El teorema de Pitágoras

INTRODUCCION.

Uno de los teoremas milenarios más importantes es sin duda alguna el teorema de Pitágoras.

Gracias a éste se han resuelto infinidad de problemas prácticos que han incidido en el mejoramiento del nivel de vida de la humanidad.

DESARROLLO.

Pitágoras. Filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón. Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios, Tales de Mileto, Anaximandro y Anaximedes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.c. se instaló en Trotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce solo a través de la obra de sus discípulos.

Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo.

Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la transmigración del alma. Se dice que el mismo Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorphus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus experiencias previas.

Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números.

Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

La astronomía de los pitagóricos marcó un importante avance científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndose de acuerdo a un esquema numérico, en una esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva. Como los pitagóricos pensaban que los cuerpos celestes estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas, mantenían que el movimiento de las esferas da origen a un sonido musical, la llamada armonía de las esferas.

Se dice que Pitágoras fue discípulo de Tales, pero apartándose de la escuela jónica fundó en Crotona Italia la escuela Pitagórica.

Los egipcios conocieron la propiedad del triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades de longitud, en los que se verifica la relación 52 = 32 + 42 , pero el descubrimiento de la relación a2 = b2 + c2 para cualquier triángulo rectángulo y su demostración se debe indiscutiblemente a Pitágoras.

Se atribuye también a la escuela pitagórica la demostración de la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triángulo y la construcción geométrica del polígono estrellado de 5 lados.

El teorema de Pitágoras nos dice que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Donde los catetos son los lados del triángulo que forman el ángulo recto.

La hipotenusa es el lado opuesto del ángulo recto.

Catetos

Matemáticamente :

Llamémosle "a" a uno de los catetos y "b" al otro cateto, "c" a la hipotenusa, entonces:

C =

O si queremos los catetos a o b:

EJEMPLOS:

Encontrar lo que se pide dados los datos siguientes:

1).-a = 3 c =

b = 4 c = =5

2).- a = 15 c = =25

b = 20

3).- a =2 b =

c =5 b = =

4).- b =3 a =

c =6 a=

EJERCICIOS:

Encontrar lo que se pide:

1).- a = ? si b = 5 c = 8

2).- b = ? si a =3 c = 10

3).- c = ? si a = 10 b = 15

4).- a = ? si b = 7 c = 9

5).- b = ? si a = 6 c = 10

6).- c = ? si a = 13 b = 10

7).- a = ? si b =2 c = 10

8).- b = ? si a = 5 c = 15

9).- c = ? si a = 7 b = 8

10).- a = ? si b = 15 c = 20

MEDICION PRACTICA DE LOS CATETOS E HIPOTENUSA A TRAVES DEL TEOREMA DE PITAGORAS.

En el ejemplo 1) se calculó la hipotenusa del triángulo perfecto cuyos catetos tienen una longitud de 3 y 4 unidades y su hipotenusa de 5 unidades.

Constatemos físicamente ese cálculo. Dibujamos un cateto que mida 3 centímetros y lo trazamos horizontalmente, después trazamos otro de 4 centímetros perpendicularmente al cateto 3 centímetros en cualquiera de los extremos y después dibujamos una línea para unir los dos catetos (esa línea es la hipotenusa).

Enseguida, si medimos esa línea llamada hipotenusa encontraremos que vale 5 centímetros que es los que se había calculado previamente con el teorema de Pitágoras.

BIBLIOGRAFIA

Álgebra

Baldor

Editorial Mc Graw Hill.

Enciclopedia Encarta 2000

Apuntes personales

JORGE LUIS LEDEZMA HERNANDEZ

Ingeniero industrial en electrica

Docente en la especialidad de mantenimiento y electromecanica en el Centro de Bachillerato Industrial y de servicios # 54 de cd Acuña. en cd Acuña coahuila Mexico.

Catedratico del Instituto Tecnologico Superior de Acuña en la especialidad de ingenieria electromecanica e ingenieria industrial.

actualmente cursando la maestria en productividad en la Universidad autónoma del Noreste.