17 Si para la EDO dy/dx = f(x, y) se evalúa f en una red o malla de puntos rectangular en el plano xy, y se dibuja un elemento lineal en cada nodo (x, y) de la malla con pendiente f(x, y), obtenemos el campo de direcciones o campo de pendientes.
Campo de direcciones
18 Ejemplo: El campo de direcciones de dy/dx = 0.2 xy está representado en la figura (a). Compárese con la figura (b) donde se han representado unas curvas de la familia de soluciones.
19 Ejemplo: Use un campo de direcciones para dibujar una curva solución aproximada para dy/dx = sin(y), con y(0) = -3/2. Solución: Apelando a la continuidad de f(x, y) = sin(y) y ?f/?y = cos(y), el teorema de existencia y unicidad garantiza la existencia de una única curva solución que pasa por algún punto especificado en el plano. Ahora dividimos la región que contiene a (-3/2, 0) en una malla rectangular. Calculamos el elemento lineal de cada nodo para obtener la siguiente figura:
Ecuación semi-lineal de primer orden en dos variables Veamos un ejemplo concreto: obtener la solución general de la familia de EDPs: 20
Constantes arbitrarias (EDOs) vs funciones arbitrarias (EDPs) 21
Problemas de condiciones iniciales o de Cauchy Curva parametrizada (curva inicial). 22 Las condiciones iniciales en este caso son los valores h(s) que toma la función u(x,y) a lo largo de una curva parametrizada: x = f(s), y = g(s) de parámetro s.
Problemas de condiciones iniciales o de Cauchy
Ejemplo solución única : Integrando la EDP: 24 Ejemplo: Curva inicial: y = g(x)
(3.5) 25 Cambiamos la curva inicial a: x = 0 (el eje y).
26 Cambiamos la curva inicial a: x = x0 (rectas verticales).
Podemos definir un campo vectorial que asigna a cada punto (x,y) del plano un vector v de coordenadas (A(x,y), B(x,y)).
En nuestro ejemplo:
Puesto que:
El campo vectorial es constante en este caso:
Curvas características 28 x y B A
Observa que podemos entender la parte izquierda de la EDP como un producto escalar: Gradiente de la función escalar u(x,y) En nuestro ejemplo: 29
Recordemos que este producto representa en cada punto (x,y) la derivada de u(x,y) en la dirección del vector v = (A,B). De modo que una manera equivalente de escribir nuestra EDP es: En nuestro ejemplo: 30
Así que la EDP determina en cada punto del plano (x,y) la derivada parcial de u en la dirección del vector v(x,y) = (A(x,y),B(x,y)), en la dirección que marca el campo vectorial, que se llama dirección característica.
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A las curvas integrales de ese campo (curvas que tienen como tangentes en (x,y) las direcciones marcadas por v) se las denomina curvas características ?(x,y) = k o y = y(x, k), que serán solución (familia uniparamétrica) de la EDO: La pendiente del vector en cada punto (x,y).
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Solución: familia uniparamétrica de curvas características ?(x,y) = k, o explícitamente, y = y(x,k) (Gp:) Curva característica ?(x,y) = k
Sobre cada curva característica de esta familia uniparamétrica de curvas características, la ecuación:
prescribe el comportamiento de la función incógnita u(x,y).
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Ejercicios
35
(Gp:) Curva característica ?(x,y) = k
En nuestro ejemplo: 36
Realicemos ahora el siguiente cambio de variable: La función ?(x,y) debe cumplir en el dominio de solución D: Usando la regla de la cadena, las derivadas parciales de u se convierten en: 37
Deshaciendo el cambio: En contraste con las EDOs, la solución general de una EDP en vez de constantes arbitrarias contiene funciones arbitrarias en las que el argumento es la expresión de la curvas características en forma implícita. Hemos conseguido una EDP directamente integrable: 38 Desaparece la parte en ??.
En general, el cambio de variable será: La función ?(x,y) debe cumplir en el dominio de solución D: Usando la regla de la cadena las derivadas parciales de u se convierten en: Aplicando el cambio de variable a nuestra EDP general, se convierte en:
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Dividiendo entre dx: Y usando que: 40 Y esta ecuación ahora es directamente integrable.
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