Anteproyecto. Estudio por medio de un modelo matemático de relaciones de velocidad entre ruedas

INTRODUCCIÓN

Para el estudio por medio de un modelo matemático de relaciones de velocidad entre ruedas debemos tener presente los tipos y características de cada una de ellas, puesto que estas implican complejidad a la hora de la aplicación y desarrollo, para emplear el análisis por medio de algún modelo matemático.

Entre esas posibilidades tenemos los grupos de engranajes rectos, ruedas de fricción y poleas; así, para cada sistema se derivan formas, variaciones y subsistemas que ayudan a la complejidad y dificultad del desarrollo en el ejercicio propuesto, para ello podemos utilizar la forma más básica, acompañada de ciertas limitaciones que podrían ir dándose y adecuándose según los problemas e incógnitas que lo hagan necesario, ya que es factible para la iniciativa de partida que facilita la comprensión del sistema.

Valga la aclaración para los avances, profundización y modificaciones del sistema para evitar incurrir en errores y mal entendidos, podremos encaminarnos a la elección del sistema, para el cual hemos decidido que es conveniente el de ENGRANAJES RECTOS puesto que nos puede brindar facilidades de comprensión y desarrollo.

TIPOS DE SISTEMAS:

ENGRANAJES DE PIÑOES RECTOS

Está formado por dos ruedas dentadas cilíndricas rectas. Es un mecanismo de transmisión robusto, pero que sólo transmite movimiento entre árboles próximos y, en general, paralelos.

En algunos casos puede ser un sistema ruidoso, pero que es útil para transmitir potencias elevadas.

RUEDAS DE FRICCION

El movimiento de giro se transmite entre ejes paralelos o que se cortan formando un ángulo arbitrario, entre 0º y 180º. Como en el caso de los engranajes, hay ruedas de fricción rectas y troncocónicas.

El mecanismo está formado por dos ruedas en contacto directo, a una cierta presión.

POLEAS

El mecanismo está formado por dos ruedas simples acanaladas, de manera que se pueden conectar mediante una cinta o correa tensa.

El dispositivo permite transmitir el movimiento entre árboles alejados, de manera poco ruidosa.

La correa, sin embargo, sufre un desgaste importante con el uso y puede llegar a romperse

OBJETIVOS:

Describir el funcionamiento y características del sistema sugerido.
Especificar las aplicaciones o usos mas frecuentes en la vida cotidiana.
Investigar y buscar un modelo matemático, que satisfaga las necesidades para la solución del problema.
Comprobar y dar ajuste al modelo matemático para su optima aplicación.
Posible creación de un software para la rápida solución de incógnitas.

METODOLOGÍA Y DESARROLLO:

Dándonos vía libre para la obtención de información

Movimiento circular

Cuando un objeto se mueve en una trayectoria circular con velocidad constante decimos que su movimiento es circular uniforme. La Luna, por ejemplo, sigue este tipo de movimiento al girar alrededor de la Tierra. Usted puede lograr este tipo de movimiento al hacer girar una pelota de goma que está atada al extremo de una cuerda. En este tipo de movimiento, la magnitud de la velocidad permanece constante pero su dirección cambia continuamente. Puesto que la velocidad es un vector que apunta en la dirección del movimiento de partícula, o sea en la dirección tangente a su trayectoria, y la dirección de la velocidad cambia, en este movimiento hay aceleración, a pesar de que la magnitud de la velocidad sea constante. Durante un intervalo de tiempo Dt, una partícula que se mueve con movimiento circular uniforme se mueve del punto A al punto B, siguiendo la trayectoria descrita por un arco de circunferencia que subtiende el ángulo Dq. El cambio en la vector velocidad en ese intervalo de tiempo es Dv que, como puede verse en la figura, es un vector que apunta hacia el centro de la circunferencia sobre la dirección de su radio de la misma. La dirección de la aceleración es la misma que la del vector Dv y por ello la aceleración en este movimiento se llama aceleración centrípeta. La magnitud de la aceleración centrípeta está dada por

ecu. 01

En la que v es la magnitud de la velocidad y r es el radio de la circunferencia que describe la partícula en su movimiento. Nótese que el vector velocidad y el vector aceleración en este movimiento son perpendiculares uno al otro. En muchas ocasiones es más sencillo describir el movimiento circular uniforme en términos del número de vueltas que da el objeto por unidad de tiempo. A esta cantidad se le denomina velocidad angular y la denotaremos por w. Llamaremos período, T, al tiempo que tarda el objeto en dar una vuelta completa a la circunferencia. Dadas estas definiciones, el período y la frecuencia están relacionadas como

ecu. 02

y la velocidad lineal a la que viaja el objeto al dar una vuelta completa sobre una circunferencia de radio r es

ecu. 03

Puesto que la distancia que recorre el objeto es justamente el perímetro de la circunferencia.

Una característica que distingue a este tipo de movimientos es que el ángulo que recorre una partícula por unidad de tiempo es constante, por lo que decimos que su velocidad angular es constante. Los cuerpos rígidos también pueden tener un movimiento de rotación. Es el caso de las aspas de un ventilador o de alguna pieza de maquinaria. Para especificar qué tanto ha rotado un cuerpo basta dar el ángulo que ha girado sobre su eje, es decir, el ángulo mide el desplazamiento angular. En lugar de medir el ángulo en grados conviene medirlo en radianes. Los radianes se definen mediante la ecuación

ecu. 04

En la que S es el arco de circunferencia barrido por el ángulo q  y r es el radio de la circunferencia, como se muestra en la figura 2.4, Con esta definición es fácil darse cuenta de que el factor de conversión entre los grados y los radianes está dado por 360º = 2p radianes.

A la razón media de cambio del desplazamiento angular en el tiempo se le conoce como velocidad angular:

ecu. 05

Y, aunque puede medirse utilizando grados o revoluciones por segundo, la unidad más conveniente para la velocidad angular es el radián por segundo, o rad/s. El movimiento de rotación puede ser uniforme, con velocidad angular constante, o puede ser acelerado en el caso en que la velocidad varíe. En el caso del movimiento acelerado, es necesario definir la aceleración angular media como la variación de la velocidad angular con el tiempo; así, tenemos que

ecu. 06

Una forma más conveniente de expresar la aceleración angular es la ecuación:

ecu. 07

Si comparamos esta ecuación con la ecuación para la aceleración en el movimiento uniformemente acelerado, nos damos cuenta que estas relaciones son muy similares: basta cambiar la aceleración y la velocidad en la fórmula para el movimiento uniformemente acelerado por la velocidad angular y la aceleración angular en el movimiento de rotación con velocidad variable y obtenemos el mismo resultado. Utilizando los mismos procedimientos que se usaron para obtener las relaciones entre las diferentes variables que necesitamos para estudiar el movimiento uniformemente acelerado, podemos concluir que en el caso del movimiento circular uniformemente variado, es decir, con aceleración angular constante, las relaciones entre las variables que nos permiten hacer un estudio del movimiento son, además de las anteriores,

ecu 08 ecu. 09 ecu. 10

Es importante notar que al aplicar estas relaciones hay que tener cuidado con las unidades y con la elección de la dirección para usarlas en forma consistente.

Si definimos el eje de rotación de un cuerpo en movimiento circular o de rotación como el centro de la circunferencia que describe el objeto o las partículas que componen al objeto en su movimiento, por experiencia sabemos que entre más alejada esté una partícula del eje de rotación su velocidad lineal será mayor. La partícula que gira recorre un arco de circunferencia s en un tiempo dado t. El arco de circunferencia está dado por s =q .r de manera que la velocidad lineal estará dada por:.

ecu. 11

como la velocid|ad angular se define como w =q /t, sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior encontramos que

ecu. 12

CODIGOS FUENTE

C++ BUILDER

//—————————————————————————

#include <vcl.h>

#pragma hdrstop

#include<stdio.h>

#include<math.h>

#include<stdlib.h>

#include<conio.h>

#include "Unit2.h"

#define N 30

//—————————————————————————

#pragma package(smart_init)

#pragma resource "*.dfm"

TForm1 *Form1;

//—————————————————————————

__fastcall TForm1::TForm1(TComponent* Owner)

: TForm(Owner)

{

}

float f(float x,float r1,float r2,float w1);

//—————————————————————————

void __fastcall TForm1::Button2Click(TObject *Sender)

{Close();

}

//—————————————————————————

void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)

{ int i=0,j=0,k=0,l=0,m=0,g=0,cc=0;

float a[N],b[N],p[N],c[N],d,r1,r2,w1,ea,x[N];

a[0]=StrToFloat(Edit4->Text);

b[0]=StrToFloat(Edit5->Text);

r1=StrToFloat(Edit1->Text);

r2=StrToFloat(Edit2->Text);

w1=StrToFloat(Edit3->Text);

d=f(a[0],r1,r2,w1)*f(b[0],r1,r2,w1); x[0]=1;

if(d>0){Memo1->Lines->Add(" *** algun valor de XL o Xu No esta dentro del Rango*** ");g=0;}

else g=1;

if (g==1)

{Memo1->Lines->Add(" *** Estan dentro del rango*** ");

p[i]=(a[j]+b[k])/2; x[cc]=p[i]; cc++;

Memo1->Lines->Add(" xl= "+String(a[j])+" xu= "+String(b[k])+" xr= "+String(p[i])+" EA= 0 ");

c[i]=f(b[k],r1,r2,w1)*f(p[i],r1,r2,w1);

Memo1->Lines->Add(" iteracion -> "+String(i)+" f(XL) = "+String(f(p[i],r1,r2,w1))+" f(xu)*f(xl)= "+String(c[i]));

for(i=0;i<N;i++){

if(c[i]<0)

{ j++;

a[j]=p[l];

l++;

p[l]=(a[j]+b[k])/2;x[cc]=a[j];cc++;

Memo1->Lines->Add(" xl= "+String(a[j])+" xu= "+String(b[k])+" xr= "+String(p[i]));

m++;

c[m]=f(b[k],r1,r2,w1)*f(p[l],r1,r2,w1);

Memo1->Lines->Add(" iteracion -> "+String(i)+" f(XL) = "+String(f(p[i],r1,r2,w1))+" f(xu)*f(xl)= "+String(c[i]));

}else if(c[i]>0)

{

k++;

b[k]=p[l];

l++;

p[l]=(a[j]+b[k])/2; x[cc]=b[k]; cc++;

Memo1->Lines->Add(" xl= "+String(a[j])+" xu= "+String(b[k])+" xr= "+String(p[i]));

m++;

c[m]=f(b[k],r1,r2,w1)*f(p[l],r1,r2,w1);

Memo1->Lines->Add(" iteracion -> "+String(i)+" f(XL) = "+String(f(p[i],r1,r2,w1))+" f(xu)*f(xl)= "+String(c[i]));

}else{

Memo1->Lines->Add("—-> la velocidad es = "+String(p[l]));

i=N;

}ea=(x[cc-1]-x[cc-2])/x[cc-1]*100;

Memo1->Lines->Add(" EA = "+String(ea));

} }

getch();

}

float f(float x,float r1,float r2,float w1)

{

return (x*r2/r1-w1);

}

//—————————————————————————

void __fastcall TForm1::Button3Click(TObject *Sender)

{SaveDialog1->Execute();

if(SaveDialog1->FileName != "")

Memo1->Lines->SaveToFile(SaveDialog1->FileName+".txt");

}

//—————————————————————————

CODIGO EN C++

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include<math.h>

#define N 30

float f(float x,float r1,float r2,float w1);

main ()

{

int i=0,j=0,k=0,l=0,m=0;

float a[N],b[N],p[N],c[N],d;

float r1,r2,w1;

clrscr();

printf("tMETODO DE BISECCIONnn");

printf("tPOR:n RIGOBERTO HERNANDO OLARTEn");

printf("t PAULO ANDRES ROJASn");

printf("t OSCAR JAVIER BUSTAMANTEnn");

printf("t PRESENTADO A: nn");

printf("t LUIS CARLOS O¥ATEnn");

printf("t USTA 2003n");

getch();

clrscr();

do{

printf("tMETODO DE BISECCIONn");

printf("Con la ecuaci¢n: w2*r1/r2-w1 ");

printf("nintroduce la XL: ");scanf("%f",&a[0]);

printf("nintroduce la Xu: ");scanf("%f",&b[0]);

printf("nintroduce la R1: ");scanf("%f",&r1);

printf("nintroduce la R2: ");scanf("%f",&r2);

printf("nintroduce la W1: ");scanf("%f",&w1);

d=f(a[0],r1,r2,w1)*f(b[0],r1,r2,w1);

if(d>0)printf("n*** algun valor de XL o Xu No esta dentro del Rango*** ");

}while(d>0) ;

printf("n*** Estan dentro del rango*** ");

p[i]=(a[j]+b[k])/2;

printf("xl=%f; xu=%f; xr=%f",a[j],b[k],p[i]);

c[i]=f(b[k],r1,r2,w1)*f(p[i],r1,r2,w1);

printf("n*** iteracion[%d] f(xl)=%f f(xu)*f(xl)=%f*** ",i,f(p[i],r1,r2,w1),c[i] );

for(i=0;i<N;i++){

if(c[i]<0)

{ j++;

a[j]=p[l];

l++;

p[l]=(a[j]+b[k])/2;

printf("n xl=%f; xu=%f; xr=%f",a[j],b[k],p[i]);

m++;

c[m]=f(b[k],r1,r2,w1)*f(p[l],r1,r2,w1);

printf("n*** iteracion[%d] f(xl)=%f f(xu)*f(xl)=%f*** ",i,f(p[l],r1,r2,w1),c[i] );

}else if(c[i]>0)

{

k++;

b[k]=p[l];

l++;

p[l]=(a[j]+b[k])/2;

printf("n xl=%f; xu=%f; xr=%f",a[j],b[k],p[i]);

m++;

c[m]=f(b[k],r1,r2,w1)*f(p[l],r1,r2,w1);

printf("n*** iteracion[%d] f(xl)=%f f(xu)*f(xl)=%f*** ",i,f(p[l],r1,r2,w1),c[i] );

}else{

printf("nttRaiz %f",p[l]);

i=N;

}}

getch();

return 0;

}

float f(float x,float r1,float r2,float w1)

{

return (x*r2/r1-w1);

}

PROYECCIÓN Y CONCLUSIONES:

La realización de este proyecto pone en practica los conocimientos que se han obtenidos a través de la carrera.

Además de ello tener una forma clara y práctica, para definir matemáticamente el comportamiento de este sistema de transmisión de potencia.

CONCLUSIONES

-Se pudo comprobar que los métodos numéricos son una herramienta muy versátil a la hora de resolver distintos problemas matemáticos.

-Se comprobó que para resolver los problemas con métodos numéricos se pueden utilizar otra herramienta aparte del papel y el lápiz, tales herramientas son los diferentes paquetes de programación como matlab, c++, c++ BUILDER, C++ Visual Basic, entre otros.

-Con el anterior trabajo se reafirmaron todos los conceptos vistos durante el semestre.

-Comprobamos que cuando se realizan proyectos en las materias que son teóricas se entienden mucho mas y se entiende la forma como deben sé aplicados los conceptos.

-La realización de este proyecto pone en practica los conocimientos que se han obtenido a través de la carrera.

BIBLIOGRAFÍA:

HAMILTON, Mabie. Mecanismos y Dinámica de materiales. Instituto Tecnológico

de Virginia. Editorial Mc Graw hill. 151 p. 279p

SHIGLEY , Joseph Edward. Teoría de maquinas y mecanismos. , editorial MC

Graw Hill Cap 7 Pgs 258. Ed1983

ERDMAN, ARTHUR. G, Diseño de Mecanismos Editorial Prentice Hall. Ed 3ra Pg 417 ed 1998.

CALERO PEREZ ROQUE, Fundamentos de mecanismos y Maquinas de Ingeniería, Mc Graw Hill, Pg 153. ed 1999.

www.educaciontecnologica.com/engranaje.htm

www.ejes-edu.red.htm

www.metalmecanica.com/engranes .htm

www.lafacu.com/monografia.htm

Anexo Acoples

Las ruedas de fricción son muy necesarias, ya que por intermedio de estas se pueden acoplar diferentes transmisiones de potencia en el ámbito industrial, teniendo en cuenta unas reglas básicas de diseño, tomando como variables iniciales su velocidad angular.

Relaciones:

La relación de velocidades angulares, se toma como la velocidad angular de un elemento impulsado, dividida por la del impulsor. Esta relación es: Donde e es la relación entre los radios de las ruedas, W2 es la velocidad angular de la rueda final y W1 es la velocidad angular de la rueda inicial, esto es valido sin importar cuantas ruedas halla en el sistema.
También es valida esta ecuación si se utilizan las Rpm de los engranes se debe tener en cuenta para algunas proporciones las medidas de los diámetro de paso de algunos engranes así como su numero de dientes
Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior
Donde nL representa las Rpm del engrane final y nF las Rpm del engrane inicial. N1 y N2 representan el # de dientes del engrane d1 y d2 representan los diámetros de paso de los engranes.
Para sistemas con mas de dos engranes en serie, ó ruedas de fricción se toman todos como una cadena de relaciones así: engrane impulsor N1 engrane medio N3/N2 engrane final N4
La ecuación que regiría este sistema de engranes seria la siguiente
Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Así de demuestra que las relaciones medias en un tren de engranes no son del todo vitales a la hora de diseñar un sistema, solo quedara a criterio del diseñador los diámetros de los engranes y las ruedas, siguiendo unos estándares para los mismos.

Anexo de Ecuaciones

ecu. 0.1
ecu. 0.2
ecu. 0.3
ecu. 0.4
ecu. 0.5
ecu. 0.6
ecu. 0.7
ecu. 0.8
ecu. 0.9
ecu. 10
ecu. 11
ecu. 12

Para ver las fórmulas seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Por:

OSCAR JAVIER BUSTAMANTE

PAULO ANDRES ROJAS

RIGOBERTO HERNANDO OLARTE

ING Mecatronico. BUCARAMANGA – SANTANDER – COLOMBIA

UNIVERSIDAD SANTO TOMAS

FACULTAD DE INGENIERIA MECATRONICA

METODOS NUMERICOS

BUCARAMANGA

2 de DICIEMBRE de 2003