Movimiento Armónico Simple
El estudio del oscilador armónico constituye en Física un capítulo muy importante, ya que son muchos los sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturaleza y que han sido producidos por el hombre.
El Movimiento Armónico Simple (MAS) es un tipo de movimiento vibratorio causado por la proyección de un Movimiento circular Uniforme (MCU) en una recta lineal.
La proyección mencionada consiste en tomar un diámetro cualquiera de la circunferencia de un Movimiento Circular (MCU), y prolongar sobre esta recta la componente vertical de la partícula. El movimiento circular se reducirá a un movimiento de vaivén en la recta.
El movimiento Armónico Simple, se le llama SIMPLE porque proviene de un Movimiento Circular Uniforme, el cual posee velocidad constante de rotación. Si el movimiento circular NO tiene velocidad constante (pudiendo ser acelerado o variado); la proyección que genera forma el llamado Movimiento Armónico Complejo (MAC), cuyo estudio es semejante al primero pero teniendo en cuenta el cambio de la velocidad en el tiempo aplicado en las diversas fórmulas del mismo.
Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación
Las características de un M.A.S. son:
Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A.
La función seno es periódica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un tiempo P tal que w(t+P)+j=w t+j+2p .
Cinemática de un M.A.S.
En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.
La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación
Esta es la ecuación diferencial de un MAS donde x puede ser cualquier magnitud: un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, una temperatura, etc.
Puede comprobarse que la solución de esta ecuación diferencial es
x=A sen(w t+j )
Condiciones iniciales:
Conociendo la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 en el instante t=0.
CaracterísticasLa velocidad de la partícula es mayor mientras más lejos se encuentra de los puntos de retorno, siendo máxima cuando cruza por el punto de equilibrio y mínima (cero) en los puntos de retorno.La aceleración de las partículas es mayor mientras más lejos se encuentra del punto de equilibrio, siendo máxima en los puntos de retorno y mínima (cero) en el punto de equilibrio.
Posición, velocidad y aceleración
Para calcular la posición de la masa en función del tiempo habría que resolver la ecuación diferencial anterior que relaciona la aceleración con el desplazamiento.
Sin embargo, para simplificar vamos a dar la solución. Derivándola dos veces se demuestra fácilmente que satisface la Segunda Ley de Newton.
La constante A que aparece en la expresión anterior se denomina amplitud del movimiento, y es el máximo desplazamiento de la masa con respecto a su posición de equilibrio x = 0. Sus unidades en el SI son los metros (m).
El tiempo que tarda la masa en efectuar una oscilación completa se denomina periodo (T), y está relacionado con la frecuencia angular mediante la expresión:
La velocidad y la aceleración de una partícula que describe un movimiento armónico simple se obtiene derivando la ecuación de la posición en función del tiempo.
Posición, velocidad y aceleración de una partícula que describe un movimiento armónico simple. La fase en este caso es cero.
Curva de energía potencial
El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda.
En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio, que por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable.
Energía
Si no existe rozamiento entre el suelo y la masa, la energía mecánica de esta última se conserva. Ya se vio en el apartado de trabajo que la fuerza recuperadora del muelle es una fuerza conservativa y se calculó su energía potencial asociada, que es una parábola:
En la siguiente figura se ha representado la energía total, la energía potencial elástica y la cinética para distintas posiciones de una partícula que describe un movimiento armónico simple.
La energía mecánica se conserva, por lo que para cualquier valor de x la suma de la energía cinética y potencial debe ser siempre:
Dinámica de un M.A.S.
Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.
ELONGACIÓN "y":
La posición del móvil se indica mediante la elongación "y" que es la distancia a que está el móvil del origen, el cual está ubicado en la posición central o de equilibrio. Por ello, las elongaciones pueden ser positivas, negativas o cero. La elongación será, por tanto, una función del tiempo.
La posición de equilibrio no implica un equilibrio estático o reposo sino un equilibrio dinámico (equilibrio porque la fuerza resultante es cero). Como veremos luego, el móvil pasa con su máxima velocidad por esta posición de equilibrio.
AMPLITUD : "A"
En la máxima elongación o apartamiento de la posición de equilibrio a que llega el móvil. El M.A.S. como proyección del M.C.U. sobre un eje coordenado : El Movimiento Armónico Simple puede entenderse como la proyección sobre un eje coordenado (en este caso el eje "y") de un Movimiento Circular Uniforme.
Suponemos que un móvil se desplaza con Movimiento Circular Uniforme de período "T", frecuencia "f", velocidad angular "w", y velocidad tangencial "V". Tiene además aceleración centrípeta "aC". Todas estas magnitudes son constantes en el M.C.U.
Si proyectamos en cada instante el móvil en M.C.U. sobre el eje "y" obtenemos otro móvil que se mueve con Movimiento Armónico Simple.
De manera que proyectando la posición lineal "S" sobre el eje "y" llegamos a la elongación "y". Proyectando la velocidad tangencial del M.C.U. sobre el mismo eje se obtiene la velocidad del M.A.S. y haciendo lo propio con la aceleración centrípeta se llega a la aceleración del M.A.S.
Estas tres funciones son las ecuaciones horarias del M.A.S. y como vemos son funciones sinusoidales del tiempo. A continuación se grafican las mismas.
La elongación "y" varía según la función seno del ángulo "q", ángulo que recibe el nombre de "fase del movimiento". Dicho ángulo de fase aparece en grados sexagesimales para mayor simplicidad en el análisis, pudiendo también expresarse en radianes. Los valores de "y" oscilan entre "+A" y "-A".
La velocidad "V(t)" varía según la función coseno de "q", oscilando sus valores entre "+wA" y "-wA".
La aceleración "a(t)" varía según la función "-seno", que equivale a la función seno multiplicada por (-1), y por lo tanto su gráfica corresponde a la de la función seno rebatida con respecto al eje "x". Se dice que esta gráfica está en "contrafase" con respecto a la función seno (en este caso a la "y(t)"). Sus valores oscilan entre "w2.A" y "-w2.A".
En el primer cuarto de oscilación (con "q" entre 0 y 90º) se observa:
El móvil parte de la posición de equilibrio (y = 0) y su elongación va creciendo hasta llegar a "y = A".
La velocidad que era máxima positiva en el instante inicial, llevándolo al cuerpo a desplazarse hacia la derecha, va disminuyendo hasta hacerse cero en el punto de la máxima elongación. En ese momento el móvil está en reposo, pero es sólo un instante pues luego comenzará a moverse en dirección contraria.
La aceleración que es cero en el instante inicial, empieza a tomar valores negativos, lo que indica que se opone al desplazamiento o elongación. Mientras mayor es esta elongación, mayor es la aceleración negativa, la cual se hace máxima cuando la fase es "q = 90º".
En el segundo cuarto de oscilación (con "q" entre 90º y 180º) se observa:
La elongación comienza a disminuir desde el valor máximo "A" hasta cero, retornando el móvil a la posición de equilibrio.
La velocidad que era cero, se hace negativa, llevándolo al cuerpo a desplazarse hacia la izquierda. El móvil se va acelerando hasta alcanzar la máxima velocidad hacia la izquierda (negativa) al alcanzar la posición de equilibrio.
La aceleración que era máxima negativa (hacia la izquierda) lo "empuja" al cuerpo a moverse en esa dirección, y va disminuyendo gradualmente hasta hacerse cero en la posición de equilibrio con "q = 180º".
En el tercer cuarto de oscilación (con "q" entre 180 y 270º) se observa:
La elongación parte de cero y va haciéndose negativa, pues el móvil se mueve hacia la izquierda de la posición de equilibrio. Alcanza un máximo negativo de "y = -A".
La velocidad que era máxima negativa en la posición de equilibrio, llevándolo al cuerpo a desplazarse hacia la izquierda, va disminuyendo hasta hacerse cero en el punto de la máxima elongación negativa. En ese momento el móvil está en reposo, pero es sólo un instante pues luego comenzará a moverse en dirección contraria.
La aceleración que es cero en la posición de equilibrio, empieza a tomar valores positivos, lo que indica que se opone al desplazamiento o elongación, la cual es negativa. Se trata entonces de un movimiento retardado. Mientras mayor es esta elongación negativa, mayor es la aceleración positiva, la cual se hace máxima cuando la fase es "q = 270º".
En el último cuarto de oscilación (con "q" entre 270º y 360º) se observa:
La elongación comienza a disminuir (en módulo) desde el valor "-A" hasta cero, retornando el móvil a la posición de equilibrio.
La velocidad que era cero, se hace positiva, llevándolo al cuerpo a desplazarse hacia la derecha. El móvil se va acelerando hasta alcanzar la máxima velocidad hacia la derecha (positiva) al alcanzar la posición de equilibrio.
La aceleración que era máxima positiva (hacia la derecha) lo "empuja" al cuerpo a moverse en esa dirección, y va disminuyendo gradualmente hasta hacerse cero en la posición de equilibrio con "q = 360º".
Resumiendo :
1) Cuando la elongación es máxima (positiva o negativa), la velocidad se hace cero y el móvil está a punto de cambiar el sentido del movimiento. En esos instantes la aceleración es máxima y de signo contrario a la elongación.
2) Cuando el móvil pasa por la posición de equilibrio la elongación es cero, la velocidad es máxima positiva o negativa y la aceleración también es cero.
3) Se observa que la elongación "y" está en contrafase con la aceleración "a", lo que indica que la aceleración es recuperadora. Siempre trata de volver a la posición de equilibrio al cuerpo. Si la elongación es positiva (q entre 0 y 180º) la aceleración es negativa y si la elongación es negativa (q entre 180º y 360º), la aceleración es positiva.
La velocidad angular "w" del Movimiento Circular Uniforme, que también está presente en las fórmulas del Movimiento Armónico Simple, se llama "pulsación" para este último movimiento.
Otra forma que puede usarse para deducir las fórmulas del M.A.S. es proyectar el M.C.U. sobre el eje "x" (en lugar del eje "y" como hemos hecho).
Conclusiones
Conclusiones sobre Cinématica del M.A.S:
-El M.A.S: es un movimietno periódico en el que la posición varía según una ecuación de tipo senoidal o cosenoidal;
– La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoria y nuela en los extramos, donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento;
-Es un movimiento acelerado no uniformemente. su aceleración es proporcional al desplaziento y de signo opuesto a esta. Toma su valor máximo en los extramos de la trayectoría, mientras que es mínimo en el centro;
– Podemos imaginarlo como una proyecci´no de un movimiento circular uniforme. El desfase nos indica la posición del cuerpo del instante inicial.
Conclusiones sobre la dinámica:
-La fuerza elásica responsable es siempre opuesta al desplazamiento y proporcional al mismo.
_La frecuencia con la que vibra un cuerpo que describe un M.A.S depende sólo de su masa y de la constante elástica, mientras que es independiente gráficamente de la vibración.
Conclusiones sobre la Energía:
-La fuerza elástica que origina este movimiento es conservativa. La energía otencial elástica que lleva asociada es nula en el centro de la trayectoría y máxima en sus extremos.
– La energía cinética varíacontinuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoría y nula en sus extremos.
-Dado el carácter conservativo de la fuerza elástica, la energía mecánica total del cuerpo permanece constanbte a lo largo de toda la trayectoría.
Bibliografía
-Diego Luis Feria Gómez,Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa, CNICE, Proyecto Descartes (http://descartes.cnice.mecd.es)
-http://www.how-to-study.com/
-http://www.ditutor.com
-Apuntes del nivel secundario.
-http://www.Física.net
-http://matematica.laguia2000.com
Autor:
Mariel C
Trabajo Final .
Materia: Elementos de Física y Matemática