- Resumen
- Introducción
- Representación de un número entero positivo con el símbolo colocado entre las cifras
- Ley de formación de las partes de un cuadrado perfecto
- Conclusión
- Bibliografía
Resumen
El presente trabajo trata, especialmente, una forma de representar los números naturales con el símbolo 
colocado entre sus cifras, la cual se designó por representación tausiana, y con la cual se formuló y se probó un teorema de donde se pueden derivar las propiedades de los cuadrados perfectos, además de ser un método que minimiza los procedimientos para calcular el cuadrado de un número natural.
Palabras claves: Cifras terminales, cuadrados perfectos, propiedades, números naturales, representación tausina.
La parte terminal de un número natural, en muchos casos, nos suministra una información pertinente sobre el mismo número. Por ejemplo, es desde la cifra terminal de un número natural que se puede ver si el número es par o no, esto sin la necesidad de dividir el número por 2. La cifra terminal de un número natural también nos dice si el número es divisible por 5, entre otros casos que podrían citarse.
Por otro lado, al analizar varios cálculos aritméticos, se verifica que algunos de ellos presentan regularidad en la parte terminal del resultado. Tal es el caso del cálculo del cuadrado de un número natural.
El método que se utiliza para calcular el cuadrado de un número natural es multiplicar dicho número por sí mismo, esto es, la propia definición del cuadrado de un número. Esto es bien sencillo y corto de calcular con números pequeños, pero puede resultar largo y tedioso conforme el número va creciendo. Por eso, muchos estudiosos se han dedicado en busca de métodos que sean sencillos para calcular el cuadrado de un número natural y en la búsqueda de propiedades que cumplen los cuadrados perfectos.
Un de los método para calcular el cuadrado de un número natural proveniene de las matemáticas védicas, y es conocido por método de Yavadunam, que consiste en lo siguiente:
El método de Yavadunam es muy interesante en muchas ocasiones, sobretudo para los números cercanos a una potencia decimal, en otras ofrece más o menos la misma dificultad y el mismo esfuerzo que la multiplicación normal.
Por otra, se sabe que los métodos, en matemáica, en sus esenciales, son caminos que se utilizan para lograr un resultado y tienen de ser formulados desde una base teórica consistente. Un hecho que caracteriza los cuadrados perfectos es la regularidad que estes presentan en sus cifras terminales, que es de forma general, la base de las propiedades de los cuadrados. Sin embargo, no existe en la teoria de los números una proposición general a partir de la cual se pueden derivar las propiedades de los cuadrados perfectos. Este hecho nos conllevó a analizar la regularidad que presentan los números que son cuadrados perfectos en su último dígito y buscar la ley que forma las demás cifras y demostrar dicha ley.
Se sabe que el gran descubrimiento de la teoría de números del siglo XIX fue que las leyes fundamentales sobre los números involucran esencialmente conceptos algebraicos abstractos (o analíticos), de forma que las propiedades que se observan sobre los números enteros son re?ejos más o menos lejanos de estas leyes generales.
Así, este artículo se centra en presentar una forma de representar un número natural con un el símbolo () colocado entre sus cifras, cuyos conceptos involucrados em dicha representación permiten expresar y demostrar una ley que además de estar en la base de la formación de las partes de los cuadrados perfectos, permite minimizar los procedimientos de calcular los cuadrados de números naturales y fundamentar com más consistência las propriedades de los cuadrados perfectos ya conocidas.
Representación de un número entero positivo con el símbolo colocado entre las cifras
Definición 1:
Definición 2:
PROPIEDADES
Lema 1:
Ejemplos:
Lema 2:
Demostración:
Nota: Designamos los lemas 1 y 2 respectivamente por propiedad de los ceros terminales en la multiplicación y propiedad del cero terminal en la adición.
Como se pude ver, el símbolo colocado entre las cifras de un número natural funciona como un separador o concatenador de cifras. Con él se introduce el concepto de partes de un número natural, o sea, la parte de las últimas cifras y la otra parte compuesta por las cifras iniciales de dicho número. Esta forma de representar un número natural con el símbolo colocado entre sus cifras se va a designar por representación tausiana del número.
Ley de formación de las partes de un cuadrado perfecto
Teorema*:
Demostración:
Corolário 1.
Ejemplos:
Corolário 2.
Corolário 3:
CÁLCULO DEL CUADRO DE NÚMEROS NATURALES
El teorema* es um método que minimiza los procedimientos en el cálculo del cuadrado de un número natural. Pero es necesario conocer los quadrados de 0 hasta 9 para que el método resulte aplicable.
Veamos ejemplos de como se procede:
PROPIEDADES DE LOS CUADRADOS PERFECTOS
Enunciemolas:
P1. Si un número natural es un cuadrado perfecto, entonces no caba en 2, 3, 7, ú 8.
P2. Si el último dígito de un número es 0, su cuadrado acaba en 00 y los precedente dígitos deben ser también un cuadrado.
P3. Si el último dígito de un número es 1 o 9, su cuadrado acaba en 1 y el número formado por su precedente debe ser divisible por cuatro.
P4. Si el último dígito de un número es 2 u 8, su cuadrado acaba en 4 y el precedente dígito debe ser un número par.
P5. Si el último dígito de un número es 3 o 7, su cuadrado acaba en el dígito 9 y el número formado por sus precedentes dígitos debe ser divisible entre cuatro.
P6. Si el último dígito de un número es 4 o 6, su cuadrado acaba en 6 y el precedente dígito debe ser impar.
P7. Si el último dígito de un número es 5, su cuadrado acaba en 25 y los precedentes dígitos deben ser 0, 2, 06, o 56.
Las propiedades anteriores son conocidas en la teoria de los números y son de extrema importância en el estúdio de los cuadrados perfectos. Como ya se evidencio, las propiedades P8 y P9 son fáciles de probar. Pero, las demás propiedades no son asi tan fáciles de demostrar com la representación del número natural en la representación decimal tradicional.
Analicemos ahora las demás propriedades de los cuadrados perfectos, las cuales se van a fundamentar teoricamente a partir de las definiciones 1 y 2, los lemas 1 y 2, y la ley de formación de las partes de un cuadrado perfecto.
P1: Si un número natural es cuadrado perfecto, entonces termina en 0, 1, 4, 5, 6 ó 9.
Algunos autores plantean asi la proposición:
Es importante subrayar que la propiedad P1 apesar de ser muy conocida en la teoría de los números, en la mayoria los textos la propiedad aparece sin demostración, pero es planteada como un ejercício.
En algunos textos, se justifica la propiedad explicando que tal hecho ocurre debido a que al multiplicar dos números naturales, la última cifra del producto resulta de la multiplicación de los últimos dígitos de los factores.
Tambien hay textos donde se prueba la propiedad con contraejemplos, o sea, se calculan los cuadrados de algunos números naturales con todas las terminaciones posibles y como los resultados cumplen con las condiciones de la proposición se generaliza para todos los casos. Por ese mismo proceso, se prueba tambien P1"", que es un bicuadrado.
Ya ahora, es fácil verificar que P1 o P1" y P1"" pueden demostrarse de manera sencilla, pues son casos particulares de los corolários 1 y 2 respectivamente, donde las primeras partes de las demostraciones de los corolários en referencia prueban de imediato dichas propiedades.
Por otra, es conveniente decir que la propiedad P1 aparece más en los texto que la propiedad P1". Pero, en nuestra opinión la propiedad P1" tiene más sentido, pues, aunque los cuadrados perfectos de forma general terminen en 0, 1, 4, 5, 6 ó 9, hay un subconjunto (los bicuadráticos) que terminan solamente en 0, 1, 5 ó 6. Así, hace más sentido un enunciado que excluye las cifras terminales que no pertenescan al conjunto 
Retomemos el enunciado de la propiedad P2: si el último dígito de un número es 0, su cuadrado acaba en 00 y los precedente dígitos deben ser también un cuadrado. Esta propiedad puede probarse de manera fácil con la propiedad de los ceros terminales en la multiplicación (lema 1). Veamos como se procede:
Demostración:
Es conveniente subrayar que en nuestras búsquedas no encuentramos ninguna fundamentación teórica de dichas premisas, por lo que suspechamos que fueran obtenidas por métodos computacionales. No obstante, aunque exista una manera analítica de probarlas, nos conviene decir que tambien se puede utilizar el corolário 3 para demostrar al menos las premisas que caracterizan el penúltimo dígito en dichas propiedades.
ESTUDIO DE RAÍCES DE ÍNDICE PAR.
Los corolários 1, 2 y 3 en muchas ocasiones son muy precisos para determinar qué raíces de índice par son números irracionales.
Ejemplos:
Se ha llegado a que existe una ley que está en la base de la formación de las partes de un cuadrado perfecto a partir de la cual se derivan las propiedades ya conocidas en la teoria de los números. Para que dicha ley sea aplicable, hay que considerar la forma de representación tausiana del número natural.
CORTÉS, L. A y MARTÍNEZ, J.L.M (2010). Bases Metodologicas de la Investigación en Matemática. Universidad Central "Marta Abreu" de las Villas. Cuba.
DICKSON, L. E. (1923). History of the Theory of Numbers, 3 volumens, Carnegia Institution.
DOMINGUES, H.H. (1991). Fundamentos de Aritmética. São Paulo – Brasil.
ESPINOSA, T. E. F. (2013). Material de apoyo para la asignatura de introducción a la matemática de la carrera licenciatura en matemática. Universidad Central "Marta Abreu" de las Villas. Cuba.
EVARISTO, E. PERDIGÃO, E. (2011). Introdução à Álgebra Abstracta, segunda edição, Brasil.
FLORES, R. (1971). Fundamentos de los sistemas numéricos, Interamericana, México,.
FOMÍN, S. V. (1975). Sistemas de Numeración, Editorial MIR, Moscú.
FOSSA, J. A. (2009). Introdução às Técnicas de Demonstração na Matemática. 2ª edição. S.P. Brasil.
GIOIA, A. A. (1970).The Theory of Numbers – Na Introduction, Markham Publishing Company –Chicago-USA.
MAIER, R. R. (2005). Teoria dos Números. Universidade de Brasília – IE
MANIN, Y. I. (1981). Lo Demostrable e Indemostrable, Editorial MIR, Moscú.
MARTÍNEZ, J. E. Procesos para el tratamiento de los conceptos matemáticos (Folleto). Universidad Central de las Villas. Santa Clara. Villa Clara. Cuba. 2016.
MÓNICA, E. (2009). Lógica Matemática. Luanda-Angola.
MÓNICA, E. (2009). Números e Medição. Luanda-Angola.
MONTEIRO, A. J., MATOS, I. T. (2001). Álgebra um primeiro curso, 2ª edição. Portugal.
NIVEN, I. y ZUCKERMAN, H. S.(1976). Introducción a la Teoria de los Números (versión autorizada en español), Segunda edición, Nova York.
RAMOS, E. E. (2005). Matemática Básica, segunda edición, Lima-Peru.
SANTOS, J. P. O. (1998). Introdução à Teoria dos Números, Coleção Matemática Universitária, IMPA, Rio de Janeiro.
SCHEINERMAN, E. R (2006). Matemática Discreta – Uma Introdução. S. Paulo-Brasil.
SIDKI, S. N. (1975). Introdução à Teoria dos Números, volume 1.
SOLOW, D. (1993). Cómo Entender y Hacer Demonstraciones en Matemática, México.
SOMINSKI, I. S. (1985). Método de Inducción Matemática, Editorial MIR, Moscú, 2ª Edición.
STEWART, I. (2008). Historia de las matemáticas, Crítica.
TAMAYO, M. El Proceso de la Investigación Científica (2003). México: 4ª edición.
VINOGRÁDOV, I. (1974). Fundamentos de la Teoria de los Números, Editorial MIR, 2ª Edición, Moscú.
WALTER, M. F. (2014). Introducción a la Teoria de Números, 1ra edición, Costa Rica.
WILLERDING, M. F. (1986). Conceptos Matemáticos: un enfoque histórico. México.
Cuadrados perfectos. Disponivel en:
http://www.mat.uson.mx/eduardo/entrspresel2002.pdf
http://www.matetam.com/blog/entradas-jmd/cuadrados-perfectos
https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrados Perfectos
Método de Yavadunam. Disponível en:
http://gaussianos.com/calcular-el-cuadrado-de-un-numero-con-el-metodo-de-yavadunam/print/
Autor:
Lic. José Chiumbo Paiva.
Dr. Gerardo Hernández Cuellar