2. Interés Compuesto
El concepto y la fórmula general del interés compuesto es una potente herramienta en el análisis y evaluación financiera de los movimientos de dinero.
El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo. Calculamos el monto del interés sobre la base inicial más todos los intereses acumulados en períodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo capital.
Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la suma del capital inicial con sus intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés compuesto.
El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de período de capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación.
Tres conceptos son importantes cuando tratamos con interés compuesto:
- El capital original (P o VA)
- La tasa de interés por período (i)
- El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la transacción (n).
Por ejemplo:
Sí invertimos una cantidad durante 5½ años al 8% convertible semestralmente, obtenemos:
El período de conversión es : 6 meses
La frecuencia de conversión será : 2 (un año tiene 2 semestres)
Entonces el número de períodos de conversión es:
(número de años)*(frecuencia de conversión) = 5½ x 2 = 11
Fórmulas del Interés Compuesto:
La fórmula general del interés compuesto es sencilla de obtener:
VA0,
VA1 = VA0 + VA0i = VA0 (1+i),
VA2 = VA0 (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)2
VA3 = VA0 (1+i) (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)3
Generalizando para n períodos de composición, tenemos la fórmula general del interés compuesto:
Fórmula para el cálculo del monto (capital final) a interés compuesto. Para n años, transforma el valor actual en valor futuro.
El factor (1 + i)n es conocido como Factor de Acumulación o Factor Simple de Capitalización (FSC), al cual nos referiremos como el factor VF/VA (encontrar VF dado VA). Cuando el factor es multiplicado por VA, obtendremos el valor futuro VF de la inversión inicial VA después de n años, a la tasa i de interés.
Tanto la fórmula del interés simple como la del compuesto, proporcionan idéntico resultado para el valor n = 1.
VF = VA(1+ni) = VF = VA(1+i)n
VA(1+1i) = VA(1+i)1
VA(1+i) = VA(1+i)
Si llamamos I al interés total percibido, obtenemos:
I = VF – VA luego I = VF – VA = VA(1+i)n – VA
Simplificando obtenemos la fórmula de capitalización compuesta para calcular los intereses:
Con esta fórmula obtenemos el interés (I) compuesto, cuando conocemos VA, i y n.
Ejercicio 37 (Calculando el interés y el VF compuestos)
Determinar los intereses y el capital final producido por UM 50,000 al 15% de interés durante 1 año.
Solución:
VA = 50,000; i = 0.15; n = 1; I =?; VF =?
Calculamos el interés y el VF:
(19) VF = 50,000*(1+0.15) = UM 57,500
Para el cálculo de I podemos también aplicar la fórmula (7):
[7] I = 57,500 – 50,000 = UM 7,500
Respuesta:
El interés compuesto es UM 7,500 y el monto acumulado
2.1 . Valor actual a interés compuesto
La fórmula general del interés compuesto permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior.
Dijimos en el numeral 1.1, pág. 101, de éste Capítulo, la longitud de la escalera es la misma contada de abajo hacia arriba como de arriba abajo. En el interés compuesto cuanto más arriba miramos, más alto es cada escalón sucesivo y si nos paramos arriba y miramos hacia abajo, esto es, hacia el valor actual, cada sucesivo escalón es algo más bajo que el anterior.
De la ecuación [19] obtenemos la fórmula del valor actual a interés compuesto:
También expresamos como: 
Conocemos a la expresión entre corchetes como el Factor Simple de Actualización (FSA) o el factor VA/VF. Permite determinar el VA (capital inicial) de la cantidad futura VF dada, después de n períodos de composición a la tasa de interés i.
La expresión valor futuro significa el valor de un pago futuro en fecha determinada antes del vencimiento. Cuanto menos tiempo falta para el vencimiento, mayor es el valor actual del monto adeudado, y, en la fecha del vencimiento, el valor actual es equivalente al monto por pagar. Para comprobar uno cualquiera de esos valores actuales, basta hallar si a la tasa indicada, en el tiempo expuesto, el valor actual es la cantidad adeudada.
De la ecuación [19] obtenemos también, las fórmulas [22] y [23] para determinar los valores de i (dado VA, VF y n) y n (dado VA, VF e i).
Con la fórmula [22] obtenemos la tasa del período de capitalización. Con la fórmula [23] calculamos la duración de la operación financiera.
En este caso, no da lo mismo adecuar la tasa al tiempo o adecuar el tiempo a la tasa. Tanto el tiempo como la tasa de interés deben adecuarse al período de capitalización. Si el tiempo está en meses, la tasa debe ser mensual; si el tiempo está en bimestres, la tasa debe ser bimestral.
Ejercicio 38 (VA a interés compuesto)
Tenemos una obligación por UM 12,000, a ser liquidado dentro de 10 años. ¿Cuánto invertiremos hoy al 9% anual, con el objeto de poder cumplir con el pago de la deuda?
Solución:
VF = 12,000; i = 0.9; n = 10; VA =?
Respuesta:
El monto a invertir hoy es UM 5,068.93.
2.2 . Valor actual de deuda que devenga interés
Como en el interés simple, en el caso de deudas que devengan interés, antes de calcular su valor actual, debemos averiguar primero el monto nominal, esto es, la cantidad de dinero (capital más interés) de la deuda a su vencimiento. Calculado el monto nominal es más sencillo determinar el valor actual a cualquier tasa de interés.
Para calcular el valor actual de deudas que devengan interés compuesto calculamos primero el monto de la deuda al vencimiento, esto es, el monto nominal; luego, procedemos a calcular el valor actual del monto nominal aplicando el método expuesto líneas arriba.
Ejercicio 39 (VA de deuda que devenga interés compuesto)
Una empresa en proceso de liquidación, tiene en activos obligaciones a 4 años por UM 42,000, devengan el 12% capitalizando anualmente. Calcular el valor actual al 15%, con capitalización anual.
Solución: Según la regla expuesta:
1º Calculamos el monto (VF) del activo a su vencimiento:
VA = 42,000; i = 0.12; n = 4; VF =?
[19] VF = 42,000(1 + 0.12)4 = UM 66,087.81
2º Calculamos el VA al 15% de UM 66,087.81 a pagar dentro de 4 años:
VF = 66,087.81; i = 0.15; n = 4; VA =?
Respuesta:
El VA con capitalización anual es UM 37,785.92
2.3. Interés simple versus interés compuesto
El monto (VF) que obtenemos con el interés simple aumenta linealmente (progresión aritmética); mientras que en las operaciones con interés compuesto, la evolución es exponencial (progresión geométrica), como consecuencia de que los intereses generan nuevos intereses en períodos siguientes.
Generalmente utilizamos el interés simple en operaciones a corto plazo menor de 1 año, el interés compuesto en operaciones a corto y largo plazo.
Vamos a analizar en qué medida la aplicación de uno u otro en el cálculo de los intereses dan resultados menores, iguales o mayores y para ello distinguiremos tres momentos:
a) Períodos inferiores a la unidad de referencia
En estos casos (para nosotros un año), los intereses calculados con el interés simple son mayores a los calculados con el interés compuesto.
Ejercicio 40 (Interés simple y compuesto con períodos menores a la unidad)
Determinar los intereses devengados por un capital de UM 30,000, durante 5 meses, al 15% de interés anual.
Como la tasa de interés está en base anual, el tiempo lo expresamos también en base anual: 5/12 = 0.4167
Igualmente, podríamos expresar la tasa de interés en base mensual, dividiendo simplemente: 0.15/12 = 0.0125 con n = 5.
Solución:
VA = 30,000; n = 0.4167; i = 0.15; I =?
a.1.) Interés simple
[8] I = 30,000*0.15*0.4166 = UM 1,875.15
a.2.) Interés compuesto:
Luego, el interés calculado aplicando la fórmula del interés simple es superior al calculado con la fórmula del interés compuesto.
b) Períodos iguales a un año
En estos casos, ambas formulas dan resultados idénticos.
Ejercicio 41 (Interés simple y compuesto con períodos iguales a un año)
Determinar los intereses devengados por un capital de UM 30,000, durante un año, con el 12% de interés anual.
Solución:
VA = 30,000; n = 1; i = 0.12; I =?
a.1.) Interés simple:
[5] I = 30,000*0.12*1 = UM 3,600
a.2.) Interés compuesto:
Como vemos ambas fórmulas proporcionan resultados iguales.
c) Períodos superiores a un año
En estos casos, los intereses calculados con la fórmula del interés compuesto son superiores a los calculados con la fórmula del interés simple.
Ejercicio 42 (Interés simple y compuesto con períodos superiores a un año)
Determinar los intereses devengados por un capital de UM 30,000, durante dos años, con el 12% de interés anual.
Solución:
VA = 30,000; n = 2; i = 0.12; I =?
a.1.) Interés simple:
[5] I = 30,000*0.12*2 = UM 7,200
a.2.) Interés compuesto:
Luego cumplimos con la condición (c).
La definición de tasas de interés equivalentes es la misma que la del interés simple. No obstante, la relación de proporcionalidad que se da en el interés simple no es válida en el interés compuesto, como es obvio, el cálculo de intereses se hace sobre una base cada vez mayor.
Ejercicio 43 (Valor acumulado de una inversión)
Calcular el valor acumulado de una inversión de UM 5,000 durante un año, en las siguientes condiciones:
Solución:
VA = 5,000; n = 1 … 4; i = 0.15 anual, 0.075 semestral y 0.0375 trimestral
Con interés anual del 15%:
[19] VFn = 5,000(1 + 0.15)1 = UM 5,750.00
Con interés semestral del 7.5%:
[19] VFn = 5,000(1 + 0.075)2 = UM 5,778.13
Con interés trimestral del 3.75%:
[19] VFn = 5,000(1 + 0.0375)4 = UM 5,793.25
Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalización de los intereses lo hacemos con diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en las diferentes tasas de interés.
Para lograr que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalización y el valor final siga siendo el mismo es necesario cambiar la fórmula de equivalencia de las tasas de interés.
El pago de los intereses es al vencimiento o por anticipado. El interés nominal, por lo general condiciona la especificación de su forma de pago en el año. Para determinar a qué tasa de interés vencida (iv) equivalen unos intereses pagados por anticipado (ia) debemos tomar en cuenta que los mismos deben reinvertirse y éstos a su vez generarán intereses pagaderos por anticipado.
Interés anticipado (ia), como su nombre lo indica, es liquidado al comienzo del período (momento en el que recibimos o entregamos dinero).
Interés vencido (iv), contrariamente al anterior, es liquidado al final del período (momento en el que recibimos o entregamos dinero).
Muchas negociaciones son establecidas en términos de interés anticipado y es deseable conocer cuál es el equivalente en tasas de interés vencido. Ejercicios corrientes, lo constituyen los préstamos bancarios y los certificados de depósito a término.
Cuando especificamos el pago de interés anticipado (ia), estamos aceptando (en el caso préstamos) recibir un monto menor al solicitado.
Fórmulas de la tasa de interés vencida y anticipada:
Con la fórmula [A] podemos convertir cualquier tasa de interés anticipada, en tasa de interés vencida. Esta fórmula es utilizada sólo para tasas periódicas; tasas utilizadas en determinado período para calcular el interés.
Ejercicio 44 (Calculando la tasa vencida)
La tasa de interés anticipada de 9% trimestral equivale a:
Solución:
ia = 0.09; iv =?
Para utilizar esta conversión debemos trabajar con la tasa correspondiente a un período. Por ejemplo, la tasa de interés de 9% anticipada aplicable a un trimestre.
Ejercicio 45 (Tasa vencida)
Si la tasa de interés anual es 28%, con liquidación trimestral por anticipado (la cuarta parte es cobrada cada trimestre) ¿a cuánto equivale ese interés trimestral vencido?
Tasa de interés trimestral anticipada = 0.28/4 = 0.07
Tasa de interés trimestral vencida:
Ejercicio 46 (Tasa anticipada)
Si el banco dice cobrar la tasa de interés de 32% anual, liquidado cada mes, vencido, ¿a qué tasa de interés mes anticipado corresponde ese interés?
El interés mensual vencido es : 0.30/12= 0.025
El interés mensual anticipado es :
Luego, el interés nominal mes anticipado es: 2.44% * 12 = 29.27%
Denominada así la operación financiera que tiene por objeto el cambio de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente, mediante la aplicación de la fórmula de descuento compuesto. Es la inversa de la capitalización.
2.5.1. Particularidades de la operación
Los intereses capitalizan, esto significa que:
- Al generarse se restan del capital inicial para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro,
- Los intereses de cualquier período los produce éste capital (anterior), a la tasa de interés vigente en dicho momento.
Los procedimientos de descuento tienen un punto de partida que es el valor futuro conocido (VF) cuyo vencimiento quisiéramos adelantar. Es necesario conocer las condiciones de esta anticipación: duración de la operación (tiempo y el capital futuro) y la tasa de interés aplicada.
El capital resultante de la operación de descuento (valor actual o presente VA) es de cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. Concluyendo diremos, si trasladar un capital presente al futuro implica incrementarle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la disminución de esa misma cantidad porcentual.
En forma similar al interés simple, se distinguen dos clases de descuento racional y comercial, según la cuál sea el capital considerado en el cálculo de los intereses en la operación:
– Descuento racional.
– Descuento comercial.
Nomenclatura:
D : Descuento o rebaja.
DR : Descuento racional
DC : Descuento comercial
VN(VF) : Valor final o nominal, es el conocido valor futuro
VA : Valor actual, inicial o efectivo.
i ó d : tasa de interés o descuento de la operación
2.5.2. Descuento racional
En este tipo de descuento los intereses son calculados sobre el capital inicial, es decir, sobre el que resulta de la anticipación del capital futuro (VN o VF). Es la operación de capitalización compuesta, con la peculiaridad de que el punto de partida es el capital final (VN) con el debemos calcular el valor actual (VA), capital hoy. Para el cálculo del VA del capital, operamos con la fórmula [21].
Calculado el capital inicial con la fórmula anterior, por diferencia entre el capital de partida y el inicial obtenido, determinamos el interés total de la operación (DR), o descuento propiamente dicho:
Fórmula del descuento racional a interés compuesto.
Ejercicio 47 (Ahorro por pago anticipado)
Debemos anticipar el pago de una obligación de UM 12,000 con vencimiento dentro de 18 meses. Si el pago lo efectuamos hoy. ¿Qué valor tenemos que entregar si la operación se acuerda a una tasa de interés del 18% anual compuesto? ¿De cuánto será el ahorro por el pago anticipado?.
Solución:
VN = 12,000; n = (18/12) = 1.5; i = 0.18; DR =?; VA =?;
Aplicando directamente la fórmula [C] obtenemos el descuento buscado:
El valor líquido a entregar es: VA = 12,000 – 2,638.22 = UM 9,361.78 o también:
DR = 12,000 – 9,361.78 = UM 2,638.22
Respuesta:
El valor a entregar es UM 9,361.78
El ahorro por el pago anticipado es de UM 2,638.22
2.5.3. Descuento comercial
Este caso considera al capital final de un período a otro generador de los intereses a un tipo de descuento (d) dado, vigente en ese momento.
Aplicando la fórmula [B] calculamos el capital inicial (VA):
Por diferencias entre el capital de partida y el inicial obtenido, calculamos el interés total de la operación (Dc):
Ejercicio 48 (Descuento comercial)
Tenemos que anticipar UM 15,000 con vencimiento dentro de 3 años. Si el pago lo hacemos el día de hoy. ¿Qué valor tenemos que entregar si la operación es pactada al 22% anual compuesto? ¿Cuanto será el descuento por el pago anticipado?
Solución:
VN = 15,000; n = 3; VA =?; d = 0.22; DC = ?
1º Calculamos el valor actual y el descuento bancario:
[D] VA = 15,000*[1 – 0.22]3 = UM 7,118.28
DC = 15,000 – 7,118.28 = UM 7,881.72
2º En forma directa, obviando el cálculo previo del capital inicial (VA):
[E] Dc = 15,000 * [1 – (1 – 0.22)3] = UM 7,881.72
Respuesta:
El monto a entregar es UM 7,118.28 y el descuento es UM 7,882.72.
2.5.4. Tasa de interés y de descuento equivalentes
Al comparar el interés simple con el interés compuesto a un mismo capital inicial y tasa de interés, encontramos que los resultados son menores, iguales o mayores con el interés compuesto cuando los períodos son inferiores, iguales o superiores a la unidad de referencia.
Es necesario determinar la relación que existe entre las tasas de interés y descuento con el objeto de que los resultados de anticipos sean los mismos con cualquiera de los modelos de descuento utilizados. Esto es, la equivalencia entre tasas de descuento e interés. Para esto debe cumplirse la igualdad entre ambos descuentos DR = DC. En forma simplificada las formulas que cumplen con esta condición son:
La tasa de descuento comercial d equivalente a la tasa de interés i es:
Similarmente, obtenemos un tipo de interés i equivalente a un d:
Reiteramos, la relación de equivalencia es independiente de la duración de la negociación. Por ende tenemos que para una tasa de interés habrá un único tipo de descuento que origine la equivalencia y viceversa.
Estas fórmulas son de aplicación sólo con tasas periódicas; aquellas tasas utilizadas en determinado período para calcular el interés.
Ejercicio 49 (Monto a adelantar)
Tenemos que anticipar el pago de una deuda de UM 18,000 al 15% anual, con vencimiento dentro de 2 años. Asumiendo que el pago lo hacemos hoy, calcular el monto que tenemos que adelantar.
Solución:
VN(VF) = 18,000; n = 2; i = 0.15; d = ?
1º Calculamos el descuento racional, con una tasa de interés de 15%:
2º Calculamos el descuento comercial con un descuento de 15%:
Cuando operamos con una misma tasa de interés y descuento los resultados son diferentes, el resultado es mayor con el descuento racional por cuanto el capital productor de intereses es el capital inicial (más pequeño) consecuentemente menor el ahorro por la anticipación.
Para obtener el mismo resultado debemos determinar el tipo de descuento equivalente al 15% de interés con la fórmula de equivalencia:
2º Calculando el descuento comercial al nuevo tipo de descuento, obtenemos:
Respuesta:
El monto a adelantar es UM 13,610.59
2.6. Equivalencia de capitales a interés compuesto
Para demostrar que dos o más capitales son equivalentes, es necesario que éstos tengan el mismo valor en el momento en que son comparados: principio de equivalencia de capitales.
El principio de equivalencia financiera, permite determinar si dos o más capitales situados en distintos momentos resultan indiferentes o, por el contrario, hay preferencia por uno de ellos.
En las operaciones de interés simple, vimos la definición y utilidad de la equivalencia de capitales. El principio de equivalencia de capitales y sus aplicaciones siguen siendo válidos. La diferencia fundamental viene dada porque en interés compuesto la fecha donde realizamos la equivalencia no afecta al resultado final de la operación. La equivalencia sólo se cumple en un momento dado y como consecuencia en cualquier punto; fuera de esta condición no se cumple nunca.
2.6.1. Usos del principio de equivalencia
El reemplazo de unos capitales por otro u otros de vencimientos o montos diferentes sólo es posible si financieramente resultan ambas alternativas equivalentes.
Casos posibles:
Cálculo del capital común
Es el monto C de un capital único que vence en n, conocido y que reemplaza a otros capitales C1, C2, … , Cn, con vencimientos en n1, n2, … ,nn, todos ellos conocidos.
Cálculo del vencimiento común
Es el instante de tiempo n en que vence un capital único VA, conocido, que reemplaza a otros capitales C1, C2, …, Cn, con vencimientos en n1, n2, … ,nn, todos ellos conocidos.
La condición a cumplir es:
Cálculo del vencimiento medio
Es el instante de tiempo n en que vence un capital único C, conocido, que reemplaza a varios capitales C1, C2, … , Cn, con vencimientos en t1, t2, … ,tn, todos ellos conocidos.
La condición a cumplir es:
Ejercicio 50 (Equivalencia financiera – Capital común)
Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de UM 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600 con vencimiento a los 3, 6, 8 y 11 meses respectivamente. Para pagar estas deudas propone canjear las cuatro obligaciones en una sola armada dentro de 10 meses. Determinar el monto que tendría que abonar si la tasa de interés fuera de 15% anual.
Solución: [i = (0.15/12) = 0.0125]
VF = 1,000, 3,000, 3,800 y 4,600; i = 0.0125; n = 3, 6, 11 y 10; VA0 =?
1º Calculamos el VA con la fecha focal en 0, para ello aplicamos sucesivamente la fórmula [21]:
2º Finalmente, calculamos el VF10 , monto a pagar en una sola armada:
[19] VF10 = 12,462.01(1 + 0.0125)10 = UM 38,705.11
Ejercicio 51 (Equivalencia financiera – Vencimiento común y medio)
Un empresario tiene que cobrar UM 10,000 y UM 15,000, con vencimientos a 3 y 6 meses, respectivamente. El deudor plantea al empresario pagar ambas deudas en un sólo abono, con el 3.5% de interés mensual. Determinar el momento del pago único considerando lo siguiente:
1. Que el monto a recibir es de UM 23,000.
2. Que el monto a recibir es UM 25,000.
Solución:
VF1 y 2 = 23,000 y 25,000; n = 3 y 6; i = 0.035; n =?
1º Calculamos el VA total:
2º Calculamos el vencimiento común:
3º Calculamos el vencimiento medio:
Aplicando la función NEPER calculamos ambos vencimientos:
En el interés compuesto no es aplicable la media aritmética del interés simple
2.7. Estimaciones duplicando el tiempo y la tasa de interés
Usualmente, las entidades financieras para captar ahorristas, ofrecen que duplicarán sus depósitos y los pronósticos de las entidades de control estadístico de los países afirman que la población de tal o cual ciudad ha duplicado en tal o cual período.
Cuando calculemos los períodos n, la tasa de retorno o tasa de crecimiento i emplearemos las fórmulas cuyos resultados son matemáticamente exactos (teóricos) conociendo uno de ambos valores.
Al determinar la tasa de interés compuesto es posible también utilizar la regla del 72 para estimar i o n, dado el otro valor. Con esta regla, el tiempo requerido para duplicar sumas únicas iniciales con interés compuesto es aproximadamente igual a 72 dividido por el valor de la tasa de retorno (en porcentaje) o los períodos de tiempo n.
Estimando:
Ejercicio 52 (Duplicando el valor del dinero)
- Calcular el tiempo aproximado en que tardaría en duplicarse una cantidad de dinero a la tasa compuesta del 7% anual.
- Calcular la tasa necesaria de rendimiento para duplicar un monto en 18 años.
Solución (1):
VF = 2; VA = 1; i = 0.07; n =?
1º Calculamos el valor de n:
2º Ahora calculamos el valor de n:
Solución (2):
VF = 2; VA = 1; n = 18; i =?
1º Calculamos el valor de i:
2º Con la regla del 72:
En ambos casos (1) y (2) los resultados varían ligeramente.
Si la tasa es de interés es simple, resolvemos el caso aplicando las fórmulas [11] y [13], o también aplicando la regla de 100 en la misma forma que para el interés compuesto. En este caso las respuestas obtenidas siempre serán exactas.
Aplicamos también las fórmulas [11], [13], [22] y [23] cuando un capital es triplicado, cuadruplicado, quintuplicado, etc.
Ejercicio 53 (Duplicando el valor del dinero)
- Calcular el tiempo en que tarda en duplicarse una cantidad de dinero a interés simple de 8% anual.
- Calcular la tasa de interés simple para duplicar un monto en 15 años.
Solución (1):
VF = 2; VA = 1; i = 8; n =?
1º Calculamos el valor de n:
2º Calculamos el valor de n, aplicando la regla del 100:
Solución (2)
VF = 2; VA = 1; n = 15; i =?
1º Encontramos el valor de i, con la fórmula [11]:
y obtenemos:
2º Calculamos el valor de n, aplicando la regla del 100:
Como vemos, los resultados son exactamente iguales.
2.8. Tasa variable durante el período que dura la deuda
Las tasas de interés sobre las inversiones varían muy a menudo. Para calcular el valor futuro (monto), cuando la tasa de interés ha cambiado una o más veces, multiplicamos el capital por el factor simple de capitalización (FSC) (1 + i)n para cada tasa de interés con su respectivo período de capitalización.
Ejercicio 54 (Calculando el VF)
Si invertimos UM 5,000 en un banco que paga 5% los primeros tres años, 3.8% los cinco siguientes y 6.5% los otros siete años. ¿Cuál será el monto de la inversión al final de los quince años?
Solución:
VA = 5,000; n = 3, 5 y 7; i = 0.05, 0.038 y 0.065; VF =?
VF = 5,000*1.053*1.0385*1.0657 = UM 10,838.57
Interés Simple
Ejercicio 55 (Valor futuro)
Calcular el monto acumulado de una inversión de UM 12,000 durante 10 meses al 22% anual.
Solución:
VA = 12,000; n = (10/12) = 0.8333; i = 0.22; VF =?
Respuesta:
El monto acumulado es UM 14,199.99
Ejercicio 56 (Interés)
Calcule el interés simple ordinario de un capital de UM 3,500 colocado en el banco desde el 13 de marzo al 25 de mayo del 2004, a una tasa del 2% mensual.
Solución:
Aplicando Excel calculamos los días exactos:
VA = 3,500; n = 73 días; i = (0.02/30) = 0.00066; I =?
[8] I = 3,500*0.00066*73 = UM 170.16
Respuesta:
El interés simple ordinario es de UM 170.16
Ejercicio 57 (Interés)
Determinar el interés de UM 10,000 durante 4 meses al 12% de interés anual.
Solución:
VA = 10,000; n = 4; I =?
Como el tiempo está expresado en meses, calculamos el equivalente en base mensual del 12% anual (cuando tenemos un tipo de interés y no indica nada, sobreentendemos que es anual).
[8] I = 10,000 * 0.01 * 4 = UM 400
Podríamos también haber dejado el tipo anual y colocado el plazo (4 meses) en base anual (4/12). El resultado habría sido el mismo:
[8] I = 10,000*0.12*4/12 = UM 400
Respuesta:
El interés es UM 400
Ejercicio 58 (Valor futuro total)
Dentro de 6 y 9 meses recibiremos UM 25,000 y UM 35,000 respectivamente, y ambas sumas de dinero lo invertimos al 18% de interés anual. Determinar el monto dentro de un año.
Solución:
VA1 y 2 = 25,000 y 35,000; n = 0.5 y 0.25; i = 0.18; I =?
1) Dejamos el tipo de interés en base anual y expresamos el plazo en años. El plazo son 6 meses (6/12 = 0.5 años), recibimos el dinero dentro de 6 meses y lo invertimos hasta dentro de 1 año:
[5] VF1 = 25,000 (1 + 0.18*0.5) = UM 27,250.00
2) El plazo es de 9 meses (9/12 = 0.25 años), recibimos el capital dentro de 9 meses y si invertimos hasta dentro de 1 año:
[5] VF2 = 35,000 (1 + 0.18*0.75) = UM 39,725
Respuesta:
Sumando los dos montos tendremos dentro de un año:
VFT = 27,250 + 39,725 = UM 66,975.00
Ejercicio 59 (La mejor alternativa)
¿Determine qué es preferible, recibir UM30, 000 dentro de 4 meses, UM 20,000 dentro de 7 meses o UM 50,000 dentro de 1 año, si estos montos los puedo invertir al 18%?
Solución:
VF = 30,000, 20,000 y 50,000; i = 0.18; VF2…3 =?
Entre la 1ª y 2ª opción (recibir UM 30,000 dentro de 4 meses o UM 20,000 dentro de 7 meses), obviamente, es preferible la primera, el monto es mayor y recibimos antes. Por lo tanto, la 2ª opción queda descartada, habrá de comparar la 1ª con la 3ª (recibir UM 50,000 dentro de 1 año). Como estos montos están situados en momentos distintos, no comparamos directamente, deben llevarse a un mismo instante. Vamos a calcular los importes equivalentes dentro de 1 año (podríamos haber elegido otro momento, por ejemplo el momento actual).
1º monto: El plazo es de (12-4) = 8 meses, es decir, (8/12) = 0.66 años
[5] VF1 = 30,000 (1 + 0.18*0.66) = UM 33,564.00
3º monto: No calculamos intereses, el monto lo recibimos dentro de 1 año.
VF3 = 50,000
Respuesta:
Obviamente, la 3º alternativa es la más ventajosa.
Descuento Simple
Ejercicio 60 (Descuento Bancario Simple)
Calcular el descuento por anticipar un capital de UM 20,000 por 8 meses al 18% de interés anual n está expresado en meses, calcular la tasa de descuento d en base mensual.
Solución:
VN = 20,000; n = 8; d = (0.18/12) = 0.015; D =?
[14A] D = 20,000*8*0.015 = UM 2,400
Respuesta:
Descuento UM 2,400.
Ejercicio 61 (Descuento Bancario Simple)
Calcular el monto recibido por el beneficiario del capital, en la operación anterior.
Solución:
VN = 20,000; D = 2,400; VA =?
[15A] VA = 20,000 – 2,400 = UM 17,600
Respuesta:
Monto realmente recibido en efectivo UM 17,600
Ejercicio 62 (Descuento Bancario Simple)
Descuentan UM 30,000 por 6 meses y UM 80,000 por 5 meses, al 18% de descuento. Determinar el capital actual total de las dos operaciones.
1º Solución:
VN1 = 30,000; n = (6/12) = 0.5; d = 0.18; DC =?; VA1 =?
1º Calculamos el descuento:
[14] DC = 30,000*0.18*0.5 = UM 2,700
Dejamos el tipo de interés en base anual y expresamos el plazo en años: 6 meses equivale a 0.5 años (6/12). Hubiera dado igual dejar el plazo en meses y calcular el tipo de descuento mensual equivalente.
[15] VA1 = 30,000 – 2,700 = UM 27,300
2º Solución:
VN2 = 80,000; n = 5/12 = 0.4167; d = 0.18; DC =?; VA2 =?
[15] DC = 80,000*0.18*0.4167 = UM 6,000.48
[15A] VA2 = 80,000 – 6,000 = UM 73,999.52
Sumando los dos montos obtenemos: VAT = VA1 + VA2
VAT = 27,300 + 73,999.52 = UM 101,299.52
Respuesta:
El capital total actual descontado de ambas operaciones es UM 101,299.52
Ejercicio 63 (Descuento Bancario Simple)
Un empresario descuenta UM 60,000 por el plazo de 4 meses y los intereses del descuento son UM 5,000. Calcular el tipo de descuento.
Solución:
DC = 5,000; VN = 60,000; n = (4/12) = 0.3333; d =?
[15] 5,000 = 60,000*d*0.3333
Respuesta:
El tipo de descuento anual es 25%.
Ejercicio 64 (Descuento Bancario Simple)
Calcular el descuento por anticipar UM 25,000 por 5 meses al 15% de descuento.
Solución:
VN =25,000; n = (5/12) = 0.4167; d =0.15; DC =?
[15] DC = 25,000*0.15*0.4167 = UM 1,562.51
Ejercicio 65 (Descuento Bancario Simple)
Si descuentan un capital de UM 50,000 por 4 meses y los intereses de descuento han ascendido a UM 2,000. Calcular el tipo de descuento aplicado.
Solución:
VN = 50,000; n = (4/12) = 0.3333; DC = 2,000; d =?
Calculamos el tipo de descuento:
[15] 2,000 = 50,000*d*0.3333
Respuesta:
Luego, el tipo de descuento aplicado es el 12%.
Ejercicio 66 (Descuento Bancario Simple)
Calcular el plazo del descuento, si descuentan UM 80,000 al 18% y los intereses de descuento ascienden a UM 7,000.
Solución:
VN = 80,000; d = 0.18; DC = 7,000; t =?
1º Calculamos el plazo:
[15] 7,000 = 80,000*0.18*n
0.4161*12 = 5.8333 meses
0.8333*30 = 25 días
Respuesta:
El plazo del descuento ha sido 5 meses con 25 días.
Ejercicio 67 (Descuento Bancario Simple)
Los intereses de descuento de anticipar un capital por 9 meses, al 12% anual, ascienden a UM 22,000. Calcular el importe líquido (VA).
Solución:
DC= 22,000; n = (9/12) = 0.75; d = 0.12; VN =?; VA =?
1º Calculamos el valor nominal:
[15] 22,000 = VF*0.12*0.75
2º Calculamos el VA líquido o capital inicial, neto recibido:
[15A] VA = 244,444.44 – 22,000 = UM 222,444.44
Respuesta:
El capital o valor líquido es de UM 222,444.44
Interés Compuesto
Ejercicio 68 (Valor futuro)
Calcular el monto a pagar dentro de dieciocho meses por un préstamo bancario de UM 30,000, si devenga el 22% nominal con capitalización trimestral.
Solución:
VA = 30,000; n (18/3) = 6; j = 0.22; VF =?
1º Para determinar el monto acumulado (VF), luego de 18 meses (6 trimestres), de un capital inicial de UM 30,000, necesitamos calcular la tasa efectiva trimestral equivalente a partir de la tasa nominal con capitalización trimestral del 22%: i = 0.22/4 = 0.055
Respuesta:
El monto a pagar es UM 41,365.28
Ejercicio 69 (Valor Actual)
Daniel desea viajar al extranjero dentro de 18 meses en un tour cuyo costo es UM 10,000. Quiere saber cuánto debe depositar hoy para acumular esa cantidad, si el dinero depositado a plazo fijo en el Banco gana el 12% efectivo anual.
Solución:
VF = 10,000; n = 18; i = (0.12/12) = 0.01; VA =?
Respuesta:
Daniel debe depositar hoy UM 8,360.17
Ejercicio 70 (Interés simple versus interés compuesto)
Determinar el interés de UM 150,000 invertido durante un año y medio al 18% anual, aplicando capitalización simple y capitalización compuesta.
Solución:
VA = 150,000; n = 18; i = (0.18/12) = 0.015; I =?
a) A interés simple : [8] I = 150,000*0.015*18 = UM 40,500
b) A interés compuesto : [20] I = 150,000(1.01518 – 1) = UM 46,101
COMPARACION:
[5] VF (INT. SIMPLE) = 150,000(1+0.015*18) = UM 190,500
[19] VF(INT. COMPUESTO) = 150,000(1+0.015)18 = UM 196,101
También obtenemos éstas dos últimas cantidades con la fórmula: [9] VF = VA + I.
Ejercicio 71 (Valor futuro total)
Si recibo UM 80,000 dentro de 5 meses y otro capital de UM 45,000 dentro de 8 meses. Ambos lo invierto al 15% anual. ¿Qué monto tendré dentro de 1 año, aplicando capitalización compuesta?
Solución
VA5 y 8 = 80,000 y 40,000; i = 0.15; VFT =?
Calculamos el capital final de ambos montos dentro de 1 año y los sumamos. Como la tasa es anual la base debe ser anual:
Para 5 meses (5-12 = 7/12 = 0.5833) y para 8 meses (8 – 12 = 4/12 = 0.333)
[19] VF5 = 80,000(1.15)0.5833 = UM 86,795.47
[19] VF8 = 40,000(1.15)0.3333 = UM 41,907.58 UM 128,703.05
Respuesta:
Capital final dentro de un año UM 128,702.05
Ejercicio 72 (Tasa de interés simple y compuesto)
Si UM 150,000 generan intereses durante 6 meses de UM 30,000. Determinar el tipo de interés anual si fuera a interés simple y a interés compuesto.
Interés simple:
VA = 150,000; I = 30,000; n = 6; i =?
[9] VF = 150,000 + 30,000 = UM 180,000
0.03333*12 = 0.40 anual
Interés compuesto:
VA = 150,000; I = 30,000; n = 0.5; i =?
[9] VF = 150,000 + 30,000 = UM 180,000
Anual = 0.0309 * 12 * 100= 37.02%
Respuesta:
La tasa de interés simple anual es 40%
La tasa de interés compuesto anual es 37.02%
Descuento Compuesto
Ejercicio 73 (Descuento racional compuesto)
Determinar el descuento compuesto racional al 7% de interés anual, capitalizable trimestralmente, sobre UM 5,000 a pagar dentro de 5.5 años.
Solución:
VN = 5,000; n = (5.5*4) = 22; m = 4; d = (0.07/4) = 0.0175; DR =?
Respuesta:
El descuento racional compuesto es UM 1,586.40
Ejercicio 74 (Tasa de interés a una tasa de descuento dada)
Si asumimos la tasa de descuento del 7% anual en operaciones de dos o más años, ¿a qué tasa de interés, capitalizable anualmente, equivale?
Solución:
d = 0.07; i =?
Respuesta:
La tasa de descuento del 7%, con capitalización anual equivale a otra de interés del 7.53%, anual.
Ejercicio 75 (Tasa de descuento a una tasa de interés dada)
Calcular la tasa de descuento compuesto anual, equivalente a otra de interés del 7%, capitalizable anualmente.
Solución:
i = 0.07; d =?
Respuesta:
El tipo de interés del 7%, capitalizable anualmente, es equivalente a la tasa de descuento del 6.54% anual.
Comentario:
Como apreciamos, en ambas fórmulas operamos con la tasa periódica, en nuestro caso anual.
Ejercicio 76 (Descuento Bancario Compuesto)
Determinar el descuento por anticipar un capital de UM 40,000, durante 7 meses, al tipo de interés del 14% anual.
Solución:
VF = 40,000; i = 14/12 = 0.01167; n = 7; D =?
Respuesta:
El descuento compuesto verdadero es de UM 3,120.26
Ejercicio 77 (Descuento Bancario Compuesto)
Descontar el capital de UM 150,000, por el plazo de 6 meses al 17%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización compuesta) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés.
Solución:
VF = 150,000; i = 0.17; n = 6/12 = 0.5; VA =?
1º Descontamos con la fórmula:
Una vez obtenido el capital descontado, capitalizamos aplicando la fórmula de capitalización compuesta:
[19] VF = 138,675*1.170.5 = UM 150,000
Como vemos, cumplimos el concepto de equivalencia y retornamos al capital de partida. El descuento compuesto, al igual que la capitalización compuesta puede utilizarse indistintamente en operaciones de corto plazo (menos de 1 año) y largo plazo. En este sentido contrasta con el descuento comercial y el racional, que sólo es utilizado en operaciones de corto plazo.
Ejercicio 78 (Tasa de descuento equivalente)
Si el banco dice cobrar la tasa de interés de 30% anual, liquidado cada mes, vencido, ¿a qué tasa de interés mes anticipado corresponde ese interés?
El interés mensual vencido es :
0.30/12= 0.025= 2.5%
El interés mensual anticipado es :
Luego, la tasa equivalente mes vencido es 2.49% mes anticipado.
Ejercicio 79 (Descuento Bancario Compuesto)
Si solicitamos un pagaré al Banco por UM 20,000 a pagar luego de 90 días. Si la tasa de interés vigente en el mercado es del 18% anual y los intereses son cobrados por adelantado. ¿Cuánto le descontarán por concepto de intereses?, ¿Cuánto recibirá realmente? y ¿Cuánto pagará luego de los 90 días?
Solución: (18% / 360 = 0.05% diario)
VF = 20,000; n = 90 días; i = 0.0005 diario; VA =?
1º Calculamos el VA:
2º Calculamos el descuento: (I = D)
[7] D = 20,000 – 19,120.16 = UM 879.84
El descuento es UM 879.84 y el importe líquido a recibir es UM 19,120.16.
Respuesta:
Luego de los 90 días pagamos UM 20,000.
Ejercicio 80 (Descuento Bancario Compuesto)
¿Cuánto deberíamos haber solicitado para que después del descuento correspondiente obtuviéramos los UM 20,000 requeridos?
Solución: (18% / 360 = 0.05% diario)
VA = 20,000; n = 90 días; i = 0.0005 diario; VF =?
[19] VF = 20,000(1 + 0.0005)90 = UM 20,920
Comprobando:
Respuesta:
Luego el monto que deberíamos haber solicitado al Banco es UM 20,920, representa el valor nominal VF de la obligación.
Otras Aplicaciones del Interés Compuesto
Ejercicio 81 (Crecimiento poblacional)
La población de un año a otro creció de 8,000 a 8,200 habitantes. Asumiendo el crecimiento a ritmo compuesto anual constante. ¿Cuál será la población de la ciudad dentro de 15 años?
Solución:
VA = 8,000; VF = 8,200; n = 1; r = ?
Calculamos el ritmo de crecimiento (i) con la fórmula [1] y la función TASA:
2º Calculamos la población dentro de 15 años: VA = 8,200
[19] VF = 8,200(1 + 0.025)15 = UM 11,876 Habitantes
Respuesta:
La población dentro de 15 años será de 11,876 habitantes
Ejercicio 82 (Valor futuro de una población)
En una reserva nacional existen a la fecha 860 monos. Poblaciones de esta magnitud crecen al ritmo del 3.5% anual. ¿Cuántos monos habrá al cabo de 25 años, estimando el ritmo de crecimiento constante?
Solución:
VA = 860; i = 0.035; n = 25; VF =?
[19] VF = 860(1.035)25 = UM 2,032 monos
Respuesta:
Al cabo de 15 años la población de monos será de 2,023
Ejercicio 83 (Valor actual de una población)
En otra reserva parecida a la anterior no existen monos. ¿Cuántos monos trasladamos en este momento para tener la población de 990 dentro de 10 años considerando el 3.5% de crecimiento anual?
Solución:
VF = 990; i = 0.035; n = 10; VA = ?
1º Calculamos el VA:
Respuesta:
Debemos trasladar 702 monos
Ejercicio 84 (Tasa de crecimiento)
En la década de 1940 – 1950 la población mundial creció de 2,249 a 2,510 millones de habitantes. Calcular el ritmo compuesto de crecimiento anual.
Solución:
VA = 2,249; VF = 2,510; n = 10 (1950 – 1940); i =?
Respuesta:
El ritmo compuesto de crecimiento anual fue de 1.10% al año.
Por:
César Aching Guzmán
Página personal:
http://es.geocities.com/cesaraching
El presente trabajo corresponde al Capítulo II de la obra de mi autoría: "MATEMATICAS FINANCIERAS PARA TOMA DE DECISIONES EMPRESARIALES", que lo vengo difundiendo a través de Gestiópolis.com y Monografías.com . La revisión técnica estuvo a cargo del Ing. Jorge L. Aching Samatelo, conforman el equipo de edición:
COORDINACION GENERAL MARLENE SAMATELO VALDIVIA
DISEÑO CARATULA ANGELA BONINO VELAOCHAGA
DISEÑO Y DIAGRAMACION MARIA VICTORIA ANGULO JOHNSON
PROCESO DIGITAL CESAR ACHING SAMATELO
PAULA ENITH ACHING DIAZ
En el capítulo I, numerales 22 y 23 respectivamente, incorporamos FUNDAMENTOS MATEMATICOS y un manual de las FUNCIONES FINANCIERAS DE EXCEL utilizadas en la presente obra. El numeral 22 ha sido desarrollado por el Ing. Jorge L. Aching Samatelo.
Tanto el primer capítulo –ya publicado- como este, han sido procesados en MICROSOFT OFFICE DOCUMENT IMAGING, programa de la familia Microsoft Office con el que debe visualizarse ambos trabajos.
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