- Sistemas de ecuaciones lineales
- Métodos de resolución
- Aplicaciones prácticas
- Sistemas de inecuaciones con una incógnita
Contenidos
1. Sistemas de ecuaciones lineales.
Ecuación lineal con dos incógnitas. Sistemas de ecuaciones lineales Clasificación de sistemas. 2. Métodos de resolución Reducción Sustitución Igualación. 3. Aplicaciones prácticas Resolución de problemas. 4. Sistemas de inecuaciones con una incógnita Resolución. Objetivos
Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas por los distintos métodos.
Identificar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Utilizar los sistemas de ecuaciones para plantear y resolver problemas.
Resolver sistemas de inecuaciones con una incógnita.
Antes de empezar Lee en la escena el texto y trata de plantear las ecuaciones y de buscar la solución.
| Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:
| |||||||||||||||||||||||||
Pulsa: Solución |
| 堹 comprueba si lo has hecho bien. | ||||||||||||||||||||||||
(Escribe aquí tu solución)
Sistemas de ecuaciones lineales
1.a. Ecuación lineal con dos incógnitas
Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado.
EJERCICIO. Contesta:
Respuestas | |||
¿Cuál es el grado de las ecuaciones lineales? | |||
¿Cuál es la expresión general de una ecuación lineal con dos incógnitas? | |||
¿Qué es una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas? | |||
¿Cuántas soluciones tiene una ecuación lineal con dos incógnitas? | |||
¿Qué tipo de línea forman las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas si las representamos gráficamente? | |||
Copia cuatro de los ejemplos que aparecen en la escena en los siguientes recuadros y haz la gráfica de la recta que forman las soluciones de cada una de las ecuaciones:
EJERCICIO:
Completa a continuación tres de los enunciados que aparecen en esa escena de ejercicios y resuélvelos. Después comprueba la solución en la escena:
Soluciones | ||||||
Halla una solución (x,y) de la ecuación __________ sabiendo que _______ | ||||||
Razona si x = , y = es una solución de la ecuación: __________ | ||||||
¿Cuánto vale "c" si x = , y = es una solución de la ecuación:__________ | ||||||
Resuelve más ejercicios hasta que hayas comprendido bien el concepto de solución de una ecuación lineal con dos incógnitas.
1.b. Sistemas de ecuaciones lineales
Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado.
EJERCICIO: Completa:
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas ____________________________ __________________________________________________________________________ | |||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||
Fórmula general de un sistema de dos ecuaciones | |||||||||||||||||||||||||||||||
Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es _____________ __________________________________________________________________________ | |||||||||||||||||||||||||||||||
Copia dos ejemplos de los que aparecen en la escena y haz la gráfica de las rectas que corresponden a cada una de las ecuaciones e indica cuál es la solución del sistema:
Soluciones | ||||||||||||||||||||||||||
Escribe un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución sea: x = , y = |
| |||||||||||||||||||||||||
Razona si x = , y = es una solución del sistema: | ||||||||||||||||||||||||||
Haz una tabla de valores y da la solución del sistema: | x | |||||||||||||||||||||||||
y | ||||||||||||||||||||||||||
Resuelve más ejercicios hasta que hayas comprendido bien el concepto de solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
1.c. Clasificación de sistemas
Lee en la pantalla la explicación teórica de este apartado.
Aprende cómo se llaman los sistemas dependiendo del número de soluciones que tienen y como son en cada caso las rectas que forman las soluciones correspondientes a cada una de las ecuaciones que lo forman.
EJERCICIO: Contesta: | Respuestas | |
¿Cómo se llama un sistema que tiene una única solución? | ||
¿Cómo son las rectas que lo forman? | ||
¿Cómo se llama un sistema que tiene infinitas soluciones? | ||
¿Cómo son las rectas que lo forman? | ||
¿Cómo se llama un sistema que no tiene solución? | ||
¿Cómo son las rectas que lo forman? | ||
En la escena de la derecha elige la opción: |
|
En la escena de la derecha elige la opción: |
|
En la escena de la derecha elige la opción: |
|
Soluciones | ||||||||
Calcula a y b para que el sistema |
| sea Compatible Determinado | a = b = | |||||
Calcula a y b para que el sistema |
| sea Compatible Indeterminado | a = b = | |||||
Calcula a y b para que el sistema |
| sea Incompatible | a = b = | |||||
Resuelve más ejercicios hasta que hayas comprendido bien la relación entre el número de soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y su clasificación.
2.a. Reducción
Lee en la pantalla en qué consiste el método de reducción.
EJERCICIO: Completa:
Resolver un sistema por el método de reducción consiste en encontrar otro sistema, ______ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ |
En la escena puedes ver como se resuelve un sistema por el método de reducción paso a paso.
Completa en este recuadro el ejemplo que aparece en la escena.
Observa que puedes cambiar la letra que se reduce y que puedes utilizar cualquiera de las dos ecuaciones a la hora de sustituir para hallar el valor de la otra incógnita. Practica con esa escena hasta que hayas comprendido bien el método. | ||||
Aparece una escena con un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resuélvelo en este recuadro. Después pulsa |
| |||
Pulsa OTRO EJEMPLO Y resuélvelo del mismo modo: Primero en el papel y después comprueba la solución. |
| |||
Solución para comprobar
2.b. Sustitución
Lee en la pantalla en qué consiste el método de sustitución.
EJERCICIO: Completa:
Para resolver un sistema por el método de sustitución _______________________________ __________________________________________________________________________ |
En la escena puedes ver como se resuelve un sistema por el método de sustitución paso a paso. Completa en este recuadro el ejemplo que aparece en la escena.
Observa que podrías empezar despejando la misma letra en la otra ecuación o la otra letra en cualquiera de las ecuaciones y siempre obtendrías el mismo resultado. Practica con esa escena hasta que hayas comprendido bien el método. |
Aparece una escena con un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resuélvelo en este recuadro. Después pulsa |
| ||||||||||||||||
Haz varios ejemplos. Cuando acabes 弯font> | Pulsa |
| para ir a la página siguiente. | ||||||||||||||
Solución para comprobar
2.c. Igualación
Lee en la pantalla en qué consiste el método de igualación.
EJERCICIO: Completa:
Para resolver un sistema por el método de igualación _______________________________ __________________________________________________________________________ |
En la escena puedes ver como se resuelve un sistema por el método de igualación paso a paso. Completa en este recuadro el ejemplo que aparece en la escena.
Observa que podrías empezar despejando la otra letra en las dos ecuaciones y obtendrías el mismo resultado. Practica con esa escena hasta que hayas comprendido bien el método. |
Aparece una escena con un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Resuélvelo en este recuadro. Después pulsa |
| |||
Solución para comprobar
3.a. Resolución de problemas
Lee el texto de pantalla: "Para resolver un problema mediante un sistema…" Ejemplos. En la escena puedes ver ejemplos de problemas de tres tipos
Pulsa sobre |
| y continua con |
| para ver como se hace. | |||||||||||||
Y "< volver" para volver al menú. Para otros ejemplos del mismo tipo: |
| ||||||||||||||||
a) Copia un ejemplo completo tal y como aparece en la pantalla tipo EDADES. | |||||||||||||||||
b) Copia un ejemplo completo tal y como aparece en la pantalla tipo GEOMETRÍA. | |||||||||||||||||
c) Copia un ejemplo completo tal y como aparece en la pantalla tipo MÓVILES. | |||||||||||||||||
En la escena irán apareciendo diferentes problemas. Busca seis enunciados que comiencen con las frases que se indican a continuación. Complétalos y resuélvelos (utiliza el método que consideres más adecuado en cada uno de ellos). Después comprueba si lo has hecho bien.
Ejemplo 1: | Ejemplo 2: | ||
Hallar dos números sabiendo que _________ ____________________________________________________________________________________________________________ | Paco tiene en su monedero ______________ ____________________________________________________________________________________________________________ | ||
Solución: | x = y = | Solución: | x = y = |
Ejemplo 3: | Ejemplo 2: | ||
Al dividir un número entre otro ___________ ____________________________________________________________________________________________________________ | La base de un rectángulo mide ___________ ____________________________________________________________________________________________________________ | ||
Solución: | x = y = | Solución: | x = y = |
Ejemplo 5: | Ejemplo 6: | ||
En una clase _________________________ ____________________________________________________________________________________________________________ | Salvador ha hecho un examen que ________ ____________________________________________________________________________________________________________ | ||
Solución: | x = y = | Solución: | x = y = |
Sistemas de inecuaciones con una incógnita
4.a. Resolución
Lee el texto de pantalla y COMPLETA: |
Para resolver un sistema de inecuaciones con una incógnita __________________________ _________________________________________________________________________. |
Observa el ejemplo.
En la escena de la derecha aparecen más ejemplos de resolución de sistemas de dos inecuaciones con una incógnita. Copia uno de esos ejemplos en el siguiente recuadro:
|
Resuelve al menos 2 sistemas de los que se proponen.
| Recuerda lo más importante – RESUMEN | ||||||||
Ecuación de primer grado con dos incógnitas: ____________ | |||
Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. |
| ||
Métodos de resolución: | |||
Método de sustitución: | |||
Método de igualación: | |||
Método de reducción: | |||
Sistemas de inecuaciones: | |||
Ahora vas a practicar resolviendo distintos EJERCICIOS. En las siguientes páginas encontrarás EJERCICIOS de:
Sistemas de ecuaciones. Problemas
Sistemas de inecuaciones. Problemas
Completa el enunciado con los datos con los que te aparece cada EJERCICIO en la pantalla y después resuélvelo. Es importante que primero lo resuelvas tu y después compruebes en el ordenador si lo has hecho bien. Los siguientes EJERCICIOS son de Sistemas de ecuaciones. Problemas. Resolver dos sistemas de los que aparecen en esa página de ejercicios, por cada método:
Por SUSTITUCIÓN | |||
| |||
| |||
Por IGUALACIÓN | |||
| |||
| |||
Por REDUCCIÓN | |||
| |||
| |||
RESOLVER PROBLEMAS CON SISTEMAS Aparece el enunciado de un problema. Cópialos en el primer recuadro y resuélvelo en el espacio reservado para ello. Después comprueba en el ordenador si los has hecho bien.
|
Resolución: |
|
Resolución: |
|
Resolución: |
|
Resolución: |
|
Resolución: |
Los siguientes EJERCICIOS son de Sistemas de inecuaciones. Problemas. Resolver un mínimo de cuatro sistemas de inecuaciones de los cuales al menos dos tengan alguna inecuación de 2º grado y al menos uno esté formado por tres inecuaciones:
| ||
| ||
| ||
| ||
Resolver problemas con sistemas de inecuaciones
|
Resolución: |
|
Resolución: |
|
Resolución: |
Completa aquí cada uno de los enunciados que van apareciendo en el ordenador y resuélvelo, después introduce el resultado para comprobar si la solución es correcta.
| Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas cuya solución sea x= __, y=___ |
| ||||||||||||||||||
| Halla el valor de a para que el sistema siguiente sea compatible indeterminado. |
| ||||||||||||||||||
| Resuelve el sistema de inecuaciones: |
| ||||||||||||||||||
| Escribe una solución de la ecuación: ___________ | |||||||||||||||||||
| Resuelve por reducción: | |||||||||||||||||||
| Resuelve por sustitución: | |||||||||||||||||||
| Resuelve por igualación: | |||||||||||||||||||
| Halla dos números _________________ sea ___ y ______________ sea ____ . | |||||||||||||||||||
| Indica de que tipo es el sistema: |
| ||||||||||||||||||
| Halla las dimensiones de un rectángulo de perímetro ________ si ____________________ _______________. | |||||||||||||||||||
| Para practicar más | ||||||||
1. Calcula el valor de c para que la solución de la ecuación, 
sea:
a) 
b) 
c) 
d) 
2. Halla una solución (x, y) de la ecuación
sabiendo que:
a) 
b) 
3. Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas cuya solución:
a) 
b) 
c) 
d) 
4. Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que:
a) tenga infinitas soluciones b) tenga una sola solución c) no tenga solución
5. Razona si el punto (x, y) es solución del sistema:
a) 
b) 
6. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas:
a) 
b) 
7. Resuelve por reducción:
a) 
b) 
8. Resuelve por sustitución:
a) 
b) 
9. Resuelve por igualación:
a) 
b) 
c) 
10. Resuelve los siguientes sistemas por el método que consideres más adecuado:
a) 
b) 
c) 
d) 
11. Hallar dos números sabiendo que el mayor más seis veces el menor es igual a 62 y el menor más cinco veces el mayor es igual a 78.
12. Dos números suman 241 y su diferencia es 99. ¿Qué números son?
13. Pedro tiene 335 ࠥn billetes de 5࠹ de 10si en total tiene 52 billetes, ¿cuántos tiene de cada clase?
14. En un hotel hay 67 habitaciones entre dobles y sencillas. Si el número total de camas es 92, ¿cuántas habitaciones hay de cada tipo?.
15. Se desea mezclar vino de 1 ௬itro con vino de 3 ௬itro para obtener una mezcla de 1,2 ௬itro. ¿Cuántos litros deberemos poner de cada precio para obtener 2000 litros de mezcla?
16. En un almacén hay dos tipos de lámparas, las de tipo A que utilizan 2 bombillas y las de tipo B que utilizan 7 bombillas. Si en total en el almacén hay 25 lámparas y 160 bombillas, ¿cuántas lámparas hay de cada tipo?
17. En un parque de atracciones subir a la noria cuesta 1 ࠹ subir a la montaña rusa 4 Ana sube un total de 13 veces y gasta 16 ଠ¿cuántas veces subió a cada atracción?
18. En un corral hay ovejas y gallinas en número de 77 y si contamos las patas obtenemos 274 en total. ¿Cuántas ovejas y cuántas gallinas hay?
19. Encuentra un número de dos cifras sabiendo que la suma de éstas es 7 y la diferencia entre el número y el que resulta al intercambiarlas es 27.
20. La suma de las edades de Luisa y de Miguel es 32 años. Dentro de 8 años la edad de Miguel será dos veces la edad de Luisa. ¿Qué edades tienen ambos?
21. María ha comprado un pantalón y un jersey. Los precios de estas prendas suman 77ଠpero le han hecho un descuento del 10% en el pantalón y un 20% en el jersey, pagando en total 63"6¿Cuál es el precio sin rebajar de cada prenda?
22. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4, la suma de los cocientes es 15, mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma de los productos es 188.
23. Resuelve los sistemas de inecuaciones:
a) 
b) 
c) 
d) 
24. Rosa quiere comprar globos y serpentinas para adornar la fiesta de fin de curso. Quiere comprar doble número de paquetes de globos que de serpentinas y no quiere comprar menos de 30 paquetes de globos. Si el paquete de serpentinas vale 4࠹ el de globos 3ଠy además no quiere gastar más de 248¿Cuántos paquetes de serpentinas puede comprar?
25. La piscina del edificio A es un cuadrado y la del edificio B un rectángulo, uno de cuyos lados mide lo mismo que el del cuadrado y otro 6 m. ¿Para qué medidas del lado del cuadrado el perímetro de la piscina del edificio A es mayor que el de la piscina del edificio B?
26. Pedro tiene 87 ࠰ara comprar todos los discos de su cantante preferido. Si cada disco costase 23 o tendría suficiente dinero, pero si costase 15 ࠥntonces le sobraría. ¿Cuántos discos tiene del cantante?
"NO A LA CULTURA DEL SECRETO, SI A LA LIBERTAD DE INFORMACION"/font>
www.monografias.com/usuario/perfiles/ing_lic_yunior_andra_s_castillo_s/monografias
Correo: [email protected]
Santiago de los Caballeros, República Dominicana, 2015.
"DIOS, JUAN PABLO DUARTE Y JUAN BOSCH – POR SIEMPRE"/font>
Autor:
Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S.