El presente trabajo tiene como objetivo exponer la distribución exponencial de forma teórica y práctica. A pesar de la sencillez analítica de sus funciones de definición, la distribución exponencial tiene una gran utilidad práctica ya que podemos considerarla como un modelo adecuado para la distribución de probabilidad del tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson. De hecho la distribución exponencial puede derivarse de un proceso experimental de Poisson con las mismas características que las que enunciábamos al estudiar la distribución de Poisson, pero tomando como variable aleatoria , en este caso, el tiempo que tarda en producirse un hecho.
CAPITULO I
Distribución exponencial (Teoría)
Mientras que la distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo, la distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas. Si las llegadas son de Poisson el tiempo entre estas llegadas es exponencial. Mientras que la distribución de Poisson es discreta la distribución exponencial es continua porque el tiempo entre llegadas no tiene que ser un número entero. Esta distribución se utiliza mucho para describir el tiempo entre eventos. Más específicamente la variable aleatoria que representa al tiempo necesario para servir a la llegada.
Ejemplos típicos de esta situación son el tiempo que un medico dedica a una exploración, el tiempo de servir una medicina en una farmacia, o el tiempo de atender a una urgencia.
El uso de la distribución exponencial supone que los tiempos de servicio son aleatorios, es decir, que un tiempo de servicio determinado no depende de otro servicio realizado anteriormente ni de la posible cola que pueda estar formándose. Otra característica de este tipo de distribución es que no tienen "edad" o en otras palabras, "memoria". Por ejemplo. Supongamos que el tiempo de atención de un paciente en una sala quirúrgica sigue una distribución exponencial. Si el paciente ya lleva 5 horas siendo operado, la probabilidad de que esté una hora más es la misma que si hubiera estado 2 horas, o 10 horas o las que sea. Esto es debido a que la distribución exponencial supone que los tiempos de servicio tienen una gran variabilidad. A lo mejor el próximo paciente operado tarda 1 hora porque su cirugía era mucho más simple que la anterior.
La función de densidad de la distribución exponencial es la siguiente:
Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribución exponencial con parámetro
Su gráfica es un modelo apropiado a vida útil de objetos.
Par calcular la esperanza matemática y la varianza, se hallara primero el momento de orden r respecto del origen:
CAPITULO II
Distribución exponencial (Práctica)
Ejemplos prácticos sobre la distribución exponencial:
EJEMPLO 1.-El tiempo durante el cual cierta marca de batería trabaja en forma efectiva hasta que falle (tiempo de falla) se distribuye según el modelo exponencial con un tiempo promedio de fallas igual a 360 días.
a) ¿qué probabilidad hay que el tiempo de falla sea mayor que 400 días?.
b) Si una de estas baterías ha trabajado ya 400 días, ¿qué probabilidad hay que trabaja más de 200 días más?
c) Si se están usando 5 de tales baterías calcular la probabilidad de que más de dos de ellas continúen trabajando después de 360 días.
Solución
Sea X=el tiempo que trabaja la batería hasta que falle. El tiempo promedio de falla es de 360 días. Entonces, X ~Exp (ß=1/360) y su función de densidad es:
EJEMPLO 2.-Suponga que la vida de cierto tipo de tubos electrónicos tiene una distribución exponencial con vida media de 500 horas. Si X representa la vida del tubo (tiempo q dura el tubo).
a) Hallar la probabilidad que se queme antes de las 300 horas.
b) ¿Cuál es la probabilidad que dure por lo menos 300 horas?
c) Si un tubo particular ha durado 300 horas. ¿cúal es la probabilidad de que dure otras 400 horas?
Solución
Este, es una propiedad de la distribución exponencial que se conoce como la de no tener memoria.
EJEMPLO 3.-Suponga que el tiempo que necesita un cajero de un banco para atender a un cliente tiene un distribución exponencial con una media de 40 segundos.
a) Hallar la probabilidad que el tiempo necesario para atender un cliente dado sea mayor que 20 minutos?
b) ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo necesario para atender a un cliente esté comprendido entre 1 y 2 minutos.
Solución
Autor:
Gonzales Quiñones César Augusto
Gean Franco Ortiz Maguiña
Año: 2º Semestre: 4º
Docente: Anne Aniceto C.
07/11/2010
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLAREAL
Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas
Escuela de ESTADÍSTICA