5 introducción… …y para desperezarnos un poco, ahí van unas cuestiones sencillas para en- trar en materia y en calor. Tratemos de resolverlas antes de seguir adelante.
1. Un reloj adelanta 16 segundos durante el día y retrasa 10 segundos en la noche. Al empezar la ma- ñanadel1ºdeabrilsepone en la hora exacta.¿Cuál es minutos de adelanto?
2.¿Cuál es el mayor número menor que 100talque,aldividirseentre23,produce un resto igual al cociente?
¿Cuál es el valor de 0,1 :0,001?
3. Pedro tiene 43,75 pesos entre monedas de 0,25;0,50;1;2 y 5 pesos. Sitieneelmismonúmerodemonedas de cada tipo,¿cuántas monedas tiene en total? La diferencia de dos números natu- rales es 940 y el cociente exacto del mayor entre el menor es 11.¿De qué números se trata?
4. Complete las casillas del siguiente cuadro: + x x
+ + 5 :
– = 9
= 7 : : – + : = 1 = 2 =4 = 3 5. Rafael tiene 40 años y la suma de las edades de sus tres hijos es 22 años. ¿Dentro de cuántos años la edad de Ra- fael será igual a la suma de las edades de sus tres hijos?
6. ¿Cuál es el menor número impar mayor que 1 tal que, al dividirse por 7 ó por 5,da como resto 1? 7. Se reparten 134 libros en seis cajas A,B,C,D,E y F. En cada caja y siguiendo elordenanterior,sevacolocandounlibro cada vez. ¿En qué caja se depositará el último libro? La suma de dos números enteros es 168; al dividirse el mayor entre el menor se obtiene 7 como cociente y 16 como residuo. ¿Cuáles son los números?
8.Undesagüevacíaundepósitode1m3 arazónde20litrosporminuto.¿Cuántos desagües iguales al anterior se necesitan para vaciarlo en 10 minutos? el primer día en que llegará a tener 3
6 9.Dadalasiguientedisposiciónnumé- rica bajo las columnasA,B,C,D y E: E 5
13 A
6
14 B C D 2 3 4 7 8 9 10 11 12 15 16 17 18…………….
Averiguar en qué columna se hallará el número 641.
10. Diariamente llegan al aeropuerto un promedio de 6.480 pasajeros. Cada avión trae 90 pasajeros. ¿Cuál es el promedio de aviones que aterrizan cada hora en el aeropuerto?
Se ha dividido un número entre 5. ¿Cuántas veces el dividendo contiene al cociente?
¿Cuál es el divisor cuando el cociente contiene al dividendo 4 veces?
Bien, ya tenemos nuestras respues- tas, que iremos contrastando con las indicacionesyejerciciosqueplanteare- mos a lo largo de las líneas que siguen.
Y un segundo recordatorio: Lasugerenciaqueproponíamosenel Cuaderno Nº 1 y que siempre presidirá los demás Cuadernos: vamos a estudiar matemática, pero no lo vamos a hacer como si fuéramos simplemente unos alumnos que posteriormente van a ser evaluados,yya.No.Nosotrossomosdo- centes –docentes de matemática en su momento–yesterasgodebecaracterizar laformadeconstruirnuestropensamien- to matemático. ¿Qué signi?ca esto? • La presencia constante de la meta última de nuestro estudio: alcan- zar unos niveles de conocimiento tecnológico y reflexivo, lo cual debe abrir ese estudio hacia la búsqueda de aplicaciones de lo aprendido, hacia el análisis de los sistemas que dan forma a nuestra vida y utilizan ese conocimiento matemático, y hacia criterios so- ciales y éticos para juzgarlos.
• Construirelconocerdecadatópico matemático pensando en cómo lo enseñamos en el aula, además de re?exionaracercadecómonuestro conocer limita y condiciona nues- trotrabajodocente.Deestaforma, integrar nuestra práctica docente en nuestro estudio.
• Comocomplementodeloanterior, construirelconocerdecadatópico matemático pensando en cómo lo podemos llevar al aula. Para ello, tomar conciencia del proceso que seguimos para su construcción, paso a paso, así como de los ele- mentos–cognitivos,actitudinales, emocionales…– que se presenten en dicho proceso. Porque a partir deestaexperienciare?exivacomo estudiantes, podremos entender y evaluar mejor el desempeño de nuestrosalumnos–asunivel–ante los mismos temas. • Ende?nitiva,entenderquelamate- máticaeslabasedesudidáctica:la forma en que se construye el cono- cimientomatemáticoesunafuente imprescindiblealahoradeplani?car y desarrollar su enseñanza.
Yahora,vamosaltemadeesteCua- derno, la división.
1. ¿Qué es la división de números naturales? De entrada, nos encontramos con unadiferenciasustancialconrespectoa lastresoperacionesanteriores:adición, sustracción y multiplicación. En esos tres casos se trata de una operación aritmética según la cual a cada par de números naturales se le hace corres- ponder otro número natural: su suma, su diferencia (si el primer número del par no es menor que el segundo) o su producto, respectivamente.
En el caso de la división de números naturales, no siempre a cada par de nú- meros (dividendo y divisor) se le puede
7 hacer corresponder un solo número natural (cociente): esto sólo ocurre en la división exacta. En el caso más general, selesuelehacercorresponderotroparde números: el cociente y el residuo o resto de la división (Maza, 1991; Vergnaud, 1991). Así, por ejemplo, al par (38, 7) se le hace corresponder el par (5, 3); al par (41, 2), el par (20, 1); al par (15, 23), el par(0,15);etc.Obsérvesequeestaforma general incluye el caso de las divisiones exactas, de residuo 0: al par (24, 6) se le hace corresponder el par (4, 0).
Pero –aun con esta salvedad– la an- teriorsiguesiendounamanera“formal” de decir las cosas que no nos aclara mucho, ya que debemos precisar cómo esquesedivide,esdecir,cómosellega al par
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