Así llamamos hoy en día a esas cantidades:
9 – 6 – 8
Esta manera de trabajar los números se conoce como Números figurados de Pitágoras. El 9 era, para él un número cuadrado, el 6 un número triangular y 8 un número rectangular.
Números cuadrados
Pitágoras llamó cuadrados a estos números, es decir, a estas cantidades de piedritas. Él lo hacía simplemente porque evocaban la forma de un cuadrado. Con esta idea, que parece tan simple, él hacía aritmética y estudiaba los números. Veamos, por ejemplo, estos números cuadrados en la propiedad del teorema que lleva su nombre.
Las cantidades que Pitágoras llamó números cuadrados, al escribirlos en sistema decimal, son números como los que siguen.
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144, etcétera.
Números cuadrados y el teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras dice:
En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
La propiedad pitagórica habla de cuadrados, que son los que aparecen en la figura. Dice que si hay tres cuadrados de los cuales uno tiene una superficie igual a la suma de las superficies de los otros dos entonces, con los lados de los tres cuadrados se puede trazar un triángulo que, necesariamente, es rectángulo. Si no se diera esa condición entre las superficies de los cuadrados, o no se podría armar un triángulo o no sería rectángulo.
Pensemos ahora esta propiedad de los triángulos con los números cuadrados de Pitágoras.
El paso de los números cuadrados por la escuela
El contenido de este artículo es cómo llegó a nosotros esta idea de los números cuadrados de Pitágoras con el paso por la escuela a través de los tiempos. Analicemos el ejemplo del siguiente número cuadrado.
A este número cuadrado nosotros lo llamamos veinticinco. ¿Por qué? Porque, como nuestro sistema de numeración es decimal, para contar esa cantidad de piedritas vamos armando decenas (montones de diez). Este número cuadrado tiene dos decenas y sobran 5 unidades sueltas. A esto lo llamamos 25.
Por otra parte, como el número cuadrado 25, tiene 5 piedritas de ancho y 5 de alto, 25 se puede pensar como el resultado de multiplicar 5 por 5.
25 = 5 x 5
Como esta multiplicación tiene dos factores (números que se multiplican) iguales: 5 y 5, se suele reemplazar esa multiplicación por una potencia en la que la base es 5 (el número que se multiplica) y el exponente es 2 (la cantidad de veces que se multiplica).
25 = 52
En resumen, cuando explicamos que cinco al cuadrado es veinticinco con lo escrito en el renglón anterior, nadie puede imaginarse que este cuadrado tiene que ver con los cuadrados de la geometría. Esto es lo suficientemente grave como para que los chicos, ante explicaciones (¿explicaciones?) de ese tenor, salgan con su famoso: "¿y esto para qué sirve?"
En realidad, si de enseñar y aprender se trata, la estructura lógica de la matemática está en condiciones de asegurar que todos los contenidos sirven para algo y cuando en clase esas conexiones no quedan en evidencia, casi siempre de debe a que faltan pasos en la deducción.
Cosas que pasan en la escuela
Esta cuestión de los números cuadrados es un ejemplo de lo que hace "la maquinaria escolar" con los contenidos matemáticos. Toma lo que produce un matemático (en este caso Pitágoras), desecha casi todo el sentido común que usó para construirlo, se queda con la fórmula final y pretende que los chicos lo aprendan y lo usen. Sugiero que el lector se pregunte cosas como las que siguen:
- ¿Conoce la estrecha relación que hay entre el cálculo de la raíz cuadrada y los cuadrados geométricos?
- ¿Sabe usted que hay varias operaciones división, cada una con su manera particular de hacer la cuenta?
- ¿Sabía usted que los griegos llamaron isósceles a los triángulos que tienen dos lados iguales porque isósceles significa "piernas iguales", haciendo así referencia a la forma de esos triángulos?
- Sabe usted que una división de fracciones también se puede calcular con una cuenta como la que usamos para los números enteros o decimales?
- ¿Conoce usted los fundamentos de la cuenta de dividir por dos cifras? ¿Y los de la cuenta de dividir con decimales?
- ¿Se preguntó alguna vez cuál es la razón que fundamenta el mecanismo que se usa para multiplicar fracciones?
- La fórmula para calcular la superficie de un círculo es π x r2 , es decir, π por el cuadrado del radio. ¿Se preguntó alguna vez qué relación hay entre el cuadrado del radio y la superficie del círculo?
Pero el asunto va más allá: nosotros mismos, docentes de hoy, también recibimos la matemática de la misma manera en nuestro paso por la escuela como alumnos. Y nuestros maestros, casi seguramente, también. La "maquinaria escolar" consigue, de esta forma, transmitir la idea de que las matemáticas tienen coherencia, solamente al alcance de los matemáticos.
¿Y si los maestros de matemática nos replanteamos el sentido de cada tema que llevamos a la escuela?
Para no quedarse con la intriga
Por si usted no conoce la respuesta de alguna de las preguntas que aparecen más arriba, acá van, brevemente.
- ¿Conoce la estrecha relación que hay entre el cálculo de la raíz cuadrada y los cuadrados geométricos?
Al calcular la raíz cuadrada de 49 por ejemplo, se trata de armar, con 49 cuadraditos iguales, un cuadrado más grande. La raíz cuadrada es la medida del lado.
- ¿Sabe usted que hay varias operaciones división, cada una con su manera particular de hacer la cuenta?
Una cosa es la división y otra la división entera, aunque en la escuela aparecen como si fuera la misma operación.
¿Cuántas semanas hay en 100 días?
Corto 1 metro de cinta en 7 pedacitos iguales. ¿Cuántos centímetros mide cada uno?
En ambos problemas la solución consiste en calcular una división. Sin embargo, los resultados y aún las operaciones son diferentes. Veamos las soluciones.
- ¿Cuántas semanas hay en 100 días?
Esta operación aritmética se llama división entera. En la división entera obtenemos como resultado dos números: uno llamado cociente y otro, resto.
Al calcular la división entera entre 100 y 7, obtenemos el número que multiplicado por 7 dé lo más cerca de 100 sin pasarlo.
14 x 7 + 2 = 100
y además, 2 es menor que 7 y mayor o igual que 0
En general, la división entera se define así:
a % b = (c;r) / c x b + r = a y 0 ≤ r < b
- Corto 1 metro de cinta en 7 pedacitos iguales. ¿Cuántos centímetros mide cada uno?
1 metro son 100 centímetros que, al cortar en 7 partes iguales, dividimos 100 dividido 7. Estamos calculando un número que multiplicado por 7 dé por resultado 100.
Esta operación aritmética se llama división. Es la operación inversa de la multiplicación.
- ¿Sabía usted que los griegos llamaron isósceles a los triángulos que tienen dos lados iguales porque isósceles significa "piernas iguales", haciendo así referencia a la forma de esos triángulos?
Una persona parada con las piernas ligeramente abiertas, vista de frente, forma con el piso un triángulo isósceles.
- Sabe usted que una división de fracciones también se puede calcular con una cuenta como la que usamos para los números enteros o decimales?
Sea por ejemplo calcular ¾ dividido 1/8
Un octavo está contenido 2 veces en cada cuarto.
- ¿Conoce usted los fundamentos de la cuenta de dividir por dos cifras? ¿Y los de la cuenta de dividir con decimales?
Este asunto es demasiado extenso para este artículo pero lo importante es saber que el algoritmo de la división, ya sea de enteros o de decimales, tiene su fundamento en el sistema de numeración decimal y el hecho de que en toda división el cociente se calcula como la cantidad de veces que se puede restar el divisor del cociente.
- ¿Se preguntó alguna vez cuál es la razón que fundamenta el mecanismo que se usa para multiplicar fracciones?
La multiplicación es la medida de la superficie de un rectángulo que tiene por lados los dos números que se multiplican.
Como aprendimos en la escuela, "el de arriba por el de arriba y el de abajo por el de abajo".
- La fórmula para calcular la superficie de un círculo es π x r2 , es decir, π por el cuadrado del radio. ¿Se preguntó alguna vez qué relación hay entre el cuadrado del radio y la superficie del círculo?
El cuadrado cuyo ancho es igual al radio del círculo, está contenido π veces (es decir 3 veces y un poquito) en la superficie del círculo.
Isabel Ortega
Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina, octubre de 2007.
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