Propuesta de metodología a seguir para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y primer grado (página 2)
Enviado por Alejandro Mart�nez Castellini
La importancia del trabajo planificado y la racionalización del trabajo mental de los estudiantes adquiere cada vez mayor importancia desde el punto de vista social y en el sentido de una racionalización tanto externa (con ayuda de medios auxiliares) como interna (mediante la utilización consciente de procedimientos de solución y formas de trabajo y de pensamiento en la matemática),de ahí que este aspecto constituya punto de vista esencial para la estructuración de los métodos de enseñanza–aprendizaje de la matemática.
¿Cómo lograr en los estudiantes un trabajo racional, planificado y orientado hacia el objetivo (en particular la solución de problemas)?
Para desarrollar tal capacidad en los estudiantes tanto éstos como los profesores deben ser protagonistas de la llamada instrucción heurística por lo cual se entiende la enseñanza de manera consciente y planificada, tener conocimiento de las reglas generales y especiales de la heurística para la solución de problemas, o sea, impulsos o indicaciones que faciliten el descubrir, hallar, inventar vías de solución a problemas así como el reconocimiento de aquellos conocimientos de uso indispensable para alcanzar el éxito.
Según el criterio de algunos autores los elementos heurísticos se dividen en dos categorías: procedimientos heurísticos y medios auxiliares heurísticos (entre los cuales podríamos citar a los esquemas).
El empleo de la instrucción heurística en el proceso de enseñanza-aprendizaje es de vital importancia ya que contribuye a lograr:
la independencia cognoscitiva de los estudiantes.
la integración de los nuevos conocimientos, con los ya asimilados.
el desarrollo de operaciones intelectuales tales como: analizar, sintetizar, comparar, clasificar, etc. y de las formas de trabajo y de pensamiento fundamentales de la ciencia matemática: variación de condiciones, búsqueda de relaciones y dependencias, y consideraciones de analogía.
la formación de capacidades mentales, tales como: la intuición, la productividad, la originalidad de las soluciones, la creatividad, etcétera.
A lo largo del tratamiento del segundo tema de la asignatura matemática III en la Universidad de las Ciencias Informáticas se aborda la resolución de los siguientes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y primer grado:
Ecuaciones de variables separadas, de variables separables y reducibles a éstas.
Ecuaciones exactas.
Ecuaciones reducibles a exactas mediante la multiplicación por un factor integrante que depende de una sola variable.
Ecuaciones lineales.
Para cada uno de los tipos anteriores se estudia un método para encontrar la solución general de la ecuación dada, además se estudian algunas sustituciones que pueden ser utilizadas cuando la ecuación dada no es de un tipo conocido.
El estudiante, además de ser testigo de la necesidad de reactivar ciertas habilidades relacionadas con la derivación e integración de funciones reales de variable real, debe haberse percatado de que no existe un procedimiento algorítmico a aplicar a todas las ecuaciones de primer orden ,o sea, no se cuenta con una regla exacta sobre la ejecución de cierto sistema de acciones, en un determinado orden, que permita arribar a la solución general de cualquier ecuación diferencial de primer orden, sino que,(al igual que en el caso de la integración y el tratamiento de las series numéricas) el éxito depende de una abundante práctica la cual permitirá decidir en cada caso cómo escribir la ecuación y posteriormente elegir el método a aplicar.
De lo anteriormente planteado puede afirmarse que el primer problema que se nos presenta al tratar de resolver una EDO. (ecuación diferencial ordinaria) es el de reconocer de qué tipo es dicha ecuación y decidir qué metodología emplear para integrar (resolver) dicha ecuación. Para facilitar lo anterior daremos una propuesta de metodología, que se resume en el diagrama siguiente, para cuando por simple inspección no está en condiciones de elegir qué estrategia seguir. No es otra cosa que una sucesión de indicaciones de carácter heurístico para la orientación de las acciones de los estudiantes en medio de la necesidad de resolver una ecuación diferencial de primer orden y primer grado.
Propuesta de metodología para abordar la resolución de ecuaciones diferenciales de 1er orden y 1er grado.
Nota:
Reconocer por simple inspección de qué tipo es la ED. dada significa detectar si es una ecuación lineal o si es una ED. que tiene ya sus varibles separadas, porque en cualquier otro caso resulta , por lo general , dificil determinar por simple inspección de qué tipo se trata. El último bloque indica la posibilidad de resolver una ED que no sea de los tipos estudiados, haciendo alguna sustitución conveniente que permita transformar la ED. dada en una de alguno de los tipos estudiados.
A continuación se presentan algunos ejemplos a modo de ilustración de aplicación de la propuesta de metodología.
Ejemplo1
Intentemos separar las variables. Esta es una ecuación de variables separables, ya que se logra separar las variables:
Ahora procedemos a integrar en ambos miembros.
Solución general en forma implícita)
En este caso no es difícil obtener la solución general en forma explícita.
Ejemplo 2
¿Reconocemos de qué tipo es la ecuación? Supongamos que la respuesta no es afirmativa.
No identificamos, por simple inspección, de qué tipo es la ecuación, por lo que intentaremos separar las variables. En esta ecuación aparece despejada la derivada, por lo que si se lograra factorizar el polinomio que constituye el segundo miembro de esta ecuación en un producto de dos factores donde uno de ellos dependa solo de x y el otro dependa solo de ¨y¨lograremos reconocer una ecuación de variables separables.
Si se factoriza (mediante agrupamiento de sus términos) dicho polinomio la ecuación nos queda:
Separemos variables e integrando miembro a miembro:
Ejemplo 3
¿Reconocemos de qué tipo es la ecuación? Supongamos que la respuesta no es afirmativa.
¿Podremos separar las variables?
No logramos clasificar la ecuación ni logramos separar las variables. Escribamos la ecuación en forma diferencial.
Aquí debe notarse que la ecuación no admite separar sus variables (¿Por qué?). Analicemos si es exacta.
La ecuación no es exacta.(¿Por qué?) ¿Será reducible a una ecuación exacta?
La ecuación admite una infinidad de factores integrantes que dependen solo de "y". Tomemos el que corresponde a c=0 y multipliquémosla por dicho factor.
Como la ecuación es exacta hallemos la función de la cual el primer miembro es la diferencial total.
Pero 
Entonces podemos plantear la siguiente cadena de igualdades:
La solución general (en forma implícita) de la ecuación puede escribirse así:
Ejemplo 4
¿Reconocemos de qué tipo es la ecuación?
Supongamos que no reconocemos de qué tipo es la ecuación. Escribamos la ecuación en la forma:
¿Y si invertimos las razones en cada uno de los miembros de la ecuación?
Obtenemos la ecuación
Esta ecuación es de la forma x"(y)+p(y)x=q(y),por lo que es una ecuación lineal de primer orden. Toda ecuación lineal de primer orden admite un factor integrante el cual ,en este caso, se obtiene mediante la fórmula 
Al multiplicar la ecuación por este factor integrante se obtiene:
Le invitamos a verificar que esta manera de escribir la solución es equivalente a la obtenida en el ejemplo anterior.
Con la resolución de los ejemplos 3 y 4 el autor quiere hacer notar cómo una misma ecuación diferencial puede ser abordada a partir de ofrecer para ella distintos puntos de vista de clasificación.
Ejemplo 5
No logramos clasificarla a simple vista. Rescribamos la ecuación.
Podemos considerar esta ecuación como una ecuación de Bernoulli ya que tiene la forma 
Hagamos la sustitución 
Sustituyamos esta igualdad en la ecuación 
para reducirla a una ecuación lineal de primer orden.
Esta ecuación lineal es a su vez una ecuación de variables separables.
Ejemplo 6
No identificamos el tipo de ecuación a simple vista por lo que decidimos intentar separar las variables.
Logramos que se separaran las variables.
Una vez más se ha querido ilustrar cómo abordar una misma ecuación diferencial desde distintos puntos de vista.
Ejemplo 7
No logramos clasificar la ecuación tal como se nos presenta.
¿Logró separar las variables?
No es posible separar las variables pero la ecuación está dada en la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,por lo que analizaremos si es exacta.
La ecuación no es exacta. ¿Será reducible a exacta por medio de un factor integrante que dependa de una sola variable?
No logramos nuestro objetivo (un factor integrante que dependa de una sola variable).
Rescribamos la ecuación:
La ecuación obtenida es una ecuación de Bernoulli. Le invitamos a que concluya el ejercicio.
Respuesta:
Ejemplo 8
Si dividimos la ecuación por el coeficiente de la derivada obtenemos la ecuación
Esta es una ecuación lineal de primer orden.
Le invitamos a concluir la resolución de esta ecuación.
Respuesta:
Ejemplo 9
Aquí desarrollaremos un ejemplo que requiere componer previamente la ecuación a clasificar y resolver con posterioridad. Se trata de las trayectorias ortogonales de una familia de curvas.
Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas dada por 
Recordemos que trayectoria ortogonal de una familia de curvas es toda curva que sea ortogonal en algún punto a cada miembro de la familia dada. De lo antes dicho se concluye que cualquiera de estas curvas tiene la propiedad de que en cualquiera de sus puntos la recta tangente es perpendicular a la tangente de algún miembro de la familia en dicho punto.
¿Cuál es la ecuación paramétrica que describe la familia de curvas?
Hallemos la expresión correspondiente a las respectivas pendientes de sus tangentes, para lo cual derivamos ambos miembros de esta ecuación.
¿Cómo viene dada la pendiente de cualquier recta perpendicular a una cualquiera de estas tangentes?
Como estamos haciendo referencia a rectas en un plano cartesiano, mutuamente perpendiculares, entonces sus pendientes (en caso de estar definidas) son, cada una, el opuesto del recíproco de la otra.
Entonces en la ecuación anterior hacemos el cambio:
De donde se obtiene:
Si despejamos k de la ecuación de la familia de curvas y sustituimos en la ecuación anterior nos queda:
Esta ecuación la identificamos como una ecuación de variables separables ya que su segundo miembro se expresa como producto de un factor que depende solo de x y otro que depende de "y". Resolvámosla.
Asignémosle algunos valores a c y hagamos un gráfico en el asistente matemático Derive.
Ejemplo 10
¿Reconoce el tipo de ecuación?
Aquí tenemos una ecuación en la forma 
por lo que resulta ser una ecuación reducible a una ecuación de variables separables mediante la sustitución z=ax+by+c.
En este caso hagamos z=x+y-2.
A continuación se propone un grupo de ejercicios en los cuales (al menos en el caso de los estudiantes principiantes) se sugiere seguir las sugerencias de la metodología propuesta.
Ejercicio
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando en cada caso el método analítico que considere más apropiado. Hállense las soluciones particulares en los casos que se brinden condiciones para ello. En cada caso de ser posible corrobore la respuesta en Derive.
a)
Respuesta:
b)
Respuesta:
c)
Respuesta:
d)
Respuesta:
e)
Respuesta:
f)
Respuesta:
g)
Respuesta:
h)
Respuesta:
i)
Respuesta:
j)
Respuesta:
k)
Respuesta:
l)
Respuesta:
ll) 
Respuesta:
m)
Respuesta:
n)
Respuesta:
Conclusiones
Con los ejemplos desarrollados en este material se ha querido ilustrar una propuesta de cómo proceder para resolver, mediante métodos analíticos, una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que sea integrable en cuadraturas, siguiendo la metodología propuesta.
Se hace imprescindible una abundante práctica siempre que se persiga como finalidad el que el estudiante desarrolle las habilidades necesarias para lograr decidir qué método elegir en cada caso que se presente, hasta llegado el momento en que resuelva ecuaciones diferenciales sin necesidad de consultar el conjunto de indicaciones de carácter heurístico presentado.
Recomendaciones
Se recomienda tanto a estudiantes como a profesores (en particular a profesores de matemática III en la UCI) que estudien este material y posteriormente valoren y comuniquen al autor de este trabajo en qué medida les ha sido útil, en el caso de los primeros en el desarrollo de sus clases y, en el caso de los segundos, a la hora de resolver una tarea que requiera resolver mediante métodos analíticos una ecuación diferencial ordinaria de primer orden integrable en cuadraturas.
Bibliografía
Colectivo de autores. Ecuaciones Diferenciales. Editorial Pueblo y Educación. La Habana.1985.Pp 66; 67.
Colectivo de autores. Metodología de la enseñanza de la matemática. Tomo I. Editorial Pueblo y Educación. La Habana.1992.Pp 223; 225; 226.
A mis alumnos, a los estudiantes y a profesores de matemáticas.
Autor:
Alejandro Martínez Castellini
Universidad de Ciencias Informáticas
Facultad 7
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