La marca de clase es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene sumando los límites inferior y superior de la clase y dividiendo por 2. Así, la marca de clase del intervalo 60 – 62 es (60 + 62)/2 = 61. La marca de clase se llama también punto medio de la clase.
Para análisis matemáticos posteriores, todas las observaciones pertenecientes a un intervalo de clase dado se suponen coincidentes con la marca de clase. Así, todas las alturas en el intervalo de clase 60 – 62 pulgadas se considerarán como de 61 pulgadas.
Reglas generales para formar las distribuciones de frecuencia
l. Determinar el mayor y el menor entre los datos registrados y así encontrar el rango (diferencia entre el mayor y el menor de los datos).
2. Dividir el rango en un número conveniente de intervalos de clase del mismo tamaño. Si esto no es posible, utilizar intervalos de clase de diferente tamaño o intervalos de clase abiertos. El número de intervalos de clase se toma generalmente entre 5 y 20 dependiendo de los datos. Los intervalos de clase se eligen también de forma que las marcas de clase o puntos medios coincidan con datos realmente observados. Esto tiende a aminorar el llamado error de agrupamiento, en los análisis matemáticos posteriores. Sin embargo, los límites reales de clase no coincidirán con los datos observados.
3. Determinar el número de observaciones que caen dentro de cada intervalo de clase, es decir, encontrar las frecuencias de clase. Lo mejor para esto es utilizar una hoja de conteo.
HISTOGRAMAS Y POLIGONOS DE FRECUENCIA son dos representaciones gráficas de las distribuciones de frecuencia.
1. Un histograma o histograma de frecuencias consiste en una serie de rectángulos que tienen
(a) Sus bases sobre un eje horizontal (el eje X) con centros en las marcas de clase y longitud igual al tamaño de los intervalos de clase.
(b) Superficies proporcionales a las frecuencias de clase.
Si los intervalos de clase tienen todos igual tamaño, las alturas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias de clase y se acostumbra en tal caso a tomar las alturas numéricamente iguales a las frecuencias de clase. Si los intervalos de clase no son de igual tamaño, estas alturas deberán ser calculadas.
2. Un polígono de frecuencias es un gráfico de línea trazado sobre las marcas de clase. Puede obtenerse uniendo los puntos medios de los techos de los rectángulos en el histograma.
El histograma y el polígono de frecuencias correspondiente a la distribución de frecuencias de las alturas de los estudiantes se muestran en el mismo sistema de ejes en la Fig.1. Se acostumbra a prolongar el polígono con PQ y RS hasta las marcas de clase inferior y superior inmediatas, que corresponderían a la clase de frecuencia cero. En tal caso, la suma de las áreas de los rectángulos del histograma es igual al e área total limitada por el polígono de frecuencias y el eje X.
Distribuciones de frecuencia relativa
La frecuencia relativa de una clase es la frecuencia de la clase dividida por el total de frecuencias de todas las clases y se expresa generalmente como porcentaje. Por ejemplo, la frecuencia relativa de la clase 66 – 68 de la Tabla 1 es 42/100 = 42 %. La suma de las frecuencias relativas de todas las clases es evidentemente 1 ó 100 %.
Si las frecuencias en la anterior tabla de frecuencias se sustituyen por las correspondientes frecuencias relativas, la tabla resultante se llama distribución de frecuencias relativas, distribución porcentual o tabla de frecuencias relativas.
Las representaciones gráficas de distribuciones de frecuencia relativa pueden obtenerse del histograma o del polígono de frecuencias, sin más que cambiar la escala vertical de frecuencia a frecuencia relativa, conservándose exactamente el mismo diagrama. Los gráficos que resultan se llaman histogramas de frecuencias relativas o histogramas porcentuales y polígonos de frecuencias relativas o polígonos porcentuales, respectivamente.
Distribuciones de frecuencia acumulada. Ojivas
La frecuencia total de todos los valores menores que el límite real superior de clase de un intervalo de clase dado se conoce como frecuencia acumulada hasta ese intervalo de clase inclusive. Por ejemplo, la frecuencia acumulada hasta el intervalo de clase 66 – 68 inclusive en la Tabla 1, es 5 + 18 + 42 = 65, significando que 65 estudiantes tienen alturas menores que 68,5 pulgadas.
Una tabla que represente las frecuencias acumuladas se llama distribución de frecuencias acumuladas, tabla de frecuencias acumuladas o brevemente distribución acumulada, y se muestra en la Tabla 2, para la distribución de la altura de los estudiantes.
Un gráfico que muestre las frecuencias acumuladas menores que cualquier límite real superior de clase trazado sobre los límites reales superiores de clase se llama polígono de frecuencias acumuladas u ojiva y se muestra en la Fig. 2-2 para la distribución de la altura de los estudiantes.
En algunos casos es preferible considerar una distribución de frecuencias acumuladas de todos los valores mayores o iguales al límite real inferior de clase de cada intervalo de clase. En este caso consideramos las alturas de 59,5 pulgadas o más, 62,5 pulgadas o más, etc., ésta se llama a veces distribución acumulada «o más», mientras que la considerada anteriormente es la distribución acumulada «menor que». De la una se obtiene fácilmente la otra. Las correspondientes ojivas se llaman «o más» y «menor que». Siempre que nos refiramos a distribuciones acumuladas u ojivas sin especificar, se entenderá que son del tipo «menor que».
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULADAS. OJIVAS PORCENTUALES
La frecuencia relativa acumulada o frecuencia porcentual acumulada es la frecuencia acumulada dividida por la frecuencia total. Por ejemplo, la frecuencia relativa acumulada de alturas menores que 68,5 pulgadas es 65/100 = 65 %, queriendo con ello decir que el 65 % de los estudiantes tienen alturas menores de 68,5 pulgadas.
Si se utilizan en la Tabla 2, y Fig. 2, las frecuencias relativas acumuladas en lugar de las frecuencias acumuladas, los resultados se llaman distribuciones de frecuencias relativas acumuladas o distribuciones porcentuales acumuladas y polígonos de frecuencias relativas acumuladas u ojivas porcentuales, respectivamente.
CURVAS DE FRECUENCIAS. OJIVAS SUAVIZADAS
El conjunto de datos puede considerarse normalmente como perteneciente a una muestra extraída de una población grande. A causa de las muchas observaciones que podemos realizar en la población es posible teóricamente (para datos continuos) elegir los intervalos de clase muy pequeños y todavía tener un número adecuado de observaciones dentro de cada clase. Así se tiene que el polígono de frecuencias o el de frecuencias relativas para una población grande puede estar formado por muchos pequeños segmentos rectos que aproximan el conjunto a una curva, las curvas de este tipo pueden llamarse curvas de frecuencias o curvas de frecuencias relativas, respectivamente.
Es razonable esperar que tales curvas teóricas provengan de la suavización de los polígonos de frecuencias o de los polígonos de frecuencias relativas de la muestra, la aproximación es tanto más exacta conforme aumenta el tamaño de la muestra. Por esta razón una curva de frecuencias se conoce como un polígono de frecuencias suavizado.
De una forma análoga las ojivas suavizadas provienen de la suavización de los polígonos de frecuencias acumuladas u ojivas. Normalmente es más sencillo suavizar una ojiva que un polígono de frecuencias.
Tipos de curvas de frecuencia
Las curvas de frecuencia presentan determinadas formas características que les distinguen como se indica en la Figura 3.
(a) Las curvas de frecuencia simétricas o bien formadas se caracterizan por el hecho de que las observaciones que equidistan del máximo central tienen la misma frecuencia. Un ejemplo importante es la curva normal.
(b) En las curvas de frecuencia moderadamente asimétricas o sesgadas la cola de la curva a un lado del máximo central es mayor que al otro lado. Si la cola mayor se presenta a la derecha de la curva se dice que ésta está sesgada a la derecha o que tiene sesgo positivo, mientras que si ocurre lo contrario se dice que la curva está sesgada a la izquierda o que tiene un sesgo negativo.
(c) En las curvas en forma de J o de J invertida, el máximo se presenta en un extremo.
(d) Las curvas de frecuencias en forma de U tienen el máximo en ambos extremos.
(e) Una curva de frecuencias bimodal tiene dos máximos.
(f) Una curva de frecuencias multimodal tiene más de dos máximos.
Bibliografía
Estadística, Teoría y Problemas Resueltos.
Murray R. Spiegel.
McGraw-Hill
México, 1983.
Páginas: 27 – 31
Autor:
Martin del Campo Becerra Gustavo Daniel
| Página siguiente |