos 5 2 5 3 que hacer de dos en dos y además no puedo simplificar antes)

4 x 2 x 5 x 3 (ahora lo he convertido a multiplicación, puedo resolver todo 5 3 2 1 directamente y además podemos simplificar antes)

Solamente podemos simplificar antes de operar en la multiplicación

Potenciación de Números Fraccionarios

En la potenciación de números fraccionarios, o simplemente fracciones, tendremos que observar una condición y esta es que la fracción debe estar entre paréntesis para que la potencia la afecte a toda ella.

Si por ejemplo tenemos:

(4)3 = 43 = 4 x 4 x 4 = 64

3 33 3 x 3 x 3 27

Pero si lo tenemos sin paréntesis:

43 = 43 = 4 x 4 x 4 = 64

3 3 3 3

En los dos ejemplos anteriores observamos claramente el efecto del paréntesis y la necesidad de su empleo en la potenciación de fracciones.

Radicación de Números Fraccionarios

En este caso el radical afectara tanto al numerador como al denominador. Por ejemplo: 3√8 = 3√8 = 2 (porque 2 x 2 x 2 = 8) 27 3√27 3 (porque 3 x 3 x 3 = 27

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Los Números Complejos:

Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado se analizó el signo del discriminante y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del conjunto de los números complejos.

Sección 1

Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.

Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra al conjunto de los pares de números reales en el cual definimos las siguientes operaciones:

Suma.

Multiplicación.

En el número complejo llamaremos a la parte real y a la parte imaginaria. Note que la suma y producto de pares no está definida en .

Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:

Igualdad.

Multiplicación por un escalar. donde .

Ejemplo. Dados y , hallar:

Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los mismos mediante el plano (Gráfica 1) En esta representación se le dice eje real (Re) al eje de las y eje imaginario (Im) al eje de las .

Gráfica 1: Representación del número complejo .

Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en el plano el número complejo coincide con el número real . De este modo tenemos cuando . Los números complejos de la forma son llamados imaginarios puros.

Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar :

Para eso escribimos el número real en la forma y aplicamos la definición de multiplicación:

Denotaremos el número complejo con la letra y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil demostrar que .

Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación .

Forma binómica de un número complejo

Sea un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:

Pero como y , entonces . En este caso se llama forma binómica o binomia del número complejo.

Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica

, puesto que son todos números reales.

porque .

Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio; por lo que la realización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos se puede realizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que se trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.

Ejemplo. Si y , halle y .

Conjugado de un número complejo

Si es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número , es decir, al número complejo que tiene la misma parte real que pero la parte imaginaria de signo opuesto.

Ejemplo. Si , entonces y si , entonces .

Módulo y argumento de un número complejo

Sea un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo , al número real dado por y lo denotaremos por . El módulo se interpreta como la distancia al origen del número (Gráfica 2).

Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo , al ángulo comprendido entre el eje y el radio vector que determina a . El argumento de se denota por y se calcula mediante la expresión:

Gráfica 2: Módulo y argumento de un número complejo.

Propiedad:

Demostración:

División de números complejos

La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación y división por el conjugado del denominador:

Ejemplo. Dados y , halle: (a) y (b) .

(a) Como entonces

(b) Para hallar multiplicamos y dividimos por el conjugado .

Raíces complejas de la ecuación de segundo grado

Si el discriminante de la ecuación es negativo, debe sustituirse el signo negativo por y de esa forma se obtienen las raíces complejas de la ecuación.

Ejemplo. Resolver la ecuación .

Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática:

Se puede ver que el discriminante es lo cual puede escribirse como . Por lo tanto:

Así, las raíces complejas de la ecuación son: y .

Ejercicios de la Sección 1.

(a) , (b), (c) , (d) , (e) .
Dados los números complejos y , halle:
Muestre que es el elemento neutro para la suma de números complejos.
Muestre que es el elemento neutro para la multiplicación de números complejos.
(a) , (b) , (c) , (d) , (e) .
Calcule:
(a) , (b) , (c) , (d) .
Calcule:
Dado el número complejo halle el par tal que . Al par se le llama inverso multiplicativo de . Concluya que el par es único y que el no tiene inverso multiplicativo.
Verifique que .
Verifique que y son conjugados.
(a) , (b) .
Calcule:
Resuelva la ecuación .
Halle tal que .
(a) , (b) .
Calcule y represente en el plano complejo los números , tales que:
(a) , (b) , (c) .
Calcule y represente en el plano complejo los números tales que:
Resuelva la ecuación cuadrática .
Resuelva la ecuación cuadrática .
Resuelva la ecuación cuadrática .
Resuelva la ecuación

.Sección 2

Forma trigonométrica o polar de un número complejo

La forma trigonométrica de un número complejo se establece observando el triángulo amarillo de la Figura 3:

Gráfica 3: Forma trigonométrica de un número complejo.

En este caso se tiene que y que .

Luego:

Por lo tanto:

Ésta es la llamada forma trigonométrica o polar del número complejo, la cual está en términos del módulo y el argumento. Se denota comúnmente por .

Ejemplo: Halle la forma trigonométrica de .

Hallemos y .

Note que está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto:

Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica

Sean y , entonces . En otros términos:

Demostración:

Por lo tanto, la multiplicación de dos números complejos en su forma trigonométrica da como resultado un número complejo cuyo módulo es igual al producto de sus módulos y cuyo argumento es igual a la suma de los argumentos.

Ejemplo. Sea y .

Entonces

Fórmula de Moivre

Empleando el resultado del Ejercicio 3b de esta sección, , y tomando , tenemos:

Esta expresión es la llamada fórmula de Moivre.

Forma exponencial de un número complejo

Vamos a asumir que se siguen cumpliendo, como en los números reales, los conceptos de función, derivadas, series, etc. Vamos a demostrar la fórmula de Euler:

Empleemos el desarrollo en serie de potencias de la función , suponiendo que sea válido para cuando la variable es un número complejo .

Si tomamos , nos queda:

Agrupando tendremos:

Estos son los desarrollos de y respectivamente. Así que .

Sea un número complejo donde es su módulo y su argumento. Entonces mediante el empleo de la fórmula de Euler se obtiene:

Esta expresión es la llamada forma exponencial del número complejo. Note que la forma exponencial es equivalente a la trigonométrica pues dependen de los mismos elementos: módulo y argumento del número complejo . Esta forma es muy cómoda pues podemos efectuar la multiplicación, división y potenciación empleando las leyes del álgebra.

Multiplicación y división de números complejos en su forma exponencial

Sean y . Entonces:

Ejemplo: Sea y . Entonces y .

Ejercicios de la Sección 2.

(a) en la forma trigonométrica el número complejo .
(b) en la forma binómica el número complejo .
Represente:
(a) en la forma trigonométrica el número complejo .
(b) en la forma binómica el número complejo .
Represente:
,
, …,
entonces
(a)
(b)
(c) .
Extienda el resultado a las potencias enteras negativas.
Multiplicando el mismo número complejo n veces, efectúe y emplee identidades trigonométricas para comprobar que si
(a) , (b)
Calcule:
(a) , (b) .
Dados y , emplee la forma exponencial para hallar:
(a) , (b) .
Dados y , emplee la forma exponencial para hallar:
Halle .
Halle

Sección 3

Raíces n-ésimas de un número complejo

En la forma binómica de un número complejo la representación es única, mientras que en la forma trigonométrica o exponencial un mismo número complejo tiene infinitas representaciones diferentes, con . Para cada valor de habrá una representación diferente del número complejo .

Definamos la radicación como la operación inversa de la potenciación, esto es:

Supóngase que es un número complejo de módulo y argumento y que un número complejo de módulo y argumento . Entonces equivale a:

De esta manera:

(1)

(2)

Por lo tanto, donde y , con .

Estas son las fórmulas para hallar las raíces n-ésimas de cualquier número complejo. Compruebe que para todo otro valor de , con , se obtienen las mismas raíces que para .