Diferenciabilidad de funciones de varias variables

ALEPH SUB – CERO SERIE DE DIVULGACIÓN ?0 2010 – II ?0 pp. 22 – 44

DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Ejercicios ilustrativos Carlos Enrique Núñez Rincón1

Algunos trucos del cálculo son bastante fáciles, otros son muy difíciles. Los tontos que escriben los libros de matemáticas avanzadas pocas veces se toman la molestia de mostrar cuán fácil son los cálculos fáciles. Silvanus P. Thompson – Calculus Made Easy, Macmillan 1910.

Resumen: En el presente artículo se hace una exposición de un conjunto de ejercicios vinculados con la diferenciabilidad de funciones de varias variables, tema que se desarrolla en la asignatura Matemática III del pensum de estudio de las diferentes carreras de ingeniería que configuran la Oferta Académica de la UNET. El propósito es establecer la conceptualización a través de ejemplos y contraejemplos la diferenciabildad de las funciones de varias variables. Para ello, se utilizan funciones de dos variables, ya que es posible mostrar el trazado de su gráfica en el espacio »3. No obstante, estas ideas son extensibles a funciones de más de dos variables. Los ejercicios se desarrollan de manera usual, complementados con el sistema computacional para la matemática avanzada MAPLE 12 para el trazado de la gráfica de las diversas funciones inmersas en la exposición. Esta dirigido al alumno-UNET, así como a todo aquel que esté interesado en el tema.

Palabras claves: función, variable, límite, continuidad, derivada parcial, diferenciabilidad, conjunto cerrado, conjunto compacto, conjunto no acotado, condición del residuo, función ampliada por continuidad, conjunto denso, derivada direccional, teorema, función clase C1, Teorema de Schwarz, función clase C2. 1 El autor del artículo es Licenciado en Matemática, egresado de la Universidad de los Andes – ULA-Venezuela. Asimismo, es Magister y Doctor en Ciencias. Actualmente es Profesor en la Categoría de Titular, adscrito al Departamento de Matemática y Física de la Universidad Nacional Experimental del Táchira-UNET, Táchira-Venezuela. [email protected]

Diferenciabilidad de funciones de varias variables Ejercicios ilustrativos

Abstract: In the present paper is made an exposition of a set of exercises linked to the differentiability of functions of several variables, topic that takes place in the curse of Mathematics III of the various engineering degree programs that comprise the Academic Offer of the UNET. The purpose is to establish the conceptualization of the functions of several variables through examples and counterexamples. This is done using functions of two variables given that it is possible to display its graphical layout in the »3 space. However, these ideas are extended to functions of more than two variables. The exercises are conducted in the usual way, supplemented by the computer system for advanced mathematics MAPLE 12 for plotting the graph of the various functions embedded in the exposition. The paper is aimed to the UNET students, and anyone who is interested in the topic.

Key word: function, variable, limit, continuity, partial derivatives, differentiability, closed set, compact set, unbounded set, condition of the residue, expanded function for continuity, dense set, directional derivative, theorem, function class C1, Schwarz Theorem, function class C2.

Ejercicio 1. Dada la función f :U ? »2 ?», definida por

? x – y ? ,si 2x +3y ? 0 f (x,y) = ?2x +3y ?0, si 2x +3y =0 ? i) ii) Estudiar su continuidad. Consideremos el conjunto D conformado por los puntos de iii)

iv) discontinuidad. Determinar: si D es cerrado y si D es compacto. Determinar si las derivadas parciales de primer orden están definidas en el punto (0,0). En concordancia con la respuesta del apartado iii, establecer si f es diferenciable en (0,0). Solución.

i) Es claro que la función es discontinua en todos los puntos de la recta 2x +3y =0,

(ver figura 1):

2

esto es P =?x0,- x0? y estudiemos (x,y)?? ?x0,- x0 ? ?2x+3y Carlos Enrique Núñez Rincón Figura 1

En primer lugar consideremos el punto (0,0), para ello tomemos los caminos a (x,0) y través de las rectas y = 0, y x = 0, donde los puntos son de la forma

(0,y)respectivamente, luego 1 2 x lím x?0 2x = 1 3 -y y lím y?0 3y =- x- y por lo tanto, el lím (x,y)?(0,0)2x +3y no existe, entonces f no es continua en (0,0). En segundo lugar, consideremos los puntos de la recta 2x +3y =0 diferentes de (0,0), ? 2 ? ? 3 ? 2 lím ? 3 ? x- y , para ello tomemos el camino x = x0 donde los puntos son de la forma (x0,y), (ver figura 2),

luego

3

x0 – y y?- x0 2×0 +3y ? ? = ? ?-8,si y < -2 x ?? 3 (x0 0 y ) =lím 0 ?f f (x0 + h,y0)- f (x0,y0) ?x h f (0+ h,0)- f (0,0) ?-8,si h < 0 -0 =lím 2h =lím 2 = ? (0,0) =lím 0 ?x h h h ?+8,si h >o (x0 0 y ) =lím 0 Diferenciabilidad de funciones de varias variables Ejercicios ilustrativos 4 lím 2 3 ? 2 +8,si y > – x0 3

0 consideremos un punto cualquiera (a,b)?D, d((a,b),D) = r donde r?»+, entonces el disco abierto B((a,b),r)? DC , por lo tanto DC es abierto, luego D es

cerrado. Por otra parte, D no es compacto ya que no está acotado. iii) Determinamos las derivadas parciales de primer orden en el punto (0,0): , h? fx(x0,y0) = h 1 h? h?0 h?0 ?f = , h? f (x0,y0 + h)- f (x0,y0) h fy(x0,y0) = ?f ?y P

Figura 2

por lo tanto, este límite no existe, entonces f no es continua a los largo de la recta

2x +3y =0. Nótese que f presenta una discontinuidad esencial.

ii) De i, se tiene que D ={(x,y)?»2 /2x +3y = 0} x = x0 2x+3y = 0

f ( ) ( ) ?-8,si h > 0 0,0+ h – f 0,0 – -0 – =lím 3h =lím 3 = ? (0,0) =lím 0 ?y h h h ?+8,si h < o Carlos Enrique Núñez Rincón h 1 h? h?0 h?0 ?f = ? es claro que estos límites no existen, por lo tanto las derivadas parciales de primer orden en el punto (0,0) no están definidas.

iv) No, puesto que la existencia de las derivadas parciales de primer orden, es decir

que f sea derivable, es una condición necesaria para precisar si una función de dos

o más variables es diferenciable en un punto. Sin embargo, que sea derivable no es

condición suficiente para garantizar que sea diferenciable. Veamos el ejercicio 2.

Ejercicio 2. Sea la función f :U ? »2 ?», definida por

?x2 + 2y,si(x,y) ?(1,2) f (x,y) = ? ??0, si(x,y) =(1,2)

Determinar que f es derivable en el punto (1,2), pero no diferenciable. Solución. f es derivable ?f ?x (1,2) = 2 y (1,2) = 2 ?f ?y sin embargo, no es diferenciable, puesto que no es continua, (ver figura 3), ya que ) 2 (x lím (x,y)?(1,2 + 2y) =5? 0 = f (1,2). Figura 3

5

? ? lím?lím ? =lím x2 + y2 ? ? y?0? x?0 ? 1+ m x 6 Diferenciabilidad de funciones de varias variables Ejercicios ilustrativos

Recordemos que toda función diferenciable es continua. Pero, no toda función

continua es diferenciable. Veamos el ejercicio 3.

Ejercicio 3. Dada la función f :U ? »2 ?», definida por

? xy x,y ? 0,0 2 2 ?0, si(x,y) =(0,0) ? i) ii) iii) Determinar que es continua en el punto (0,0). Establecer que es derivable en el punto (0,0). Evidenciar que no es diferenciable en el punto (0,0). Solución. i) f es continua en (0,0), puesto que, tanto los límites iterados como los direccionales existen y son iguales; además f está definida en (0,0), (ver figura 4),

esto es

xy 0 x?0 xy 0 y?0 y =lím0 = 0 = f (0,0) y?0 consideremos la familia o haz de rectas y = mx (m?»), de vértice (0,0) 2 mx2 lím (x,y)?(0,0) y=mx = ? =lím x?0 =lím x?0 x = 0 = f (0,0) xy x2 + y2 m 1+ m2

(0,0) =lím 0 ?x h h (0,0) =lím 0 ?y h h h1 2 2 + h r(h1,h2) (h1 2)?(0,0) (h ,h ) h1 2 2 + h h1 2 h1 2 h lím = ? = lím (h1 2)?(0,0)h + h ,h h1?0 2h Carlos Enrique Núñez Rincón 7 h(0)

(0)h -0

-0 Figura 4 ii) f es derivable en (0,0), puesto que

?f f (0+ h,0)- f (0,0) h h? h?0

?f f (0,0+ h)- f (0,0) h h? h?0 =lím

=lím = 0

= 0 iii) Para evidenciar que no es diferenciable, utilizamos la condición del residuo f (x0 + h1,y0 + h2) = f (x0,y0)+ fx(x0,y0)h1 + fy(x0,y0)h2 + r(h1,h2)

f (0+ h1,0+ h2) = f (0,0)+ fx(0,0)h1 + fy(0,0)h2 + r(h1,h2) h1h2 2 r(h1,h2) = f (h1,h2) = donde 1 2 h1h2 lím ,h h1=h2 2 2 2 1 2 1 lím (h1,h2)?(0,0) h1 2 + h2 2 = = 1 = ? 0 2

f ( ) ( )( ) sen x,y = x +1 y -2 8 Diferenciabilidad de funciones de varias variables Ejercicios ilustrativos

por tanto f no es diferenciable.

Observamos que la condición del residuo (es uno de los procedimientos), establece

si una función de dos o más variables es, o no, diferenciable en un punto. Veamos

el ejercicio 4. Ejercicio 4.

Dada la función f :U ? »2 ?», definida por 2 2 cos 1 y -2 1 (x +1) i)

ii)

iii) Determinar si la discontinuidad que presenta f es evitable o esencial. Si es evitable, ampliar a f por continuidad a todo »2. En concordancia con la respuesta del apartado i, establecer si la función ampliada por continuidad presenta derivadas direccionales en todas las direcciones. Asimismo, estudiar su diferenciabilidad en el punto (-1,2). Solución.

i) f es continua en todo »2, por ser el producto de funciones continuas, excepto a lo largo de las rectas x = -1 y y = 2 (ver figuras 5 y 6), ya que Figura 5 Figura 6

Carlos Enrique Núñez Rincón

f no está definida en los puntos de la forma (-1,y0) y (x0,2), no obstante que 2 2 2 2 sen cos sen cos lím (x,y)?(-1,y0) lím (x,y)?(x0,2) (x +1)(y -2) =0 1 y -2 1 (x +1) (x +1)(y -2) = 0 1 y -2 1 (x +1) en particular 2 2 sen cos lím (x,y)?(-1,2) (x +1)(y -2) = 0 1 y -2 1 (x +1) puesto que, estos límites existen y el dominio de f es denso en »2, f presenta una discontinuidad evitable, por lo tanto admite una única ampliación continua en »2 (ver figura 7), esto es

? 2 1 1 2 x,y ?0, si x = -1 y y = 2 ? Figura 7

ii) g tiene derivadas en todas las direcciones:

derivadas parciales de primer orden

9

)- g(-1,y = 0, ?y (-1,y0) =lím 0 ?x h (x0,2) =lím 0 ?y h (tcos?)(t2sen2?)sen t cos2? tsen? =lím(cos?)(t2sen2?)sen cos t cos ? tsen? cos h1 2 h r(h1,h2) (h1 2)?(0,0) (h ,h ) h1 2 2sen h cos h1 2 h h1 2 2 + h h1 2 2 + h Diferenciabilidad de funciones de varias variables Ejercicios ilustrativos 10 0 h? ?g g(-1+ h,y0 0) h? ?g g(x0, 2+ h)- g(x0, 2) = 0, ?x0 para determinar las derivadas direccionales consideremos el vector unitario u = cos?,sen? g(x0 +tcos?,y0 +tsen?)- g(x0,y0) t g(-1+tcos?, 2+tsen?)- g(-1, 2) t Dug(x0,y0) =lím t?0

Dug(-1,2) =lím t?0 2 1 1 cos t -0 =lím t?0 1 1 2 2 t?0 = 0, puesto que sen2?cos? =1 g es diferenciable en el punto (-1,2)

g(x0 + h1,y0 + h2) = g(x0,y0)+ gx(x0,y0)h1 + gy(x0,y0)h2 + r(h1,h2) 1 1 2 r(h1,h2) = g(-1+ h1,2+ h2) = h1h2sen donde 2 1 2 1 1 2 h1h2 2 lím ,h lím (h1,h2)?(0,0) lím (h1,h2)?(0,0) = =

límh1 2 = 0 =lím a t +b t t t ab ab2 ?0,si a = 0ób = 0 =lím 2 4 2 = ? 2 ( ) t?0 a +b t ?b /a,si a ? 0 t?0 t a2 +b t2 Carlos Enrique Núñez Rincón h1 h1 2 2 h1 1 2 h1?0 h1=h2 = ? = lím h1?0 = De acuerdo al resultado anterior, cabe preguntarse: ¿para que una función sea

diferenciable es necesario tener derivadas direccionales en todas las direcciones?

La respuesta es no. Es decir, la existencia de las derivadas direccionales, en todas las direcciones dadas por un vector unitario u = a,b , no garantiza que una

función sea diferenciable. Veamos el ejercicio 5.

Ejercicio 5. Sea la función f :U ? »2 ?», definida por

? xy2 ? ?0, si(x,y) =(0,0) ? i)

ii) Determinar las derivadas direccionales en el punto (0,0)en la dirección del vector unitario u = a,b . Determinar si f es diferenciable en el punto (0,0). Solución.

i) f (0+ at,0+bt)- f (0,0) t Du f (0,0) =lím t?0 3 2

3 4 (at)(b2t2) 2 2 4 4 t?0 -0 =lím por lo tanto, f tiene derivadas direccionales en todas las direcciones.

ii) Sin embargo f no es diferenciable, ya que no es continua (ver figura 8), puesto

que

11

(0,0) =lím 0 ?x h h Diferenciabilidad de funciones de varias variables Ejercicios ilustrativos 12 2 xy2 lím (x,y)?(0,0) x2 + y4 ?0, si y = 0 = ? ?1/2,si x = y no existe. Figura 8

Ejercicio 6. Dada la función f :U ? »2 ?», definida por

?x – y,si x =0ó y = 0 f (x,y) = ? ?1, si x ? 0 y y ? 0 i)

ii) Determinar que f sólo tiene derivadas direccionales en las direcciones canónicas. Determinar que f no es diferenciable. Solución. En la figura 9, es posible observar el trazado de la grafica de la función i) h? h?0 ?f f (0+ h,0)- f (0,0) h-0 =lím =1 h?0 f (0,0+ h)- f (0,0) h -h-0 h (0,0) =lím =lím h?0 = -1 ?f ?y luego, f es derivable en (0,0).