Diagramas de equilibrio

Introducción

Los diagramas de equilibrio son gráficas que representan las fases y estado en que pueden estar diferentes concentraciones de materiales que forma una aleación a distintas temperaturas. La mayoría de los diagramas de fase han sido construidos según condiciones de equilibrio, siendo utilizadas por ingenieros y científicos para entender y predecir muchos aspectos del comportamiento de materiales; debido a que aportan valiosa información sobre la fusión, el moldeo, la cristalización y otros fenómenos.

Los equilibrios de fase y sus respectivos diagramas de fase en sistemas multicomponentes tienen aplicaciones importantes en química, geología y ciencia de los materiales. Por otra parte, los diagramas de fases son de gran importancia pues apoyan, entre otros, estudios de solidificación, microestructura, metalurgia física y el "diseño de nuevos materiales".

La ciencia de los materiales surgió después de la Segunda Guerra Mundial, como respuesta a la necesidad de producir materiales con propiedades especializadas. Los primeros intentos de modificar científicamente las propiedades de la materia se remontan a principios del siglo pasado, cuando los conocimientos de cristalografía, estado sólido y física atómica convirtieron el arte de la metalurgia en ciencia. De allí parte la creación de nuevas aleaciones, como el acero, que es el resultado de la aleación de hierro y carbono en diferentes proporciones. La definición en porcentaje de carbono corresponde a los aceros al carbono, en los cuales este no metal es el único aleante, o hay otros pero en menores concentraciones. Es utilizado, por ejemplo, en construcción, cascos de barcos, maquinaria, carrocería de automóviles, equipos químicos, etc.

El acero se calienta a una temperatura determinada, se mantiene a esa temperatura durante un cierto tiempo hasta que se forma la estructura deseada y entones se enfría a una velocidad conveniente, dependiendo del tratamiento térmico que le sea aplicado, adquiriendo así, gran flexibilidad y dureza.

La técnica de enfriado (tratamiento térmico), como se menciono anteriormente, consiste en someter al material a determinada temperatura y enfriarlo con cierta velocidad. Los factores temperatura-tiempo dependen del material, tamaño y forma de la pieza. De esta manera se conseguirá una modificación microscópica, transformaciones de tipo físico, cambios de composición o una determina estructura interna las propiedades de a cual permitirán alguno de los objetivos buscados, como aumentar la dureza, mejor mecanizado, eliminar tensiones internas, evitar deformaciones, etc. Los principales tratamientos térmicos son: temple, recocido, revenido y normalizado.

Diagrama de fases

En termodinámica y ciencia de materiales se denomina diagrama de fase, diagrama de equilibrio de fases o diagrama de estados de la materia, a la representación gráfica de las fronteras entre diferentes estados de la materia de un sistema, en función de variables elegidas para facilitar el estudio del mismo.

Los equilibrios entre fases pueden corresponder a los más variados tipos de sistemas heterogéneos: un líquido en equilibrio con su vapor, una solución saturada en equilibrio con el soluto en exceso, dos líquidos parcialmente solubles el uno en el otro, dos sólidos totalmente solubles en equilibrio con su fase fundida, dos sólidos parcialmente solubles en equilibrio con un compuesto formado entre ellos, etc. El objetivo es describir completamente el sistema.

El comportamiento de estos sistemas en equilibrio se estudia por medio de gráficos que se conocen como diagramas de fase: se obtienen graficando en función de variables como presión, temperatura y composición y el sistema en equilibrio queda definido para cada punto (los gráficos de cambio de estado físico ó de presión de vapor de una solución de dos líquidos son ejemplos de diagramas de fases).

La mayoría de los diagramas de fase han sido construidos según condiciones de equilibrio (condiciones de enfriamiento lento), siendo utilizadas por ingenieros y científicos para entender y predecir muchos aspectos del comportamiento de materiales.

A partir de los diagramas de fase se puede obtener información como:

1.- Conocer que fases están presentes a diferentes composiciones y temperaturas bajo condiciones de enfriamiento lento (equilibrio).

2.- Averiguar la solubilidad, en el estado sólido y en el equilibrio, de un elemento (compuesto) en otro.

3.- Determinar la temperatura en la cual una aleación enfriada bajo condiciones de equilibrio comienza a solidificar y la temperatura a la cual ocurre la solidificación.

4.- Conocer la temperatura a la cual comienzan a fundirse diferentes fases.

Los equilibrios de fase y sus respectivos diagramas de fase en sistemas multicomponentes tienen aplicaciones importantes en química, geología y ciencia de los materiales. La ciencia de materiales estudia la estructura, propiedades y aplicaciones de los materiales científicos y tecnológicos.

• Diagrama de equilibrio de aleaciones totalmente solubles en estado liquido y en estado sólido:

Es el diagrama de fases más sencillo; se dan aleaciones de algunos pares de sustancias que son completamente miscibles en fase sólida, como por ejemplo los sistemas Cu-Ni, Sb-Bi, Pd-Ni, KNO3-NaNO3 y d-carvoxima-l-carvoxima.

En este tipo de sistema A y B son totalmente solubles tanto en estado sólido como en estado líquido.

Si tomamos distintas concentraciones de éste metal y trazamos sus curvas de enfriamiento empezando por la aleación del 0%B y terminando en la del 100%B, obtenemos una serie de curvas, de las cuales las de los metales puros presentan a las temperaturas inicial y final de la solidificación un tramo horizontal, ya que esta se verifica a temperatura constante. Sin embargo, las curvas de enfriamiento de las aleaciones intermedias presentan dos puntos singulares o de cambio de pendiente, de los cuales el correspondiente a la mayor temperatura marca el comienzo de la solidificación y el otro el final de ésta. La línea que une todos los puntos de comienzo de solidificación se denomina línea de líquidos y la que une el final de solidificación línea de sólidos. El área situada por encima de la línea de líquidos representa una región monofásica, que se presenta en forma de una solución líquida homogénea. La región situada por debajo de la línea de sólidos también corresponde a una sola fase, y las aleaciones situadas en ésta región presentan la forma de una solución sólida homogénea. La zona comprendida entre las dos líneas representa una zona bifásica, y toda aleación que se encuentre dentro de esta zona están formadas por una mezcla de una solución sólida y otra líquida. Si cogemos un punto que está justo en la línea de líquido, si el punto de solidificación del elemento A es superior a la del elemento B, comienza a cristalizar una solución sólida rica en A quedando un líquido rico en B, y a medida que seguimos enfriando los cristales de dicha solución sólida van creciendo hasta llegar a la línea de sólido, donde termina de solidificar la aleación. El último líquido que queda suele ser más rico en metal B por lo que la zona del límite de grano presenta un porcentaje mayor de B.

• Diagrama de equilibrio de aleaciones totalmente soluble es estado liquido y parcialmente soluble en estado sólido:

En éste caso las soluciones sólidas de un componente en otro que se forman tienen un límite de saturación.

Los puntos de solidificación de los dos componentes puros vienen representados por TA y TB respectivamente. La línea de líquidas será TAETB y la de sólidas TAFEGTB. Como puede verse en éste tipo de diagramas de equilibrio en los puntos de fusión de los metales puros, que a su vez es punto de encuentro de la línea de líquido y de sólido, el diagrama adquiere forma la forma de huso característica de los sistemas que presentan solubilidad total en estado líquido, lo cual es lógico, ya que los componentes son parcialmente solubles en estado sólido y por tanto forman soluciones sólidas. Al solidificar las aleaciones pertenecientes a éste diagrama, nunca se forman cristales puros de A o de B sino que se forman soluciones sólidas o una mezcla de ellas.

Las soluciones sólidas se designan por letras griegas, siendo en ésta caso a y ß las regiones correspondientes a las soluciones sólidas monofásicas, las cuales al formarse en las regiones contiguas a los ejes se denominan soluciones sólidas terminales o finales. En él puede verse que al descender la temperatura y alcanzar la temperatura eutéctica, la solución sólida a disuelve un máximo de B, cuya cantidad disminuye si lo hace la temperatura hasta un mínimo. Y lo mismo ocurre en el caso de ß. Este cambio de solubilidad lo indican las líneas FH y GJ, las cuales se denominan líneas de transformación o cambio de solubilidad, e indican la solubilidad máxima de B en A o de A en B en función de la temperatura. Si consideramos el enfriamiento de distintas disoluciones, se observa que en caso de tomar una aleación cuya composición sea la eutéctica lo que tenemos es en primer lugar una solución líquida homogénea que al descender la temperatura hasta la eutéctica se transforma a temperatura constante en una mezcla eutéctica igual que pasara en el caso anterior estudiado, con la única diferencia que ésta mezcla eutéctica en lugar de estar constituida por dos componentes puros, la formarán dos soluciones sólidas. Ahora bien hay que tener en cuenta que como la solubilidad de B en A y de A en B varía de acuerdo con las líneas de transformación, las cantidades relativas de alfa y beta que componen el eutéctico a temperatura ambiente difieren ligeramente de las obtenidas después de la transformación eutéctica.

Si tomamos por otro lado cualquier aleación que no llegue a cortar a la línea del eutéctico, seguirá en su solidificación un proceso igual a la de cualquier aleación del tipo de solubilidad total, es decir comenzará a solidificar una solución sólida rica en uno de los componentes dependiendo si no encontramos a uno u otro extremo del diagrama de equilibrio, quedando un líquido rico en el otro que disminuye al disminuir la temperatura hasta que llega al punto de final de la solicitación donde todo el liquido se ha cristalizado en una solución sólida. Si tomamos por último una aleación que se encuentre dentro de la línea que define el eutéctico, como se puede observar por el diagrama de equilibrio lo que comienza a solidificar es un solución sólida proeutéctica (alfa o beta dependiendo si tenemos una aleación hipo o hipereutéctica respectivamente), quedando al llegar a la temperatura de la transformación eutéctica un líquido de composición eutéctica que se transformará por tanto en la mezcla eutéctica (a+ß). Debido al cambio de solubilidad que presenta un componente en otro las cantidades relativas de cada solución en el eutéctico variará, como se comentó anteriormente, a temperatura ambiente. A continuación se muestra sobre un diagrama de equilibrio de éste tipo cuáles son los constituyentes o estructura de las aleaciones que se dan en cada zona del diagrama.

• Diagrama de equilibrio de aleaciones totalmente solubles en estado liquido e insolubles en estado sólido:

Los sistemas que presentan un diagrama de fase como el antes descrito se llaman sistemas eutécticos simples. Algunos de ellos son los sistemas Pb-Sb, benceno-naftaleno, Si-Al, KCl-AgCl, Bi-Cd, C6H6-CH3Cl y cloroforma-anilina.

Sean A y B dos sustancias miscibles en todas proporciones en la fase líquida y completamente inmiscibles en fase sólida. La mezcla de cantidades arbitrarias de los líquidos A y B origina un sistema monofásico que es una disolución de A y B. Como los sólidos A y B son completamente insolubles entre sí, el enfriamiento de la disolución líquida de A y B ocasiona que A o B se congelen, abandonando la disolución.

Una forma común de este tipo de diagramas es, donde TA y TB son los puntos de congelación de A puro y B puro.

En el límite de baja temperatura, existe una mezcla bifásica del sólido puro A y el sólido puro B, ya que los sólidos son inmiscibles. En el límite de temperatura elevada existe una única fase formada por la disolución líquida de A y B, ya que los líquidos son miscibles.

La curva DE da el descenso del punto de congelación de A por la presencia del soluto B.

CFGE es la curva de descenso del punto de congelación de B por el soluto A.

Las dos curvas del punto de congelación se interceptan en el punto E. Este punto (E) es el punto eutéctico ("que funde con facilidad").

Si se parte del punto R de la figura, y se enfría isobáricamente una disolución de A y B de composición XA. El sistema es cerrado, por lo que la composición global permanece constante y se desciende verticalmente desde el punto R. Cuando T alcanza T1, empieza a aparecer el sólido B separado de la disolución. Cuando B se congela, el valor de XA, aumenta y (como A es ahora el soluto) el punto de congelación disminuye aún más. A una temperatura T2, existe un equilibrio entre una disolución cuya composición viene dada como XA por el punto G y el sólido B, cuya composición viene dada por el punto I con XA=0. Los extremos de la línea de conjunción (GHI) dan las composiciones de las dos fases en equilibrio.

Si T continúa disminuyendo se alcanza finalmente la temperatura eutéctica T3 en el punto K. En ese punto la disolución tiene una composición XA (punto E), y tanto A como B se congelan, por lo que ambos sólidos aparecen cuando se enfría una disolución de composición eutéctica. El resto de la disolución se congela también a la temperatura T3. En el punto K existen tres fases en equilibrio (disolución, sólida A y sólido B), por lo que no se puede aplicar la regla de la palanca. Con tres fases se tiene 1 grado de libertad (F= 2- 3+2=1), este grado de libertad se elimina si se considera P constante e igual a 1atm. Por lo que no existen grados de libertad para el sistema trifásico, y la temperatura T3 permanece constante hasta que toda la disolución se haya congelado y el número de fases se reduzca a

2. Por debajo de T3 se enfría una mezcla de sólido A y sólido B (punto S).

Si se invierte el proceso y se parte desde el punto S con A y B sólidos, el primer líquido que se forma tendrá la composición eutéctica XA. El sistema se mantiene en el punto K hasta que se haya fundido todo A más la cantidad suficiente de B necesaria para formar una disolución de composición eutéctica. Luego, el sólido B restante se funde entre las temperaturas T3 y T1. Una mezcla sólida que posea la composición eutéctica fundirá completamente a una sola temperatura, la T3. Una disolución de A y B con la composición eutéctica congela a la temperatura T3. Pero, una mezcla eutéctica no es un compuesto, sino una mezcla íntima de cristales de A y cristales de B.

Importancia de los diagramas de fases:

Los diagramas de fase son de gran importancia en la ingeniería de materiales, pues apoyan, entre otros, estudios de solidificación, microestructura, metalurgia física y diseño de nuevos materiales. También lo son en la práctica general de ingeniería relacionada de algún modo con la manipulación y el procesamiento de materiales, donde permiten relacionar los procesos de obtención con la estructura y ésta con propiedades de diseño y de este modo concebir y optimizar dichos procesos para obtener el producto deseado.

Teóricamente los diagramas de fase pueden ser obtenidos mediante relaciones termodinámicas, pero en la práctica el modelado preciso es bastante complejo y en la mayoría de los casos se necesitan datos termodinámicos que muchas veces no están disponibles. Por esta razón suelen usarse relaciones relativamente simples como base de modelos que pueden ser sensiblemente mejorados con la ayuda de técnicas computacionales y de disciplinas como la termodinámica estadística. Los modelos termodinámicos que permiten obtener los diagramas de fase son de gran importancia ya que los datos experimentales no son totalmente confiables, bien porque se obtuvieron con técnicas poco precisas o porque, en general, hay poca precisión en la región de baja temperatura debido a que en estas condiciones la difusión es muy lenta y tomaría muchísimo tiempo alcanzar el equilibrio.

Diagrama de hierro-carbón

En el diagrama de equilibrio Fe-C, se representan las transformaciones que sufren los aceros al carbono con la temperatura, admitiendo que el calentamiento (o enfriamiento) de la mezcla se realiza muy lentamente de modo que los procesos de difusión (homogeneización) tienen tiempo para completarse. Dicho diagrama se obtiene experimentalmente identificando los puntos críticos (temperaturas a las que se producen las sucesivas transformaciones) por métodos diversos.

El diagrama hierro-carbono nos sirve para saber donde se funden los metales y que porcentaje de carbono tiene cada metal.

Los aceros eutectoides son aquellos en los que la fase austenitica sólida tiene composición del eutectoide 0,77%

Los aceros hipereutectoides son aquellos en los que la fase austenítica sólida tiene un contenido en carbono entre 0,77% y 0,022%.

• Principales metales que conforman el diagrama Fe-C:

Técnicas de enfriamiento:

Es una operación o combinación de operaciones que comprenden el calentamiento o enfriamiento del material, con el fin de mejorar algunas propiedades, en relación con la condición original del material. El objetivo de los tratamientos térmicos es:

• Conseguir una estructura de menor dureza y mayor maquinabilidad.

• Eliminar la acritud (la acritud aumenta la fragilidad) que originó un mecanizado en frio.

• Eliminar las tensiones internas originada por la deformación de la red cristalina (las cuales elevan la dureza y fragilidad).

• Conseguir la homogeneización de la estructura de una pieza.

• Conseguir la máxima dureza y resistencia.

• Mejorar la resistencia a los agentes químicos.

• Modificar algunas propiedades magnéticas.

• Clasificación de las técnicas de enfriamiento:

• Temple: su finalidad es el aumento de la dureza y de la resistencia mecánica, la disminución de la tenacidad (la tenacidad aumenta la fragilidad), la disminución del alargamiento unitario y la tenacidad (implica mayor fragilidad) y la modificación de algunas propiedades físicas y químicas: magnetismo, resistencia eléctrica y resistencia a ciertos ácidos. La velocidad de enfriamiento es muy rápida para conseguir estructura martensítica, en un medio como agua, aceite, etcétera.

El vidrio templado es un ejemplo un material creado por esta técnica. Para fabricar vidrio templado térmicamente, el vidrio flotado se calienta gradualmente hasta una temperatura de reblandecimiento de entre 575 y 635 grados Celsius para después enfriarlo muy rápidamente con aire. De esta manera se consigue que el vidrio quede expuesto en su superficie a tensiones de compresión y en el interior esfuerzos de tensión, confiriéndole mayor resistencia estructural y al impacto que el vidrio sin tratar, teniendo la ventaja adicional de que en caso de rotura se fragmenta en pequeños trozos inofensivos (por lo cual se le considera uno de los tipos de vidrio de seguridad). Todas las manufacturas, ya sean cortes de dimensiones, canteados o taladros deberán ser realizadas previamente al templado. De realizarse posteriormente, se provocaría la rotura del vidrio.

• Revenido: su finalidad es aumentar la plasticidad, tenacidad, alargamiento, resilencia y estricción, la disminución de la fragilidad y la disminución de la resistencia mecánica, dureza y límite elástico.

La velocidad de enfriamiento más bien rápido (menor que el temple).

• Recocido: su finalidad es homogeneizar la estructura interna (elimina tensiones internas), conseguir una microestructura específica, aumentar la plasticidad, tenacidad y ductilidad, facilitar el mecanizado, eliminar la acritud que produce el trabajo en frio, aumentar el alargamiento, aumentar la extricción, disminuir la tensión de rotura, disminuir el límite real de elasticidad, disminuir la dureza y en general suprimir los defectos del temple. La velocidad de enfriamiento lento hasta temperatura ambiente, generalmente en el horno en que se calentó. Esta técnica se utiliza, por ejemplo, en el ablandamiento de aceros aleados para herramientas de más de 0.8% de C.

• Normalizado: su finalidad es eliminar los defectos de un tratamiento defectuoso, eliminar tensiones interna y uniformizar el tamaño del grano. La velocidad de enfriamiento es al aire en calma.

Aceros

El Acero es básicamente una aleación o combinación de hierro y carbono (alrededor de 0,05% hasta menos de un 2%). Algunas veces otros elementos de aleación específicos tales como el Cr (Cromo) o Ni (Níquel) se agregan con propósitos determinados.

Ya que el acero es básicamente hierro altamente refinado (más de un 98%), su fabricación comienza con la reducción de hierro (producción de arrabio) el cual se convierte más tarde en acero.

El acero conserva las características metálicas del hierro en estado puro, pero la adición de carbono y de otros elementos tanto metálicos como no metálicos mejora sus propiedades físico-químicas.

Los dos componentes principales del acero se encuentran en abundancia en la naturaleza, lo que favorece su producción a gran escala. Esta variedad y disponibilidad lo hace apto para numerosos usos como la construcción de maquinaria, herramientas, edificios y obras públicas, contribuyendo al desarrollo tecnológico de las sociedades industrializadas. A pesar de ello existen sectores que no utilizan acero (como la construcción aeronáutica), debido a su densidad (7.850 kg/m³ de densidad en comparación a los 2.700 kg/m³ del aluminio, por ejemplo).

• Clasificación del acero:

Los diferentes tipos de acero se clasifican de acuerdo a los elementos de aleación que producen distintos efectos en el Acero :

• Aceros al carbono: Más del 90% de todos los aceros son aceros al carbono. Estos aceros contienen diversas cantidades de carbono y menos del 1,65% de manganeso, el 0,60% de silicio y el 0,60% de cobre. Entre los productos fabricados con aceros al carbono figuran máquinas, carrocerías de automóvil, la mayor parte de las estructuras de construcción de acero, cascos de buques, somieres y horquillas.

• Aceros aleados: Estos aceros contienen una proporción determinada de vanadio, molibdeno y otros elementos, además de cantidades mayores de manganeso, silicio y cobre que los aceros al carbono normales. Estos aceros de aleación se pueden subclasificar en:

• Aceros de baja aleación ultrarresistentes: Esta familia es la más reciente de las cuatro grandes clases de acero. Los aceros de baja aleación son más baratos que los aceros aleados convencionales ya que contienen cantidades menores de los costosos elementos de aleación. Sin embargo, reciben un tratamiento especial que les da una resistencia mucho mayor que la del acero al carbono. Por ejemplo, los vagones de mercancías fabricados con aceros de baja aleación pueden transportar cargas más grandes porque sus paredes son más delgadas que lo que sería necesario en caso de emplear acero al carbono. Además, como los vagones de acero de baja aleación pesan menos, las cargas pueden ser más pesadas. En la actualidad se construyen muchos edificios con estructuras de aceros de baja aleación. Las vigas pueden ser más delgadas sin disminuir su resistencia, logrando un mayor espacio interior en los edificios.

• Aceros inoxidables: Los aceros inoxidables contienen cromo, níquel y otros elementos de aleación, que los mantienen brillantes y resistentes a la herrumbre y oxidación a pesar de la acción de la humedad o de ácidos y gases corrosivos. Algunos aceros inoxidables son muy duros; otros son muy resistentes y mantienen esa resistencia durante largos periodos a temperaturas extremas. Debido a sus superficies brillantes, en arquitectura se emplean muchas veces con fines decorativos. El acero inoxidable se utiliza para las tuberías y tanques de refinerías de petróleo o plantas químicas, para los fuselajes de los aviones o para cápsulas espaciales. También se usa para fabricar instrumentos y equipos quirúrgicos, o para fijar o sustituir huesos rotos, ya que resiste a la acción de los fluidos corporales. En cocinas y zonas de preparación de alimentos los utensilios son a menudo de acero inoxidable, ya que no oscurece los alimentos y pueden limpiarse con facilidad.

Conclusión

Los éxitos obtenidos en la producción de nuevos aceros empezaron a extenderse a los materiales como los polímeros y las cerámicas, obligando a crear nuevas investigaciones sobre las propiedades de la materia.

En las investigaciones destaca la búsqueda de propiedades específicas orientadas a lograr la eficiencia global de los procesos, se incide así en aspectos como la resistencia a las altas temperaturas, la resistencia mecánica, la resistencia a la corrosión, así como una mayor eficiencia energética, a la par de reducciones en la densidad y en peso, o bien, capacidades conductoras ampliadas, texturas, transparencia, etc. Estas características se han logrado obtener por combinaciones y procesos.

Los diagramas de fases son de gran utilidad para estas investigaciones. Debido a que al aplicarle a un material cierto tratamiento térmico (temple, recocido, revenido o normalizado), el diagrama de fases ayuda a predecir, por ejemplo, a que temperatura el material lograría la solidificación, a que temperatura fundiría, a que temperatura lograría el equilibrio cierta aleación, averiguar la solubilidad, etc.

En muy diversas formas, la creación y difusión de nuevos materiales ha llevado a estos a ocupar mercados que por muchos años fueron exclusivos, principalmente de metales tradicionales. Uno de los ejemplos más claros se ha dado en la industria del cobre, donde los principales sectores tradicionalmente basados en este metal han sufrido gradualmente la inserción de los plásticos, el aluminio y la fibra óptica, por mencionar sólo algunos materiales.

El mayor desplazamiento del cobre se ha producido en ciertas áreas del sector eléctrico. Una de ellas, es la de las comunicaciones a distancia, con alta densidad de mensajes/información. Allí se ha preferido la fibra óptica por su capacidad para transmitir grandes volúmenes de información. A partir de la década de los noventa ésta se ha constituido como parte importante del sistema de comunicaciones a distancia entre países y al interior de algunos de ellos. Sin embargo, dado que este tipo de uso representa menos del 10% del cobre consumido en telecomunicaciones, el impacto puede ser graduado. Aunque podría ser distinto si la fibra óptica penetrase el sistema domiciliario, que consume el resto del cobre. Aunque esto es poco probable, pues el alto costo de la fibra óptica sólo justifica su uso en aquellos casos en que se requiere manejar un gran volumen de información.

Autor:

Ana Ramírez

Ángel Manzanillo

Wilfredo Estrada

Jorley López

Daniel Bermúdez

Prof.: Omer Padrón

República Bolivariana de Venezuela.

Ministerio del Poder Popular para la Educación superior.

I.U.P. Santiago Mariño.

Maracaibo- Edo. Zulia.