Diferenciabilidad de funciones de varias variables (página 2)

t t t ?-8,sit < 0 Carlos Enrique Núñez Rincón a,b , por supuesto Figura 9

Sin embargo, en la dirección del vector unitario u =

a ? 0 y b ? 0, tenemos t?0 h?0 f (0+ at,0+bt)- f (0,0) f (at,bt) 1 ?+8,sit > 0 Du f (0,0) =lím t?0 =lím =lím = ? es claro que este límite no existe.

ii) f no es diferenciable, ya que presenta una discontinuidad esencial, puesto que lím (x,y)?(0,0) lím (x,y)?(0,0) y=0 f (x,y) = ? =límx = 0 ? x?0 y=x f (x,y) = ? =lím1=1 x?0 es claro que este límite no existe.

Ejercicio 7. Consideremos la función f :U ? »2 ?», definida por

? xy f (x,y) = ? ?0, si(x,y) =(0,0) ? i)

ii) Determinar las derivadas direccionales en el punto (0,0)en la dirección del vector unitario u = cos?,sen? . Determinar si f es diferenciable en el punto (0,0).

13

=lím t cos ? +t sen ? t Diferenciabilidad de funciones de varias variables Ejercicios ilustrativos Solución.

i) f (0+tcos?,0+tsen?)- f (0,0) t Du f (0,0) =lím t?0 (tcos?)(tsen?) 2 2 2 2 sen? cos? t t?0 -0 =lím t?0 ?0,sisen? cos? = 0 = ? ?no existe,sisen? cos? ? 0 es claro que este límite únicamente existe para los valores de ? = 0,p /2,p,3p /2 y 2p . Por lo tato, las derivadas direccionales sólo están

definidas en las direcciones canónicas, esto es (0,0) = 0 = ?f ?x ?f ?y (0,0). ii) f no es diferenciable, puesto que no es continua (ver figura 10), ya que xy lím (x,y)?(0,0) x2 + y2 ?0, si x = 0 = ? ?1/2,si y = x no existe. Figura 10

En el ejercicio 8, se presenta otro método para establecer si una función de dos

variables es diferenciable.

14

x + y =(x0 02)sen + y + y x0 0 + y )sen ? ? 1 ? r ? Carlos Enrique Núñez Rincón

Ejercicio 8. Dada la función f :U ? »2 ?», definida por

? 2 2 1 f (x,y) = ? x + y ?0, si(x,y) =(0,0) ? i) ii) iii)

iv) Estudiar su continuidad en el plano »2. Determinar su diferenciabilidad en el punto (0,0). Establecer la continuidad de las derivadas parciales de primero orden en el punto (0,0). En concordancia con ii y iii, dar una conclusión acerca del siguiente Teorema: Sea f :U ? »2 ?» una función definida en el conjunto abierto U ? »2. Si las funciones (derivadas parciales) fx :U ? »2 ?» y fy :U ? »2 ? », son continuas en el punto (x0,y0)?U , entonces f es diferenciable en (x0,y0). El teorema establece que si f es una función de clase C1, entonces es diferenciable.

Solución.

i) f es continua en todo »2, (ver figura 11), puesto que: para (x,y) ?(0,0) ) 2 2 2 2 2 2 1 1 (x lím (x,y)?(x0,y0 + y2)sen = f (x0,y0) para (x,y) =(0,0) ) 2 2 (x lím (x,y)?(0,0 x=rcos? = ? =lím?r2sen ? = 0 = f (0,0) y=rsen? r?0 1 x2 + y2 es claro que r ?0 sii(x,y)?(0,0)

15

(0,0) =lím 0 ?x h h2sen ? h? ( ) =lím 0 h2sen ? h? (0,0)h1 2 1 2 h ) (0,0)h + r(h , h1 2 2 + h (h + h2 2)sen h + h 2 1 ? Diferenciabilidad de funciones de varias variables Ejercicios ilustrativos 16 Figura 11

ii) En primer lugar determinamos las derivadas parciales de primer orden en el punto (0,0) 1 h h h? -0 ?f f (0+ h,0)- f (0,0) =lím h?0 ? 1 ? =lím?hsen ? = 0 h?0 0,0 1 h h h? -0 f (0,0+ h)- f (0,0) h =lím h?0 ? 1 ? =lím?hsen ? = 0 h?0 ?f ?y luego f (0+ h1,0+ h2) = f (0,0)+ + ?f ?x ?f ?y 2 1 r(h1,h2) = f (h1,h2) =(h1 2 + h2)sen donde 2 1 2 2 1 2 1 1 2h1 2h1 2sen

2h1 lím (h1,h2)?(0,0) h1=h2 = ? = lím h1?0 = h1 2 + h2 ? lím?h1sen ? = 0 2 h1?0? 2h1 ?1

? cos ,si( ) ( ) x + y x + y x + y ? cos ,si(x,y) ?(0,0) x2 + y x2 + y x2 + y2 17 Carlos Enrique Núñez Rincón

por lo tanto, f es diferenciable en el punto (0,0).

iii) Obtenemos las derivadas parciales de primer orden mediante las fórmulas de

derivación ? 1 x 1 – x,y ? 0,0 2 2 2 2 2 2

1 y 1 – 2 2 ?f ?x

?f ?y ? 2xsen (x,y) = ? ?0,

? 2ysen (x,y) = ? ?0, si(x,y) =(0,0)

si(x,y) =(0,0) ? Es evidente que ?f lím (x,y)?(0,0)?x (x,y) y (x,y) ?f lím (x,y)?(0,0)?y no existen, por lo tanto las derivadas parciales de primer orden (ver figuras 12 y

13), presentan una discontinuidad esencial. Figura 12 Figura 13

x2 -h x2 xh 2 2 2 f (x,0+ h)- f (x,0) – x(0) x + h x = x (x,0) =lím 0 ?y h h Diferenciabilidad de funciones de varias variables Ejercicios ilustrativos

iv) Que el reciproco del teorema no es verídico, es decir: el hecho de que la función

f :U ? »2 ?» sea diferenciable en el punto (x0,y0)?U , no implica que las

derivadas parciales de primer orden de f sean continuas en (x0,y0).

Ejercicio 9. Consideremos la función f :U ? »2 ?», definida por

? x2 – y2 f (x,y) = ? x + y ?0, si(x,y) =(0,0) ? i) ii)

iii) Probar que fy(x,0) = x,?x y fx(0,y) = -y,?y. Probar que para un punto cualquiera (x,y) ?(0,0) se verifica el Teorema de Schwarz, esto es fxy(x,y) = fyx(x,y). Mientras que para (x,y) =(0,0) no se verifica, es decir fxy(0,0) ? fyx(0,0). Mostrar que f es diferenciable (0,0). Solución. En la figura 14, es posible observar el trazado de la gráfica de f i) 2 h? h?0 ?f Figura 14

=lím

18

hy 2 2 2 ?f x y + 4x y3 – y5 = ( x2 + y2) ?x ?f x5 -4x y2 – xy4 = ( ) 2 y ?y x2 + Carlos Enrique Núñez Rincón h?0 f (0+ h,y)- f (0,y) h h2 – y2 -y2 -0(y) h + y y h (0,y) =lím =lím h?0 = -y ?f ?x ii) En primer lugar, obtenemos las derivadas parciales de primer orden (ver figuras 15 y 16), mediante las fórmulas de derivación en un punto cualquiera (x,y) ?(0,0) 4 2 2 y 3 2 Figura 15 Figura 16 ahora, determinamos las derivadas mixtas o cruzadas de segundo orden utilizando

las fórmulas de derivación

4 2

3

es claro que estas funciones están definidas y son continuas en todo punto Es decir, f se comporta como una función clase C2, para todo

19 (x,y) ?(0,0).

(x,y) ?(0,0).

?x5 -4x y2 – xy4 =lím h h ?h h(0+ k,0)-h(0,0) =lím k =1 ( ) = 0,0 0,0) =lím ( ?x k k ? f ?x6 +9x y2 -9x y4 – y6 ? (x,y) = ? (x + y ) ?= 20 Diferenciabilidad de funciones de varias variables Ejercicios ilustrativos

Por otra parte, consideremos las funciones

4 2

2 ?x ?0, si(x,y) =(0,0) h(x,y) = ?f ?y 3 ? 2 ,si(x,y) ?(0,0) (x,y) = ? (x2 + y2) ? ?0, si(x,y) =(0,0) luego h?0 h?0 -h5 4 g(0,0+ h)- g(0,0) h (0,0) = (0,0) =lím = -1 ?2 f ?y?x ?g ?y k5 4 k?0 k?0 ?2 f ?x?y por lo tanto fxy(0,0) ? fyx(0,0).

Otra manera de dar respuesta a la pregunta consiste en considerar las funciones (x,y) 2

?y?x ?2 f ?x?y 4 2 ? 3 ,si(x,y) ?(0,0) ? 2 2 ? ? ?0, si(x,y) =(0,0)? nótese, que estas funciones están definidas en el punto (0,0), no obstante son

discontinuas en (0,0), puesto que el límite cuando (x,y)?(0,0) no existe, (ver

f (0+ h,0)- f (0,0) h(0) 2 -0 ?f (0,0) =lím 0 =lím ?x h h ( ) =lím 0 ?y h h1 2 2 -h h1 2 2 + h h1 2 2 -h h1 2 2 2 h1 2 2 + h (rcos?)(rsen?)? r2 Carlos Enrique Núñez Rincón

figura 17), por lo tanto fxy(0,0) ? fyx(0,0). Es decir, para (x,y) =(0,0) f no es

una función clase C2. Figura 17

iii) Primero, obtenemos las derivadas parciales de primer orden en el punto (0,0) h2 h h? h?0 = 0 0,0 (0)h h? -h2 h2 h -0 ?f f (0,0+ h)- f (0,0) =lím h?0 =0 luego 2

2 r(h1,h2) = f (h1,h2) = h1h2 donde 2 2 h lím (h1,h2)?(0,0) h1 + h2 ? r2cos2? -r2sen2? ? ? ? ? r h1=rcos? = ? =lím h2=rsen? r?0 es claro que r ?0 sii(x,y)?(0,0)

21

=límr(cos?sen?)(cos2? -sen2?) = 0 /3×0 0 < 4}, + y + y2) =3×0 + y0 = f (x0,y0) /3×0 0 > 4}, + y /3×0 0 > 4} + y /3×0 0 = 4}, entonces + y Diferenciabilidad de funciones de varias variables Ejercicios ilustrativos 22 r?0 r2(cos?sen?)(cos2? -sen2?) r =lím r?0 puesto que sen? cos? =1, así como cos2? -sen2? =1 ? luego, f es diferenciable en el punto (0,0).

Ejercicio 10. Consideremos la función f :U ? »2 ?», definida por

?3×2 + y2,si3x2 + y2 = 4 2 2

Demostrar que f es continua en todos los puntos (x,y)?»2, excepto en los puntos

que configuran la elipse 3×2 + y2 = 4.

Solución. 2 2 En primer lugar, consideremos el conjunto U1 = {(x0,y0)?» entonces 2 2 2 (3x lím (x,y)?(x0,y0) lím (x,y)?(x0,y0) f (x,y) = 2 2 En segundo lugar, consideremos el conjunto U2 = {(x0,y0)?» entonces lím (x,y)?(x0,y0) lím (x,y)?(x0,y0) f (x,y) = 3=3= f (x0,y0) 2

(ver figura 18). 2 2 {(x0,y0)?» y En tercer lugar consideremos los conjuntos U2 =

{(x0,y0)?» 2 2 U4 =

+ y2) =3×0 0 2 = 4 + y Carlos Enrique Núñez Rincón lím (x,y)?(x0,y0) lím (x,y)?(x0,y0) f (x,y) = 3=3 2 2 (3x lím (x,y)?(x0,y0) lím (x,y)?(x0,y0) f (x,y) = Puesto que, estos límites son diferentes, f es discontinua en todos los puntos (x,y)?»2 de la elipse 3×2 + y2 = 4, (ver figura 18). Figura 18

Bibliografía

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