Paraellovamosareferirnosadoscon- juntos, A y B, cuyos cardinales son 38 y 7, respectivamente. Como en el caso de la sustracción, construimos el conjunto A – B (complemento de B con respecto a A), que denotaremos A1y cuyo cardi- nal sería 38 – 7 = 31. Como el cardinal de A1 sigue siendo mayor que el de B, construimosA1–B,quedenotaremosA2 y cuyo cardinal sería 31 – 7 = 24. cardinales continúa así: de A3, 17; de A4, 10; y de A5, 3. ¿Cómo interpretar A – B = A1 38 – 7 = 31
A1 – B = A2 31 – 7 = 24
A2 – B = A3 24 – 7 = 17
A3 – B = A4 17 – 7 = 10
A4 – B = A5 Cociente = 5
10 – 7 = 3
Residuo
Deestemodopodemosobteneruna secuencia de conjuntos Aihasta llegar a un Ancuyo cardinal sea menor que 7. En nuestro caso, la secuencia de tales estos valores finales? El subíndice 5 indica cuántas veces hemos procedido a obtener conjuntos “complementos de… con respecto a …”. Este valor se identifica como el cociente de la divi- sión. Y el cardinal del último de tales conjuntos, 3, como el residuo o resto de la división.
Dos precisiones resultan eviden- tes en este proceso. En primer lugar, el conjunto B no puede ser vacío (su cardinal debe ser ? 0), pues en caso contrario el proceso es irrealizable. Y en segundo lugar, el residuo de la di- visión debe ser menor que el divisor, pues en caso contrario la secuencia de conjuntos complementarios quedaría incompleta.
El cociente de dos números naturales re- presenta, pues, el número de veces que el cardinal de un conjunto B puede“restarse” del cardinal de un conjunto A y de la serie de diferencias sucesivas originadas por tales restas.Y el resto o residuo representa el cardinal del conjunto al que no puede “restarse”ya el cardinal del conjunto B.
Si denominamos: D: cardinal del conjunto A (dividendo) d: cardinal del conjunto B (divisor) (d ? 0) c:cociente r:resto (r < d),
8 en la división de D entre d, al par (D , d) se le hace corresponder el par (c ,r) de tal manera que:
D = d x c + r,con d ? 0, r < d
Los signos habituales para la operación de dividir D entre d son: D :d D/d D ÷ d Como puede observarse, esta forma deconceptuarladivisióncorrespondea su apreciación como una resta reitera- da. Apreciación que, como se ve, tiene su fundamento en la descripción que acabamos de presentar. Sin embargo, existe otra referencia de la división como operación inversa de la multipli- cación, que corresponde a la forma en que habitualmente suele presentarse por primera vez en el aula.
Estasegundareferenciadebemane- jarse con cierto cuidado. Es cierto que, por ejemplo, si en la multiplicación 4 x 6 = 24 ocultamos uno de los factores: 4 x ? = 24 y deseamos obtener su valor, procedemosaladivisión24:4=6.Aná- logamente,lainterrogante24:?=6nos remiteparasurespuestaalconocimien- todelamultiplicación4x6=24.Eneste sentido,ambasoperaciones“funcionan” como inversas una de la otra. Pero si vamos al terreno de los con- ceptos, ya hemos visto que en la multi- plicaciónaunpardenúmerosselehace corresponderunnúmero,mientrasqueen la división, se le hace corresponder otro pardenúmeros.Aquínopuedehablarse de inversión de operaciones en sentido estricto (Maza, 1991; Vergnaud, 1991).
¿Qué decir, entonces, de la doble consideracióndeladivisióncomoresta reiteradaycomooperacióninversadela multiplicación?Estonosrecuerdaloque ocurría en el caso de la multiplicación (ver Cuaderno 5), cuando ésta podía considerarsecomocardinaldelconjunto productodedosconjuntosocomosuma reiterada: el primero de estos enfoques se consideraba matemáticamente más formal y el segundo, pedagógicamente más apto.
Análogamente, en el caso de la divi- sión,elenfoquederestareiteradapuede considerarse como matemáticamente más formal y el de operación inversa de lamultiplicación,comopedagógicamen- te más apto para entrar en la división desde el terreno de la multiplicación.
Como vemos, la consideración for- maldeladivisióndenúmerosnaturales requiere ciertas precisiones teóricas que debemos conocer y comprender. Pero esta presentación formal no es, afortunadamente, la única respuesta a lapreguntaacercadequéesestaopera- ción. Porque la división también puede servistacomounmodelodesituaciones de la vida diaria, o de situaciones lúdi- cas, o de otras áreas del saber. En este sentido, la división se convierte en una herramientaquenospermiteinterpretar matemáticamente las situaciones que se presentan en nuestra vida. ¿Y cuáles, o de qué naturaleza, son estassituacionesparalasqueladivisión puede presentarse como modelo? He aquí algunas:
1. Situaciones de repartir una canti- dad dada entre cierto número de receptores. 2. Situaciones de restar reiterada- mente. 3. Situaciones de comparar dos cantidadesconelfindeaveriguar cuántas veces una contiene a –o está contenida en– la otra. 4. Situaciones de hallar el valor de algúnatributo(medida,peso,cos- to…) de una unidad, conociendo el de un conjunto de unidades similares. 5.Situacionesdeobtenerunacanti- dad que sea un cierto número de veces menor que otra. 6. Situaciones de averiguar el nú- mero de grupos de determinado tamaño que se encuentran en un conjunto conocido.
9 7. Situaciones de averiguar el ta- maño de cada grupo, cuando se sabe cuántos similares hay en un conjunto conocido. Estas situaciones suelen venir caracterizadas –en la interpretación verbal que de ellas hace el sujeto– por expresionestalescomorepartir,hacerlo tantas veces menor, hallar la mitad o la enésima parte, averiguar cuántas veces algo es mayor o menor que otra cantidad, y los propios de cada situa- ción particular.
En resumen, también hay dos formas de considerar la división: como un modelo de situacionesde la vida diariay comounobjeto de estudio formal dentro de la matemática.
No hay contradicción entre ambas formas de considerar la división, sino más bien complementariedad. Pero sí conviene resaltar que en el proceso de adquisición del concepto, de los proce- dimientos y de las destrezas propias de la operación, es preferible entrar por la vía del modelo de situaciones –y parti- cularmenteporlasquehacenreferencia a la perspectiva de operación en cierto modo inversa de la multiplicación– y considerar el estudio formal –con su lenguaje específico– como una meta a alcanzar posteriormente. Finalizamos este primer apartado con dos reflexiones. La primera es si- milar a la que hacíamos en el caso de la sustracción(verCuaderno4).Allídecía- mos que esa operación no es “interna” enelconjuntodelosnúmerosnaturales, esdecir,quenosiemprealrestardosde tales números se obtiene otro número natural. Y agregábamos que había que esperar al conjunto de los números en- teros (positivos y negativos) para que la sustracción adquiriera el carácter de operación interna.
De manera análoga, la división de dos números no es “interna” en el conjunto de los números naturales; es decir, que no siempre al dividir dos de tales números se obtiene otro número naturalsolamente:estoocurrenadamás cuando la división es exacta. Hay que esperar a las fracciones para que la di- visiónadquieraelcarácterdeoperación interna: al dividir dos fracciones –con tal de que la segunda sea diferente de 0– siempre se obtiene una fracción… y no hay resto.
Lasegundareflexiónsecentraenlas relaciones existentes entre las cuatro operaciones aritméticas básicas. Gráfi- camentepodríanrepresentarseasí(con lassalvedadeshechasensumomentoa la multiplicación como suma reiterada y a la división como inversa de la mul- tiplicación): opuestas Adición
reiterada Sustracción
reiterada Multiplicación opuestas División Estavisualizaciónnosdebehacerpen- sarenlamatemáticacomounacienciaen laquesusobjetos–operacionesaritméti- cas en este caso– nunca están aislados, sinoquemantienenrelacionesentreellos. Realmente,lamatemáticaesunaciencia de objetos y de relaciones entre ellos. Esto nos lleva a las consideraciones que hacíamos en el Cuaderno 1 acerca de la importancia de no aislar las cosas, sino debuscar,comprenderysaberutilizarlas relaciones existentes entre ellas.
2. El desarrollo de destrezas para dividir
Atención: Todo lo que se va a decir ahoranoessóloparaen- tenderlo. Es, sobre todo, para practicarlo.Pero no un par de veces, y ya. La ejercitación frecuente y abundanteesrequisitoindispensablepara desarrollar destrezas de cálculo mental.Y esto es muy importante,porque si no las poseemos no podremos construirlas con nuestros alumnos.
10 2.1. Relaciones entre los cuatro términos de la división En primer lugar, nos conviene a?an- zar los conceptos y las relaciones exis- tentes entre los cuatro términos que intervienen en la división. Para ello intentaremos contestar a las siguientes preguntas(hágaloprimeroporsucuen- ta, antes de revisar las respuestas):
a) ¿Cómo se calcula el dividendo en una división exacta? b) ¿Cómo se calcula el dividendo en una división inexacta? c) ¿En qué casos el cociente es mayor que la unidad? d) ¿En qué casos el cociente es menor que la unidad? Ahora,en el caso de una división exacta: e)Sehadivididounnúmeropor5.¿Cuántas veces el dividendo contiene al cociente? f) Si el cociente es 12,¿cuántas veces con- tiene el dividendo al divisor? g) ¿Cuál es el divisor cuando el dividendo contiene al cociente 10 veces? h) ¿Cuál es el cociente cuando el dividendo contiene al divisor 25 veces?
He aquí las respuestas: a) Multiplicando el divisor por el cociente b) Multiplicando el divisor por el cociente y agregando el residuo c) Cuando el dividendo es mayor que el divisor d) Cuando el dividendo es menor que el divisor e) 5 veces f) 12 veces g) 10 h) 25
2.2. Expresiones equivalentes Hay otras consideraciones prácti- cas que se derivan de las relaciones presentes en las divisiones exactas. Por ejemplo, expresiones equivalentes tales como: 24/12 = 2 24 es el doble de 12 12 es la mitad de 24 24 = 2 x 12 24/2 = 12 24 + 12 es el triple de 12 24 – 12 = 12 24 x 12 = 2 x 122
Expresiones que se pueden genera- lizar al caso en que A : B = n. Así:
A/B = n A es n veces B Besla enésima parte de A A = n x B A/n = B A + B = (n + 1) veces B A – B = (n – 1) veces B A x B = n x B2
Estas equivalencias nos permiten resolver rápidamente algunos proble- mas, como dos de los que se plantean al inicio del Cuaderno: a)La diferencia de dos números natu- rales es 940 y el cociente exacto del mayor entre el menor es 11.¿De qué números se trata? b) La suma de dos números enteros es 168;al dividirse el mayor entre el menor se obtiene 7 como cociente y 16 como residuo.¿Cuáles son los números? Veamos su resolución: a) Sean D y d ambos números. Los datos sonD:d=11,D–d=940.Ahorabien,sien una división el dividendo se sustituye por la diferencia entre el dividendo original menos eldivisor,elcocientedisminuyeenunaunidad (¿seguro?).Así,en nuestro caso,940 :d = 10. Luego d = 940 : 10 = 94.Y como D es 11 veces mayor,D = 94 x 11 = 1.034. b) Si llamamos D al número mayor y d al menor, podemos recoger los datos del problema así: D + d = 168 y D d , de donde:D = 16 7 7 x d + 16 Si D fuera 16 unidades menor,por un lado la suma de este D y d sería también 16 unidades menor, es decir: 168 – 16 = 152, y por otro lado,la división sería exacta.Este último dato signi?ca que el nuevo D sería un número 7 veces mayor que d, es decir, que“el nuevo D + d = 8 veces el valor de d” 152 = 8 x d. Luego d = 152 : 8 = 19. De donde, el valor inicial de D es: D = 7 x 19 + 16 = 133 + 16 = 149.
11 2.3. Otras relaciones y regularidades Aunque no contamos con propie- dades similares a las de la adición y multiplicación(conmutativa,asociativa ydisociativa),sípodemosestablecerun cuerpo de relaciones y regularidades útiles. Veamos esto con más detalle.
Enefecto,nopodemosconsiderarla propiedad conmutativa en la división ya que 5 : 3 no es lo mismo que 3 : 5. Los únicos casos en que m : n es igual a n : m ocurren si n = m ? 0. También es cierto que no podemos hablar de la propiedad asociativa en el caso de la operación de división, y que el elemento neutro (el 1) sólo “funciona” por la derecha, es decir, que 5 : 1 = 5 (pero 1 : 5 ? 5). Sin embargo, hay otras propiedades de interés que pueden facilitarnos el desarrollo de destrezas para dividir. Destrezas que, como veíamos en las otras operaciones, son la base del cálculo mental aplicado a las divisiones.
Si reflexionamos sobre el funcio- namiento de la división como inversa de la multiplicación y nos centramos en el signi?cado de algunas tablas de multiplicar (ver Cuaderno 5), podemos inferir también el signi?cado de la divi- sión para el caso de algunos divisores particulares.Así,tenemosque(paraen- tendermejorloscasosqueseproponen, la mayoría de los ejemplos se re?eren a divisiones exactas):
1. Dividir entre 1 es dejar intacto el dividendo. Así, 47 : 1 = 47.
2.Comomultiplicarpor10signi?ca agregarun0alotrofactor,dividir entre 10 un número terminado en 0 se reduce a eliminar ese 0 en el dividendo. Así, 5.070 : 10 = 507 (después veremos su signi?cado en el caso de los decimales).
3.Comolosproductosdelatablade multiplicar por 2 son el doble de los correspondientes de la tabla del 1, dividir entre 2 significa obtener la mitad del dividendo. Así,436 : 2eslamitadde436.La mitad de 400 es 200, la de 30 es 15, y la de 6 es 3. De donde: 436 : 2 = 200 + 15 + 3 = 218.
4.Los productos de la tabla de mul- tiplicar por 4 son el doble de los correspondientes de la tabla del 2. Por consiguiente, dividir entre 4 significa obtener dos veces consecutivaslamitadapartirdel dividendo. Así, 812 : 4 pasa por obtener la mitad de 812 –que es 406– y obtener ahora la mitad de este último número, con lo que se llega a 203. 5.Comolosproductosdelatabladel 8 son el doble de los correspon- dientes de la tabla de multiplicar por 4, dividir entre 8 significa obtener tres veces consecutivas la mitad a partir del dividendo. Así, 1.024 : 8 pasa por obtener la mitad de 1.024 –que es 512–, la mitad de 512 –que es 256–, y la mitaddeesteúltimonúmero,que es 128.
6.Losproductosdelatabladel5son la mitad de los correspondientes delatabladel10.Porconsiguien- te, dividir entre 5 un número aca- bado en 0 equivale a eliminar ese 0 en el dividendo y luego obtener el doble de este último número. Así, 630 : 5 equivale al doble de 63, que es 126.
De las consideraciones anteriores podemos inferir otras, de interés para el cálculo mental de multiplicaciones y divisiones:
1. Para multiplicar por otras po- tencias de 2 (16, 32, 64, etc.), bastaobtenerreiteradamente“el doble de” a partir del otro factor tantas veces como lo indique el exponente de la potencia de 2. Así, será 4 veces para el factor 16 (24), 5 veces para el factor 32 (25),etc.Portanto,23 x 32 = 736
12 (secuenciade5doblesapartirde 23: 46 92 184 368 736).
2. De manera inversa se procede paraladivisiónentrepotenciasde 2: ahora la secuencia será de “la mitad de” a partir del dividendo, tantas veces como lo indique el exponente de la potencia de 2. Así, 2.032 : 16 = 127 (ya que 16 = 24;partiendode1.016sesigue una secuencia de 4 mitades: 1.016 508 254 127). 3. Como 25 = 100/4, multiplicar un númeropor25equivaleaagregar- le dos ceros y obtener dos veces lamitadapartirdeesteresultado. Así, 25 x 18 = (100/4) x 18 = 1.800 : 4,quellevaalasecuencia de dos mitades: 900 450.De un modo análogo seprocede con elfactor125(125=1.000/8);así, 28 x 125 = 28.000 : 8, que lleva a la secuencia de tres mitades: 14.000 7.000 3.500.
4. De manera inversa se procede para la división entre potencias de5(25,125,625,etc.).Así,divi- dir un número entre 25 equivale a dividirlo entre 100 (eliminar dos ceros a la derecha) y luego multiplicarlo por 4 (operar dos veces “el doble de”). Así, 6.500 : 25 = 6.500 : (100/4) = 65 x 4, quellevaalasecuenciadedobles 130 260.
En el caso en que el divisor no esté formado exclusivamente por potencias de2yde5,sinoquepuedadisociarseen estosyotrosfactores,ladivisiónpuedeir transformándoseensucesivasdivisiones entrecadaunodeesosfactores.Así,para dividir 732 entre 12, como 12 = 2 x 2 x 3,podemosestablecerunasecuenciade divisionesequivalentesalaprimera:732 : 12 366 : 6 183 : 3 = 61. Esta secuencia puede llevarse men- talmente de esta manera: 732 entre 2 es su mitad, 366; 366 entre 2 es su mitad,183;y183 entre 3eslatercera parte de 180 (que es 60) y de 3 (que es 1), es decir, 61. Lo que se busca es hacer más “ligeras” las cantidades que se dividen… Pero en algunas oportunidades puede resultar útil el proceso inverso, es decir, multiplicar adecuadamente dividendoydivisorparafacilitarladivi- sión. Así, por ejemplo, para dividir 73,5 entre 1,5 podemos multiplicar ambas cantidades por 2 y pasar a la división equivalente de 147 entre 3, más sen- cilla de resolver.
Otra propiedad que también es útil para el cálculo mental de las divisiones es la de la distributividad con respecto a la adición y a la sustracción. Es decir, al dividir una suma entre un número se obtiene el mismo resultado que si se suman los cocientes de cada sumando entre ese número. Y de manera análo- ga para la resta. Así, por ejemplo, (60 + 30) : 15 = 60 : 15 + 30 : 15 = 4 + 2 = 6 (que es el resultado de 90 : 15). Y también, (56 – 24) : 8 = 56 : 8 – 24 : 8 = 7 – 3 = 4.
Con referencia a la propiedad ante- rior, conviene no confundirla con una falsa distributividad. Es decir, la suma o la resta deben ?gurar en el dividendo, no en el divisor. Porque, por ejemplo, 60 : (15 + 5) es igual a 60 : 20, cuyo resultadoes3.Perolaaplicacióndeesta falsa distributividad nos llevaría a 60 : 15 + 60 : 5 = 4 + 12 = 16, resultado erróneo. Finalmente, también podemos destacar otras regularidades que se presentancuandoseproducenalgunas transformaciones en las cantidades de los cuatro términos que intervienen en la división. Con el ?n de detectar tales regularidades, intente resolver los ejercicios que se proponen a con- tinuación. Luego podemos comparar sus respuestas con las que se exponen posteriormente.
13 a) ¿Qué le ocurre al cociente en una divi- sión exacta si: 1. el dividendo se multiplica por 7 y el divisor permanece igual? 2. el dividendo se divide entre 3 y el divisor permanece igual? 3. el dividendo permanece igual y el divisor se multiplica por 5? 4. el dividendo permanece igual y el divisor se divide entre 3? 5. el dividendo se multiplica por 3 y el divisor se divide entre 2? 6. el dividendo se multiplica por 6 y el divisor se multiplica por 3? 7. el dividendo se divide entre 2 y el divisor se divide entre 8? 8. el dividendo se divide entre 3 y el divisor se multiplica por 5? 9. se agrega al dividendo una cantidad igual al divisor? 10. se le resta al dividendo una cantidad igual al divisor? 11. el cociente y el divisor intercambian sus funciones?
b) ¿Qué modi?caciones simultáneas pue- den hacerse a las cantidades del dividendo y del divisor de una división exacta para que el cociente: 1. permanezca igual? 2. se duplique? 3. se reduzca a su tercera parte? c) ¿Qué le puede haber ocurrido al divi- dendo de una división exacta si: 1. el divisor ha permanecido igual y el cociente se ha reducido a su mitad? 2. el divisor ha permanecido igual y el cociente se ha triplicado? 3.eldivisorsehaduplicadoyelcociente se ha cuadruplicado? 4.el divisor se ha reducido a su mitad y el cociente se ha sextuplicado? 5.eldivisorsehaduplicadoyelcociente se ha reducido a su mitad? 6.eldivisoryelcocientesehanreducido a su mitad?
d) ¿Qué le puede haber ocurrido al divisor de una división exacta si: 1.eldividendohapermanecidoigualyel cociente se ha reducido a su mitad? 2. el dividendo ha permanecido igual y el cociente se ha triplicado? 3.el dividendo se ha cuadruplicado y el cociente se ha duplicado? 4.el dividendo se ha reducido a su sexta parte y el cociente se ha duplicado? 5. el dividendo se ha duplicado y el cociente se ha reducido a su mitad? 6. el dividendo y el cociente se han reducido a su tercera parte?
e) Si en una división inexacta el dividendo seduplica yeldivisorpermanece igual,¿qué le ocurre al cociente? ¿Y al residuo? He aquí,brevemente,las respuestas: a) 1. Se multiplica por 7; 2. se divide entre 3;3.se divide entre 5;4.se multiplica por 3; 5.se multiplica por 6;6.se multiplica por 2; 7.se multiplica por 4;8. se divide entre 15; 9. aumenta en 1 unidad; 10. disminuye en 1 unidad;11.es el anterior divisor.
b) 1. Multiplicar o dividir ambos por la misma cantidad simultáneamente; 2. que el divisor se multiplique por a (a > 0) y el dividendo por el doble de a, o que el dividendo permanezca igual y el divisor se reduzca a su mitad, o que el dividendo se divida entre a y el divisor entre el doble de a;3.que el dividendo se multiplique por a y el divisor por el triple de a,o que el divisor permanezca igual y el dividendo se reduzca a su tercera parte,o que el divisor se divida entre a y el dividendo entre el triple de a.
c) 1. Se ha dividido entre 2; 2. se ha multi- plicado por 3;3.se ha multiplicado por 8;4. se ha multiplicado por 3;5.ha permanecido igual;6.se ha dividido entre 4.
d) 1.Se ha multiplicado por 2;2.se ha divi- dido entre 3;3.se ha multiplicado por 2;4. se ha divididoentre 12;5.se ha multiplicado por 4;6.ha permanecido igual.
e) Resuelva varios casos y formule la con- clusión pertinente…
14 Vamos a propiciar el desarrollo de nuestras destrezas con la división. Para ello, resuelva mentalmente los siguien- tes ejercicios: 170 :5 356 :4 38.000 :100 432 :24 315 :15 6.010 :10 484 :2 606 :6 120.120 :120 792 :8 162 :18 864 :8 272 :16 3.500 :25 216 :18 1.010 :5 49.049 :7 12.423 :123 294 :3 Si 12.193 : 137 = 89, ¿cuál será el cociente de 24.386 :137? Si 12.040 : 56 = 215, ¿cuál será el cociente de 6.020 :14? Si 4.608 : 64 = 72, ¿cuál será el co- ciente de 1.536 :128?
3. La división en el sistema de numeración decimal Hasta ahora se han resuelto algunos ejercicios de división sobre la base del conocimientodelastablasdemultiplicar ydelautilizacióndelasregularidadesde laoperación.Peronotodaslasdivisiones puedenrealizarseconsolturaporestavía. Bastacontenergrandescantidades,ode- cimales,eneldividendoyeneldivisor.En estoscasos,procedemosbasándonosen las mismas tablas y en las potencialida- des del sistema de numeración decimal. Distinguimos dos casos: el de la división entera y el de la división con decimales. División entera (exacta y no exacta) Supongamos que tenemos que re- solver la división 41.507 : 18. ¿Cómo llegar a construir y explicar el algorit- mo habitual para esta división (u otra cualquiera)? Una vía sencilla es la que habitualmente hemos propuesto con materiales concretos: los billetes de denominación decimal.
En primer lugar, debemos “romper” el dividendo: 4 billetes de 10.000 (decenas de mil), 1 de 1.000 (unidades de mil), 5 de 100 (centenas) y 7 de 1 (unidades).
Intentemos ahora “repartir” estas cantidades entre 18 sujetos, con la ayudadenuestrodesinteresadobanco… Evidentemente,aningunodelos18su- jetos le “toca” un billete de 10.000, pues sólo hay 4 pararepartir. Vamos al banco y cambiamos los 4 de 10.000 por 40 de mil que, unidos al que se tenía, nos da 41 billetes de mil.
Ahora sí hay billetes que repartir; y ya sabemos algo de inmediato: el co- cienteestáenelordendelasunidades de mil.
En el reparto podemos dar 2 rondas completas (36 billetes repartidos) y nos sobran 5 billetes de mil.
15 Enelbancoloscambiamospor50de cien que, unidos a los 5 que se tenían, nos da 55 billetes de cien.
Ahora podemos dar 3 rondas com- pletas(54billetesrepartidos)ynossobra 1 billete de cien. En el banco lo cambiamos por 10 de diez. No teníamos billetes de diez, de modo que intentamos repartir los 10 entre los 18 sujetos; misión imposible: nadie recibe un billete de diez. En el banco los cambiamos por 100 deunoque,unidosalos7quesetenían, nos da 107 billetes de uno.
Finalmente podemos dar 5 rondas completas (90 billetes repartidos) y nos sobran 17 billetes de uno. El cociente de la división está en las manos de cada uno de los 18 sujetos bene?ciados con el reparto: 2 billetes de mil, 3 de cien, ninguno de diez y 5 de uno; es decir, 2.305. Y el residuo es 17. Como puede verse al proceder por esta vía del reparto (restas sucesivas), en principio no es necesario saber multiplicar para poder dividir. ¿Cuál es, pues, la utilidad del uso de las tablas de multiplicar? Abreviar el proceso de reparto. Por ejemplo, al repartir los 55 billetesdecien,elprocesoseacortasise sabeque18 x 3 = 54:nosonnecesarias las rondas y de una vez se conoce que a cada sujeto le corresponden 3 de tales billetes y que queda uno de sobra.
Apartirdeestasconsideracioneses posible construir y –sobre todo– enten- der el algoritmo habitual de la división. En una primera instancia, puede pro- cederse a escribir los sustraendos que progresivamentesevanrestandodeldi- videndo;escrituraque,posteriormente, puede desaparecer para dar paso a los correspondientes cálculos mentales:
41507 18 41507 18 2305 – 36 55 – 54 55 2305 107 17 10 – 0 107 – 90 17
Obsérvese que cuando el divisor es > 10, se presenta el problema de deter- minar cada cifra del cociente. Para sol-
16 ventarestasituación,puedeconstruirse previamente la tabla de multiplicar del divisor (18 x 1 = 18; 18 x 2 = 36; … 18 x 9 = 162) y tenerla a la vista mientras se divide (Vergnaud, 1991), o bien proceder a estimar esas cifras y a precisarlas mediante un ejercicio de ensayo y ajuste, como habitualmente solemos hacer.
Este algoritmo es el más complejo de los correspondientes a las cuatro operaciones aritméticas básicas. Por eso presentamayores di?cultadespara su aprendizaje. Razón de más para exi- gir su comprensión además del mero dominio mecánico. Por eso insistimos en que el recurso a los elementos concretos –reparto con los billetes de denominación decimal, proceso me- diante el cual todos los números que van apareciendo en el desarrollo del algoritmo tienen su propio signi?cado, empezando por la lectura del dividen- do– debe estar siempre a la mano para dotar de signi?cado al ejercicio de la división cada vez que el aprendiz ex- perimentedi?cultadesocometaerrores en su desarrollo.
División con decimales Enesteapartadopuedenpresentarse diversas situaciones, talescomo: 315,2 : 12; 126 : 35,04; 17 : 24; 33,2 : 156; 6,15 : 18,45;0,14 : 0,049;0,03 : 0,152; etc.Esdecir,puedehaberdecimalesen el dividendo, en el divisor, en ambos, o en ninguno; y simultáneamente, el divisor puede ser menor o mayor que el dividendo y, además, < 1 ó > 1.
Paraclari?carestacomplejidadtene- mosquetrabajarprimeroconladivisión de las diversas unidades –enteras y decimales– del sistema de numeración decimal.Así,porejemplo,¿quésigni?ca el cociente de 0,1 : 100? Puede enten- derse como “la centésima parte de una décima”(1milésima).Yelde1.000 : 10 como“ladécimapartedeunaunidadde
Caso mil”(1centena),asícomoel“númerode veces que 10 está contenido en 1.000” (100). También el de 100 : 0,01 puede interpretarse análogamente. Pero el cociente de una división como 0,001 : 0,1 puede verse además como “la parte decimal del divisor que está contenida en el dividendo” (1 centésima).
Existe, pues, una variedad de inter- pretaciones para los casos de divisio- nes entre las unidades del sistema de numeración decimal, que podríamos resumir así:
Situación Caso División 1 2 3 4
Cociente El dividendo es mayor que el divisor y éste es > 1 El dividendo es mayor que el divisor y éste es < 1 El dividendo es menor que el divisor y éste es > 1 El dividendo es menor que el divisor y éste es < 1
Veamos algunos ejemplos de inter- pretación de estas situaciones:
Interpretación de la división 1
2
3
4 1.000 :100
100 :0,1
10 :1.000
0,001 :0,01 10
1.000
0,01
0,1 1.000 contiene 10 veces a 100 100 es la décima parte de mil 100 contiene 1.000 veces a 0,1 0,1 es la milésima parte de 100 10 es la centésima parte de 1.000 sólo la centésima parte de 1.000 está contenida en 10 0,001 es la décima parte de 0,01 sólo la décima parte de 0,01 está contenida en 0,001
17 Interprete las divisiones siguientes: 1.000 :10 100 :10 1 :100 0,1 :10 0,01 :100 1 :0,01 1.000 :0,1 100 :0,01 10 :0,001 0,1 :0,001 0,01 :0,001 0,001 :0,1 0,01 :0,1
También resulta de mucho interés establecer una equivalencia entre la “multi- plicación por” y la “división entre”, como se ilustra en la siguiente tabla: Todas estas observaciones nos per- miten responder a preguntas como las siguientes (intente resolverlas antes de revisar las respuestas):
a) ¿En qué caso el cociente es me- nor que el dividendo? ¿Y cuándo es mayor? b)Sedivideunnúmeropor0,2.¿Cuántas veces contiene el cociente al dividendo? c)¿Cuáleseldivisorcuandoelcocien- te contiene al dividendo 4 veces? Ejemplos Dividir Multiplicar entre por 1.000 100 1.000 0,001 0,01 0,001 35 :1.000 86,5 :100 0,2 :1.000 35 x 0,001 86,5 x 0,01 0,2 x 0,001 35 (con 3 decimales) = 0,035 865 (con 3 decimales) = 0,865 2 (con 4 decimales) = 0,0002 10 100 0,01 0,001 0,1 0,01 100 1.000 2,3 :10 3,39 :100 64 :0,01 0,079 :0,001 2,3 x 0,1 23 (con 2 decimales) = 0,23 3,39 x 0,01 339 (con 4 decimales) = 0,0339 64 x 100 6.400 0,079 x 1.000 = 79 0,1 0,001 0,01 10 1.000 100 0,0041 :0,1 0,35 :0,001 0,01 :0,01 0,0041 x 10 0,35 x 1.000 0,01 x 100 = 0,041 = 350 = 1 cuyas respuestas son: a) Si el divisor es >1 ó 1 y el otro < 1 29. 1 = (4/4)4 – 4; 3 = 4 – 44 – 4; 5= 4 + 44 – 4; 7 = 4 + 4 – 4/4 = 44/4 – 4; 9 = 4 + 4 + 4/4 30. 150 saltos 31. Jugador que pierde la 1ª jugada: 65; jugador que pierde la 2ª jugada: 35; jugador que pierde la 3ª jugada:20 32.21 33.109;restoa9.307 el producto de 63 x 146
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