4 ecuación, supongamos un aumento en la escala de operaciones mediante un aumento proporcional enLt y Kt donde el producto por trabajador no cambiaría.
De manera que la producción por trabajador no depende del tamaño total de la economía sino, de la cantidad de capital por trabajad (persona activa). Como es sabido, la teoría de la producción se centra en los niveles de empleo de cualquier factor de producción para los que el producto marginal es positivo pero decreciente, de manera que para nuestra función de producción representada en la ecuación (III ) tenemos: yt
dyt dkt PMgk 0
0 f (0)
f (k) (CIO 6) 0 f (k) dPMgk dk 2 (CIIO 7) Gráfica Nº 1: La función de producción per cápita En el Gráfico Nº1, podemos apreciar la función de producción intensiva, que cumple con las condiciones de primer y segundo orden de la función.
La función es de buen comportamiento esto quiere decir que satisface las condiciones de INADA, es decir:
a) Sin factores productivos no hay producción. b) La magnitud de los productos marginales ( PMg ) son positivos. 0 fL df dLt 0 fK df dKt 6 7 CIO: Condición de primer orden para maximizar la función. CIIO: condición de segundo orden, y que nos asegura que f (k) es cóncava y tiene un máximo.
5 c) La curva de los productos marginales son decrecientes.
d) Cuando kt tiende al infinito, entonces el PMgk(t) tiene al vector nulo. 0 PMg K LímK(t) e) Cuando Lt tiende al infinito, entonces el PMg L(t) tiene al vector nulo. 0 PMg L LímL(t) f) Cuando kt tiende al cero, entonces el PMg K(t) tiene al infinito. PMg K 0 LímK(t) g) Cuando Lt tiende al cero, entonces el PMg K(t) tiene al infinito. PMg L 0 LímL(t) n
Se plantea que la inversión neta por trabajador, va ser igual a la suma de la tasa de cambio por trabajador.
Demostración: Kt Kt Lt k kt.Lt , Derivado con respecto al tiempo,”t”. x K t dkt dt dLt dt dKt dt 1 Lt kt.Lt Lt.k t Lt. kt. Lt Lt Lt Lt Kt Lt .k k. k I n k.gl I n k.n k , la inversión por trabajador Inversión neta por trabajador = Profundización del capital + Ampliación neta de capital
Donde;
k t : Tasa de cambio de capital por trabajador en el instante “t”. kt : Capital por trabajador en el instante “t”. n : Tasa de crecimiento de la fuerza laboral. I n : Inversión neta.
s.f ( t ,1) f (kt) n
6 Ecuación Fundamental de Solow De la condición de equilibrio macroeconómico tenemos: I n I S s.Y x I n 1 Lt s.F Kt,Lt It Lt K Lt s.f (kt) k t n.kt , la ecuación de Solow La versión de Branson de la ecuación fundamental de Solow
Si k t 0 s.f (kt) n.kt , se determina kt s
Gráfica Nº 2: El Diagrama de Solow Versión de Barro Nos dice que si partimos de la ecuación fundamental de Solow, y la dividimos entre el capital por trabajador nos dará la tasa de crecimiento proporcionado (gk ); s.f (kt) k t n.kt , dividiendo entre kt n k t kt f (kt) kt s. n gk f (kt) kt s. t * k y *
César Antúnez. I
7 Notas de Crecimiento Económico
Gráfica Nº 3: La función de producción En el Gráfico Nº3, se puede apreciar que cuando, el crecimiento proporcionado gk n s es nulo, entonces gk f (kt) kt 0 t , con lo cual se determina k *. Crecimiento Proporcionado Es aquel crecimiento en que todas las variables agregadas crecen a la misma tas constante positiva. gL gK gY También se puede expresar en términos de variable por trabajador, donde el crecimiento 0 gl gk g y 0 gk gL gK Proporcionado ocurre cuando las tasas de crecimiento de las variables por trabajador son nulas. 0 gk g y
8 César Antúnez. I
Growth steady state: 0 0 k t En el modelo de Solow el crecimiento proporcionado ocurre cuando; gk Luego la ecuación Fundamental deviene: k t s.f (kt) n.kt 0 Puesto que crece proporcionado cuando: k t s.f (kt) n.kt 0 n.kt s.f (kt) Con lo cual se determina el capital por trabajador de equilibrio.
Sobre la Estabilidad En una economía capitalista en el largo plazo tiende aun análisis de equilibrio dinámico de tipo estable, cualquiera que se a el valor inicial de la relación capital- trabajo (kt), se generan fuerzas internas que llevan a que la relación capital-trabajo tienda a la relación capital trabajo de equilibrio. Caso I (k0 k ) En este caso vemos en el Gráfico Nº 4 que, la economía tiene hoy un capital k0, la inversión por trabajador (ahorro neto por trabajador) supera a la ampliación neta de capita. Esto quiere decir que va ocurrir una profundización (k0 aumentara con el t tiempo), hasta llegar a igualarse con el capital por trabajador k *, cuando k t 0, las curvas originado un punto n.kt s.f (kt), que es llamado el estado proporcionado, donde la cantidad de capital por trabajador permanece constante.
Gráfica Nº 4: La Estabilidad Caso (I) Notas de Crecimiento Económico
Crecimiento proporcionado
Crecimiento Balanceado
9 Notas de Crecimiento Económico
k t Límk(0) k * k0 César Antúnez. I
Caso II (k1 k ) t Si el capital por trabajador se encuentra a la derecha k *, como se puede apreciar en el Gráfico Nº 5, donde el capital por trabajador esta expresado como k1.En esta región la ampliación neta de capital supera al ahorro por trabajador, esto quiere decir que el ahorro es menor a la cantidad necesaria para mantener la proporción capital- trabajo constante. Como k t 0, por consiguiente la cantidad de capital por trabajador k1 comienza a t declinar hasta que se iguale con k *.
Gráfica Nº 5: La Estabilidad Caso (II) k t Límk(1) k * k1
10 Beneficios, salarios y distribución del ingreso El modelo de Solow asume competencia perfecta en los mercados de bienes y de factores, plantea que para cualquier punto en la curva del producto se puede obtener lo siguiente:
Gráfica Nº 6: El Diagrama de Fases En el Gráfico Nº 6, podemos apreciar como k1y k2 que se encuentran en la curva,
tienden a k t, donde este punto nos da el estado proporcionado del modelo. También se puede apreciar en el Gráfico que en k1, la tasa de cambio por trabajador es positiva, pero en k2 , la tasa de cambio por trabajador es negativa.
: Relación capital-producto Los parámetros : Relación producto-capital
k : Capital por trabajador Las variables por trabajador y : Producto por trabajador
W : Masa de salario La retribución de los factores r : Tasa de interés Los precios relativos de los factores : W r
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11 Notas de Crecimiento Económico
Gráfica Nº 7: La Distribución del Ingreso En el Gráfico Nº 7 se aprecia como se a distribuido el ingreso entre la masa salarial (W ) y el beneficio total (r.K B ). Analíticamente la ecuación fundamental de Solow;k t
s.f (kt) s.f (kt) n.kt , en el estado del
n.kt , se determina : k crecimiento proporcionado, k t 0 entonces n.kt s f (kt) , se determina k y Mercado de capitales Como, yt f kt esta definido como: Yt Yt Lt f (kt) f (kt).Lt, derivado con respecto a Kt 0 Lt Kt Yt Kt f (kt) f (kt) kt Lt. kt Kt Yt Kt . f (kt) kt Lt. Kt Lt kt Yt Kt Lt.f (kt). Yt Kt 1 Lt Lt.f (kt).
12 f (kt) PMgKt Mercado de Trabajo W PMgLt PMgLt f (kt) r.kt PMgLt f (kt).kt f (kt) W f (kt).kt f (kt) Distribución del Ingreso En esta parte veremos como se divide el ingreso, en masa salarial y beneficio. ( ) w.L r.K Y B W Y Dividiendo a la ecuación ( ) entre 1 Lt , nos dará: ( ) w. r.k Y L Producto x Trabajador = Tasa de salario + Beneficio neto x trabajador
Dividiendo a la ecuación ( ) entre y , nos dará: w y r.k y 1 Donde: w y : Participación del salario en el ingreso nacional. W Y w y w.L Y w Y / L r.k y : Participación de los beneficios en el ingreso nacional. B Y r.K Y r. K / L Y / L r.k y
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