Sigamos con nuestro ejemplo, poniendo ahora c.i.:
Supongamos las c.i.: La solución para (s,0) será:
Igualando a la c.i.:
De modo que la única solución particular posible es: 41
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44 Método de las características Casi-lineal de primer orden: o Podemos expresar las curvas características en forma paramétrica con x(t) e y(t). Pero para resolver el sistema necesitaríamos conocer u(x(t),y(t)) = u(t), que es justamente la solución que queremos encontrar.
45 Método de las características Sistema característico: Recurriendo a la propia EDP: Obtenemos una tercera ecuación para u(t). Este sistema describe tanto las curvas características como el comportamiento de la solución a lo largo de ellas.
46 Método de las características Si estamos frente a un problema de Cauchy, tendremos además: Para resolverlo, observemos que para cada s deberemos resolver el problema de Cauchy del sistema de EDOs: Cuya solución tendrá la forma general:
47 Fijamos s para aplicar las c.i.: Resolvamos un ejemplo:
48 Demuestra que si la condición inicial hubiera sido: entonces la solución sería:
49 Método de Lagrange Se trata del método de las características pero en coordenadas cartesianas, en vez de paramétricas: Las tres ecuaciones se pueden combinar para obtener: Si se pueden integrar directamente, el método nos proporciona la solución de manera muy sencilla.
Ejemplo:
51 Ecuaciones semi-lineales de segundo orden en dos variables Integrando:
Y volviendo a integrar: Nota: Comprueba que obtenemos el mismo resultado si comenzamos a integrar respecto a y en vez de x.
52 Añadamos ahora una condición inicial: Necesitamos otra condición no redundante con la anterior para conseguir una solución particular…
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54 Incompatible El motivo es la incompatibilidad de las c.i. Si derivamos la primera:
55 Características en ecuaciones semi-lineales de segundo orden en dos variables Ecuación diferencial para las curvas características Ecuación parabólica: existirá una familia uniparamétrica de características. Ecuación elíptica: no existirán curvas características.
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