Medidas de tendencia central – Estadística Económica (página 2)

1.2.-La Media Aritmética ():

La medida de tendencia central más ampliamente usada es la media aritmética, usualmente abreviada como la media y denotada por  (léase como "X barra").

• La media aritmética para datos no agrupados

Si se dispone de un conjunto de n números, tales como X1, X2, X3,…,Xn, la media aritmética de este conjunto de datos se define como "la suma de los valores de los ni números , divididos entre n", lo que usando los símbolos explicados anteriormente , puede escribirse como:

Ejemplo:

Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de Ier año, a saber: 18,23, 27,34 y 25., para calcular la media aritmética (promedio de las edades, se tiene que:

• La media aritmética para datos agrupados

Si los datos se presentan en una tabla de distribución de frecuencias, no es posible conocer los valores individuales de cada una de las observaciones, pero si las categorías en las cuales se hallan. Para poder calcular la media, se supondrá que dentro de cada categoría, las observaciones se distribuyen uniformemente dentro alrededor del punto medio de la clase, por lo tanto puede considerarse que todas las observaciones dentro de la clase ocurren en el punto medio, por lo expuesto la media aritmética para datos agrupados puede definirse de la siguiente manera:

Si en una tabla de distribución de frecuencia, con r clases, los puntos medio son: X1, X2, X3,…,Xn; y las respectivas frecuencias son f1, f2, f3, … , fn, la media aritmética se calcula de la siguiente manera:

donde: N = número total de observaciones, por tanto Σfi puede simplificarse y escribirse como N ( N= Σfi )

Ejemplo:

Si se toman los datos del ejemplo resuelto al construir la tabla de distribución de frecuencia de las cuentas por cobrar de Cabrera’s y Asociados que fueron los siguientes:

Clases 1 2 3 4 5 6

Puntos Medios (Xi) 14,628 29,043 43.458 57,873 72.288 86.703

Frecuencias (fi) 10 4 5 3 3 5

Al calcular la cuenta promedio por cobrar (media aritmética) de estos datos se tiene lo siguiente:

• Media aritmética ponderada

Por otro lado, si al promediar los datos estos tienen diferentes pesos, entonces estamos ante un caso de media aritmética ponderada, que puede definirse de la siguiente manera

Definición:

Sea dado un conjunto de observaciones, tales como X1, X2; X3; … ; Xn; y un conjunto de valores p1, p2; p3; … ; pn; asociado con cada observación Xi respectivamente, que reciben el nombre de factores de ponderación, entonces la media ponderada se calcula como:

Ejemplo:

En el curso de estadística del Prof. Cabrera la nota semestral se calcula como una media ponderada. Por cuanto que el promedio de laboratorios representa el 30% de la nota semestral. El promedio de ejercicios parciales representa el 30% y el examen semestral el restante 40%.

Si obtiene en este curso los siguientes promedios al final del semestre: laboratorios 90 pts. Parciales 75% pts. Y en el examen semestral 70 pts.; el promedio semestral se calcula de la siguiente forma.:

La nota semestral de 77.5 corresponde a "C".

• Propiedades de la media aritmética

• Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa y de intervalos
• .Todos los valores son incluidos en el cómputo de la media.
• Una serie de datos solo tiene una media.
• Es una medida muy útil para comparar dos o más poblaciones
• Es la única medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto a la media es igual a cero.
• Por lo tanto podemos considerar a la media como el punto de balance de una serie de datos.

• Desventajas de la media aritmética

• Si alguno de los valores es extremadamente grande o extremadamente pequeño, la media no es el promedio apropiado para representar la serie de datos.
• No se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos.

1.3.- La Mediana (X0.5):

Cuando una serie de datos contiene uno o dos valores muy grandes o muy pequeños, la media aritmética no es representativa. El valor central en tales problemas puede ser mejor descrito usando una medida de tendencia central llamada mediana., y denotada por X0.5

La mediana es una medida de posición y se define como la posición central en el arreglo ordenado de la siguiente manera:

Dado un conjunto de números agrupados en orden creciente de magnitud, la mediana es el número colocado en el centro del arreglo, de tal forma que una mitad de las observaciones está por encima y la otra por debajo de dicho valor. Si el número de observaciones es par, la mediana es la media de los dos valores que se hallan en el medio del arreglo, de donde se concluye en la siguiente definición:

Mediana. Es el punto medio de los valores de una serie de datos después de haber sido ordenados de acuerdo a su magnitud. Hay tantos valores antes que la mediana como posteriores en el arreglo de datos

• La Mediana para datos no agrupados.

Sea X1, X2; X3; … ; Xn; una sucesión de datos, la mediana denotada por X0.5 se calcula de la siguiente manera:

X0.5 = X (n+1)/2 si n es par

Xn/2 + X(n/2)+1

X0.5= ———————- si n es impar

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Nota: El resultado obtenido en la formula corresponde al número de la observación en el arreglo, por tanto debe reemplazarse por el valor de dicha variable en el arreglo.

Ejemplo: (n es impar)

Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de I año, a saber: 18,23,25.27 y 35. Obsérvese que los datos deben estar ordenados en un arreglo ascendente o descendente.

Por cuanto que el número de datos es cinco (n=5) y es impar, entonces

X0.5 = Xn+1/2 = X(5+1)/2 = X6/2 = X3 = 25 años

Nota: obsérvese que se obtuvo el número de la variable mediana (X3) que en el arreglo de edades ordenado en forma ascendente corresponde a 25 años (X3=25)

Continuación del ejemplo…(n es par)

Si el número de estudiantes hubiere sido par, suponga que se adiciona un estudiante con 31 años, entonces el arreglo ascendente consecuente sería 18, 23, 25, 27, 31 y 35, entonces la mediana se calcula asi:

• La mediana para datos agrupados

Si se tiene una distribución de frecuencias, la mediana es igualmente ese valor que tiene 50% de las observaciones por debajo y 50 % por encima. Geométricamente, la mediana es el valor de X sobre el eje de las abscisas correspondiente a la ordenada que divide un histograma en dos partes de igual área.

Para hallar el valor de la mediana, en el caso de datos agrupados debe encontrarse primero la clase mediana, la que se define como la clase más baja para la cual la frecuencia acumulada excede N/2 (siendo N=Σfi ). Encontrada esta clase, la siguiente formula servirá para hallar el valor de la mediana

N/2 – fa

X0.5 = Li + ————- ( C )

fi

donde:

L = límite inferior de la clase mediana.

N = frecuencia total o Σfi.

fa = frecuencia absoluta acumulada hasta la clase premediana

fi = frecuencia absoluta de la clase mediana

C = amplitud de la clase mediana.

Ejemplo:

Si se toman los datos obtenidos del ejemplo resuelto al construir la tabla de distribución de frecuencias de las cuentas por cobrar de la tienda Cabrera’s y Asociados que fueron las siguientes

Si se desea calcular la mediana, es necesario primero encontrar la clase mediana, que será aquella que en teoría contenga el dato N/2 = 30/2 = 15, que corresponde con la tercera clase por cuanto que la frecuencia acumulada (fa) hasta esa clase es 19, luego entonces:

Respuesta: La mediana de cuentas por cobrar es B/.39.133

• Propiedades de la mediana

• Hay solo una mediana en una serie de datos.
• No es afectada por los valores extremos ( altos o bajos )
• Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia con intervalos abiertos, si no se encuentra en el intervalo abierto.
• Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa, de intervalos, y ordinal.

1.3.- La Moda (Mo.):

A veces es importante conocer cuál es el valor que más prevalece en el conjunto de datos. El valor que ocurre con más frecuencia se le conoce como moda. La moda es la medida de tendencia central especialmente útil para describir mediciones de tipo ordinal, de intervalos y nominal.

En un conjunto de números la moda se define como el valor ó número que ocurre con más frecuencia

Ejemplo:

En el siguiente conjunto de números 1, 5, 5, 9, 12, 12, 12, 14. La moda es igual a 12, por cuanto que es el número que más se repite (tres veces)

• La Moda para datos agrupados (Mo.):

La Moda puede deducirse de una distribución de frecuencia o de un histograma a partir de la fórmula.

Mo. = Li + [ ( ∆1 / ∆1+∆2 ) ] C

Donde;

Li = límite inferior de la clase modal (clase de mayor frecuencia absoluta (fa)

∆1 = diferencia de las frecuencias absolutas de la clase modal y premodal.

∆2 = diferencia de las frecuencias absolutas de la clase modal y postmodal

C = amplitud de la clase modal.

Ejemplo:

Para encontrar la moda es necesario, en primer lugar, identificar la clase modal; que será aquella que posea la mayor frecuencia absoluta. En el ejemplo de cuentas por cobrar de Cabrera`s y Asociados la clase modal será la primera, por cuanto que tiene la mayor frecuencia absoluta.

A partir de esto se puede reemplazar en la formula anterior los datos, a saber

:

Li =7.42 C=14.415 f1 = 10 (frecuencia absoluta de la clase modal)

f0 = 0 (frecuencia absoluta de la clase premodal)

f2 = 4 (frecuencia absoluta de la clase postmodal)

∆1 = 10–0 = 10 ∆2 = 10-4 = 6

Mo. = 7.42 + [ (10/10+6) 14.415 ] = 7.42 + [ (10/16) 14.415] =

= 7.42 + [ 0.625 (14.415) ] = 7.42 + 9.01 = 16.53

• Propiedades de la moda
• • La moda se puede determinar en todos los tipos de mediciones (nominal, ordinal, de intervalos, y relativa).
  • La moda tiene la ventaja de no ser afectada por valores extremos.
  • Al igual que la mediana, puede ser calculada en distribuciones con intervalos abiertos.
• Desventajas de la moda

• En muchas series de datos no hay moda porque ningún valor aparece más de una vez.
• En algunas series de datos hay más de una moda, en este caso uno podría preguntarse ¿cual es el valor representativo de la serie de datos?

1-4—Relación empírica entre la media, la mediana y la moda

En distribuciones totalmente simétricas, la media, la mediana y la moda coinciden, localizándose en un mismo valor. En cambio, en distribuciones moderadamente asimétricas, la siguiente relación se mantiene aproximadamente:

Media – Moda = 3(Media – Mediana

Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda para curvas de frecuencias asimétricas a derecha e izquierda respectivamente, para curvas simétricas los tres valores coinciden

1.5.- La Media Armónica (a):

La Media Armónica, la representaremos como a, es la inversa de la media aritmética de las inversas de los valores de la variable, responde a la siguiente definición:

Si se tiene un conjunto de observaciones tales como: X1, X2, … . Xn; la media armónica, denotada por a, se define como el reciproco de la suma de los valores inversos de la variable estadística divididos entre el número total de datos y se calcula con la siguiente fórmula

Se utiliza para promediar velocidades, tiempos, rendimiento, etc. (cuando influyen los valores pequeños). Su problema: cuando algún valor de la variable es ó próximo a cero no se puede calcular

Ejemplo:

Un.automóvil que hace viajes de ida y vuelta entre las ciudades A y B, realiza el viaje entre A y B a razón de 80 Km por hora y el viaje entre B y A a 120 Km por hora, La velocidad promedio del viaje de ida y vuelta será de

a = (1/80 + 1/120)/2 = [(120+80)9600]/2 = 19200/200 = 96 km/h

• Propiedades de la media armónica

• La media armónica se basa en todas las observaciones por lo que está afectada por todos los valores de la variable. Da a los valores extremadamente grandes un peso menor que el que les da la media geométrica, mientras que a los valores pequeños les da un peso mayor que el que les da tanto la media aritmética como la media geométrica.
• La media armónica esta indeterminada si alguno de los valores es cero, pues hallar el recíproco de cero implica dividir entre cero, lo cual no es válido. La media armónica está rígidamente definida y siempre es definitiva, excepto cuando uno de los valores es cero.
• La media armónica es el promedio que se ha de usar, cuando lo que se va a promediar son proporciones donde los numeradores de las razones son los mismos para todas las proporciones.
• La media armónica se presta a manipulaciones algebraicas posteriores

1.6.-La Media Geométrica(g):

Se define como la raíz de índice de la frecuencia total cuyo radicando es el producto de las potencias de cada valor de la variable elevado a sus respectivas frecuencias absolutas, se denota por g; suele utilizarse cuando los valores de la variable siguen una progresión geométrica. También para promediar porcentajes, tasas, nº índices, etc. siempre que nos vengan dados en porcentajes y se calcula mediante la siguiente fórmula

g = n√(X1 * X2 * … * Xn

Fórmula que algunas veces es conveniente expresarla en forma logarítmica. El logaritmo de la media geométrica es la media aritmética de los logaritmos de los valores de la variable. El problema se presenta cuando algún valor es 0 ó negativo y exponente de la raíz par ya que no exista raíz par de un número negativo, entonces la fórmula anterior se presenta de la siguiente manera:

log Xg = 1/N (log X1 + log X2 + … + log Xn)

Ejemplo;

Encontrar la media de los siguientes números 2, 4, 8. obsérvese que entre ellos existe una razón o proporción constante, cada uno de ellos es el doble del anterior, por tanto la media a utilizar es la media geométrica, de la siguiente manera

g = 3√ (2) (4) (8) = 3√ 64 = 4

Respuesta: la media geométrica de los datos es 4

• Propiedades de la media geométrica (g)

• La media geométrica esta basada en todas las observaciones, por lo que está afectada por todos los valores de la variable. Sin embargo, da menos pesos a los valores extremadamente grandes que el que les da la media aritmética.
• La media geométrica es igual a cero si algunos de los valores es cero, y se puede volver imaginaria si ocurren valores negativos. Con la excepción de estos dos casos, su valor siempre es definitivo y está rígidamente definido.
• La media geométrica es la que se debe utilizar cuando lo que se va a promediar son tasas de cambios o proporciones, y se intenta dar igual peso a tasas de cambios iguales.

LABORATORIO

(Resolver y entregar en grupos de tres estudiantes, equivalen a nota de un parcial)

Problema #1:

Una guardería es una institución elegible para recibir un subsidio destinado a los servicios sociales del corregimiento, a condición de que la edad promedio de sus niños no llegue a 9 años. Si los datos siguientes representan la edad de todos los niños que actualmente asisten a ella:

1. ¿Llena el requisito para recibir el subsidio?

   14,500 15,600 12,500 8.000 7,800

   6,500 5,900 10,200 8,800 14,300

   13,900

2. La guardería del ejemplo anterior puede continuar siendo subvencionada por la oficina de servicios sociales de la Junta Comunal, mientras el ingreso anual promedio de la familia cuyos asisten a esa institución no llegue a B/.12,500.00. El ingreso familiar de los padres de los niños es;
3. ¿Llena esta institución los requisitos para recibir apoyo financiero de la Junta Comunal del Corregimiento?
4. Si la respuesta a (c) es negativa, ¿cuánto debe disminuir el ingreso familiar para cumplir esa condición?
5. Si la respuesta a (c) es afirmativa, ¿cuánto puede aumentar el ingreso familiar promedio, sin que la institución pierda su elegibilidad para recibir el subsidio?

Problema #2:

Una granja ganadera registro durante febrero el nacimiento de 29 terneros, cuyos pesos al nacer (en kilogramos) fue el siguiente:

Los datos anteriores al ser dispuestos en una tabla de distribución de frecuencias se obtuvo la siguiente tabla resultante.

Calcule en las dos variantes (datos no agrupados y datos agrupados) la media aritmética, la mediana y la moda.

Problema #3:

El peso en kilogramos de un grupo de estudiantes del sexo masculino en un curso de educación física, son los siguientes:

Encuentre la media, la mediana y la Moda. Compare los resultados utilizando la fórmula señalada anteriormente en el texto relativa a la correspondencia entre estas tres medidas de tendencia central.

Problema #4:

Un profesor ha decidido utilizar un promedio ponderado al calcular las calificaciones finales de los estudiantes que asistieron a su seminario. El promedio de las tareas hechas en casa representan el 20% de cada calificación, el examen parcial, 25%; el examen final, 35%; el examen trimestral, 10% y los problemas de practica, 10%. Con los datos anexos calcule el promedio final de los cinco estudiantes que asistieron al seminario

Problema #5:

En 1996 se invirtió un fondo de B7.30,000.00 y durante diez años se reinvirtieron todos los intereses y dividendos. Al final de los diez años el valor total del fondo era de B7.49,783.64 ¿Cuál fue la tasa de rendimiento promedio, computada anualmente sobre la inversión inicial?

Problema #6:

Los siguientes tres automóviles obtuvieron el kilometraje por litro de gasolina que se indica abajo, después de cubrir un trayecto de 600 km, en una pista de prueba. ¿Cuál es el promedio de kilómetros por litros para los tres automóviles?.

Problema #7:

Suponga que cada uno de los tres automóviles del problema #6 tenía 10 litros de gasolina en el tanque. Los autos fueron rodados hasta que se le acabó la gasolina y los kilómetros por litro fueron los mismos señalados en el problema anterior. ¿Cuál es el número promedio de kilómetros para los tres automóviles?. Compare esta respuesta con los que se obtuvieron en el problema #6.

Problemas de práctica de sumatorias

I. Si x1=4; x2=8; x3=10; x4=12; x5=15; x6=5; x7=4; x8=14; x9=16 lleva a cabo las siguientes operaciones

II. Dado que

x1=4; x2=6; x3=-5; x4=1;

y1=2; y2=3; y3=5; y4=7;

z1=3; z2=8; z39; z4=10

Halla

Respuestas

I.-

  1) 22

2) 49

3) 179

4) 73

5) 7(88) = 616

6) 12

II-.

1) 30

2) 23

3) 6 + 17 = 23

4) 5(47) = 235

5) 17 + 30 = 47

6) 53

7) 5(8) = 40

8) 1(10) = 10

Autor:

Francisco Antonio Cabrera González

f_cabrera51[arroba]hotmail.com

Graduado en mayo de 1980 de Economista-Organizador de la Producción Agrícola y Master en Ciencias Económicas en la Academia Agrícola K. A. Timiriazev de Moscú –Rusia.

Profesor de la Universidad de Panamá desde 1981. Ha ejercido la docencia universitaria en los Centros Regionales de Azuero (Chitré), Los Santos, Veraguas, Coclé y San Miguelito. Catedratico (Profesor Regular) desde 1991 del Departamento de Estadística Económica y Social de la Facultad de Economía.

En su vida universitaria, como docente, ha sido representante de los profesores del CRU-Azuero (Chitré) ante el Consejo General Universitario -CGU (1990-1992), Vicepresidente de la Asociación de Profesores de la Universidad de Panamá –APUDEP (1991-1993), Presidente de la APUDEP (1993-1995), Director del Centro Regional Universitario de San Miguelito –CRUSAM (1995-2000) y en la actualidad es docente investigador de la Universidad de Panamá.

UNIVERSIDAD DE PANAMÁ

CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE SAN MIGUELITO

FACULTAD DE ECONOMÍA

DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA ECONÓMICO Y SOCIAL

Curso: Est.115 : "Estadística Económica I".