Hipótesis Actividad de personalización La producción de acero en Monterrey Nuevo León, en millones de toneladas durante el año de 1992ª partir del mes de Enero, se muestra en la tabla. Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun. Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic. Meses 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Producción 6.7 8.5 8.9 7.8 9.7 10.5 9.3 11.2 8.8 11.7 11.5 11.9 1.- Tomando valores consecutivos, ¿para que intervalo de meses ña producción de acero fue mayor y de cuanto fue? De septiembre a Octubre el lapso de mayor venta 2.- ¿Podrías calcular, con una muy buena aproximación, que producción hubo el 15 de junio? 5.25% de porcentaje En esta unidad aprenderás los conceptos de razón de cambio de promedio y razón de cambio instantáneo para que los utilices en la solución de diversos problemas. La aproximación de la razón de cambio promedio a la instantánea nos producirá al concento de derivada. ¿Son importantes las razones de cambio? Describe tu propia hipótesis
Importantes para la elaboración de intervalos de las ventas y perdidas de la empresa esto tiene como importancia saber cuando es que la empresa vende mucho o poco para tener una idea de las perdidas y ganancias de la entidad. Consulta Actividad de aprendizaje para el descubrimiento El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de los fenómenos científicos, tanto naturales como sociales. Derivada de una función en un punto Dada una función f (x), y considerado un punto a de su dominio, se llama derivada de la función en ese punto, denotada como f ¿ (a), al siguiente límite: Este límite también puede expresarse de las dos formas alternativas siguientes: Apoyo gráfico para la definición de derivada en un punto. Interpretación geométrica de la derivada La definición de derivada tiene mucho que ver con el concepto de variación instantánea. Teniendo en cuenta que el cociente:
expresa la pendiente de la recta que pasa por (a, f (a)) y (b, f(b)), es lógico pensar que si b y a están muy próximos entre sí, separados por un valor h que tiende a cero, esta recta se aproximará a la recta tangente a la función en el punto x = a. Tal es la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto: coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto. La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto. Derivadas laterales Como sucedía con los límites, se pueden definir los conceptos de derivadas laterales de una función en un punto. Dada una función f (x) y considerado un punto a de su dominio de definición, se define su derivada por la derecha, y se denota como f ¿ (a+), al límite siguiente: Por su parte, la derivada por la izquierda de f (x) en el punto a, denotada por f ¿ (a-), se define como el siguiente límite: Una función se dice derivable cuando tiene derivadas por la derecha y por la izquierda, y sus valores coinciden. Interpretación geométrica Dada una función f (x), se define variación de la función entre dos puntos de su dominio x1 y x2, siendo x1 < x2, x2, a a la la diferencia diferencia f f (x2) (x2) - - f (x1). Cuando esta diferencia es positiva, la función es creciente en el punto; si es negativa, la función es decreciente. Relacionada con este concepto, se llama variación media de una función f (x) en un intervalo [a, b] al cociente siguiente:
El valor de este cociente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (a, f (a)) y (b, f (b)). Cuando los dos puntos del intervalo [a,b] están lo suficientemente próximos entre sí, el cociente anterior indica la variación instantánea de la función. En tal caso, el valor de b podría expresarse como b = a + h, siendo h un valor infinitamente pequeño. Y (c, f ( c ) ) ( x, f ( x ) ) La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (c, f ( c ) ) y ( x, f ( x ) ) es f ( x ) – f ( c ) . x-c Ahora mantendremos fijo el punto (c, f ( c ) ) y acercaremos x a c; la situación geométrica se muestra como sigue: (c, f ( c ) ) ( x, f ( x ) ) X c
la n. se e e o, Cuanddo X suficiente mente prróxima de C, la recta secante esta muy próxima a lo que llamarremos recta tangente al grafico de f en el puntoo (c, f ( c ) ). DDefinición. Una reecta tangentte a una curvva en un punnto, es una rrecta que al pasar por diicho punto y que enn dicho puntto tiene la mmisma pendieente de la cuurva. La rectta tangente ees un caso particuular de espaacio tangentee a una varieedad diferennciable de diimensión 1 Sea una curva, y un punto regular dee esta, es deccir, un puntoo no angulosso donde la curva es diferenciaable, y por tanto en a curva no cambia repenntinamente de dirección La tangente a en es la reccta que ppasa por y que tiene lla misma dirrección que alredeedor de . La tangente es la pposición límite de la rectta secante ( ) (el segmento llama cuerda de laa curva), cuaando es uun punto de que se aproxima indeefinidamente al punnto ( se desplaza suucesivamente por Si reepresenta unna función f (no es el casso en el gráffico precedente), entoncces la recta tendrá como coeficciente directtor (o pendieente): Donde son las coordeenadas del punto y las deel punto . Por lo tanto la pendiente de la tangente TA será: Es, por definición, f '(a), la derrivada de f en a.
: . . Si os re co or La ecuuación de la ttangente es La rectta ortogonal a la tangennte que pasa por el punto se denommina recta normaal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormaales, es dadaa por Siendoo su ecuación: suponiendo claro está que entoncces la recta nnormal es simpleemente . Esta recta no intervienne en el Bloquue 3 distanccia entre los dos punto que deteerminan una ecta secantte tiende a 0, es decir se transforrma la recta secante en una recta tangente. Con esa interppretación, pueden deteerminarse muchas propieedades geoométricas de los gráficcos de funcciones, tales como conccavidad o convexidad. En cieertas ciudaddes el preccio del transsporte en auutobús es de $6 sin impportar la disttancia que se desplacce el pasajeero si analizamos esta situación mediante la herramienta del cálcculo difereencias tenemmos que dicha situacióón es una función que relaciona el precio on la disttancia recorrida repressentada po X, con lo que tenemos que:
? ? F(x)=6. X(km) 1 5 8 10 15 20 F(x) (pesos) 6 6 6 6 6 6 Realizamos la grafica correspondiente: GRAFICA Observamos que es una función constante; sin importar el numero de kilómetros recorridos en el autobús, el pago del pasaje es el mismo, $6. Si definimos la tangente del ángulo de inclinación de una recta como: Tan a= donde ?x ? 0, ¿Qué signo significa ?x?
= ? ? 0. GRAFICA Quedando para esta función: Tana= ?=tan = = 0 lo que indica que el ángulo de inclinación es: 0 =0 , que corresponde a una línea horizontal. También la expresión: Representa una razón de cambio, lo que quiere decir cuanto cambia la magnitud variable de pendiente y con respecto al cambio de la magnitud variable independiente X. En este cazo observamos que la razón de cambio es 0, que quiere decir que el cambio de la magnitud variable, precio del pasaje (dependiente), no cambia el respecto al cambio de la magnitud variable, kilómetros recorridos (independiente). Si este cálculo se quiere hacer puntual, hacemos que la diferencia de kilometraje sea cada ves mas pequeña, es decir, que tienda a cero: ?x Como se vio en el bloque anterior, esto quiere decir que se calculara la pendiente puntual de la función: lim
Esta expresión es uno de los conceptos fundaménteles del calculo y se llama derivada de la función en X: lim Donde =6 Entonces tenemos: lim 6 6 0 Con lo que podemos ver que la derivada de una función constante es igual a cero. Es un contexto cotidiano podemos encontrar la función mencionada anterior mente; por ejemplo, la situación de viajar en un taxi en el que su tarifa esta en función del tiempo transcurrido nos servirá para analizar un comportamiento variable, ya no constante. El servicio de un taxi (con taxímetro) cobra una cantidad de $20 al iniciar el viaje (común mente llamado banderazo de salida), y $10 por cada 5 kilómetros trascurridos. Si tabulamos esta situación llamando d la distancia transcurrida y c al costo por pagar nos queda:
D(km) 0 5 10 15 20 C(d) (pesos) 20 30 40 50 60 Esta cituacion real queda representada por la función: C(d)=10d+20 Realicemos la grafica correspondiente: GRAFICA En este caso: Tana= ? ? 10 Esta razón de cambio significa que por cada kilometro que recorre el pasajero en el taxi, estará pagando $10 mas. Si ahora se hace el incremento de a variable independiente cada ves mas pequeño, es decir que tiende a cero, y calculamos ese limite, estaremos ablando de la tangente de la función. Con la formula: lim
Aplicándola a este caso real, tenemos: F(d+h)=10(d+h)+20=10d+10h =lim =lim lim =lim10 10 En un laboratorio se están realizando pruebas sobre el comportamiento de una virus en una siclo de temperatura durante un día. Los datos registrados de las temperaturas respecto al tiempo son: Horario H(hrs) 0 5 10 12 15 20 24 Cuya función queda definida por: Temperatura t(°C) 6 101 146 150 141 86 6 H(t)=-t t 12 +150 H(t)=-( 24 144 150 +24t+6 Con esta información podemos obtener el grafico siguiente: GRAFICA
Ahora, si calculamos el limite de la definición de tangente cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero, nos da la derivada de dicha función: =lim Encuentra esta expresión siguiendo los pasos: H(t+h)=-(t +24(t+h)+6= =lim = =lim lim ) lim 2 )= lim 24 Ejemplos: Recuerda que la definición de derivada es. lim Encuentra, por definición, para cada caso. a) 1 lim 2 ² lim – lim 1 2 2 1 2 ²
lim 2 ² 4 2 ² 2 ² =lim ² ² ² =lim =lim ² =1 4 1 2(0) 4 3 lim =lim ³ ² ² ³ ³ = lim =3 3 0 0 3 ² lim 1 lim 1 1
=lim lim ³ 2 ² ² ³ ² lim 1 = ² v lim 1 1 lim 1 v 1 lim lim 1 1 v 1 1 v . 1 1 1 1 v v 1 1 = v lim lim v 1 1 1 v v 1 1 1 v 1 1 v 1
a 2v 1 1 Utilizando la definición de derivada f’ lim , determina: b) 2 2 4, 3 2 2 lim 3 2 2 4 2 lim 3 6 2 2 lim 3 2 2 2 2 lim 3 3 c) 1 1 2 2 4 1 1 lim lim 2 ² 2 4 2 1 2 1 1 lim 2 1 1 1 lim 2 1 1 1 1 lim 2 1 1 lim 2 2 2 2 d) 1 4 3 5 4
3 45 12 33 3 lim 5 ² 4 3 33 3 lim 3 5 3 11 3 lim 5 11 5 3 11 3 26 e) 4 2 5 4 3 4 128 80 16 3 35 4 4 4 lim lim lim 2 2 5 5 4 2 4 4 4 4 4 8 3 32 35 4 lim 2 3 8 2 26 3 4 8 4 52 Ejercicio 2 Encuentra las derivadas de las siguientes funciones, desarrollando su definición: A) 5 3 ? 5 ? 3 ? 5 5? 5 3 3 5 3 ? ? 5? ? ? ? 5 lim 5 5
b) ? ? 2 ? 1 ? ² 2 ? 2 ? ² ? ² 1 ? 2 ? 1 2 1 lim? 2 ? ? 2 2 ? ? ? 0 2? ? 2 2 2 ? ? 2 c) 2 3 ? 3 ? ? 3 ²? 3 ?² ? ?³ ?t ? 3 3 ? ? ? 1 =lim? 3 3 ? ? 3² 1 1
Conclusión: El cálculo es una de las herramientas mas importantes para el desarrollo de la humanidad, ya que es muy esencial para la vida cotidiana. Nos ayuda a resolver hasta lo mas fácil, como lo difícil, uno ejemplo seria cuando queremos saber la distancia q hay entre un objeto y otro y el tiempo en que se puede llegar a uno de ellos. La derivada de una función en un cierto punto. Las derivadas son una útil herramienta para examinar las gráficas de funciones. También el cálculo nos enseña a saber cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial.