PRESENTACIÓN
El desarrollo de la competencia lectora, abarca en el ser humano tanto la capacidad de acceder al texto, como la de extraer de él datos y referentes con los que se tiene la posibilidad de argumentar.
Cuando se alcanza este estado cognitivo, se logra combinar un conjunto de variables y alternativas con las que se llega de manera un tanto aleatoria a la solución de situaciones problema.
El presente compendio, seleccionado y desarrollado por el Magister José Cristian Calderón Rueda, es una muestra del progreso de la competencia lectora, cuyos resultados le han propiciado avances de manera personal.
Asumiendo los retos de las pruebas para calificación y ascenso propuestas por el Estado para los docentes y mediante una observación perspicaz, el autor consigue seleccionar aquellos problemas referentes y propone para ellos soluciones claves, en las que se utiliza muchas veces procedimientos y relaciones más intuitivos que racionales.
De esta forma ha llegado a la construcción de este libro, fruto de su trabajo y experiencia en la solución de situaciones problema, que expone para su estudio al servicio de estudiantes, docentes y demás personas, que como él, se interesan por los curiosos y apasionantes retos de los enigmas matemáticos.
Queda entonces en sus manos amigo lector, este texto del que se espera logre sacar el mayor provecho en el desarrollo de su aptitud matemática, para los retos que en la vida depara la construcción de méritos personales.
Gabriel Ayala Pedraza
Escritor.
INTRODUCCIÓN
Interesado en ascender en el escalafón docente, me di a la tarea de resolver ejercicios de habilidades matemáticas planteados por Vanguardia Liberal, un periódico de la ciudad de Bucaramanga (Colombia), así como los ejercicios propuestos por el Grupo GEARD y por Milton Ochoa, capacitadores de docentes en nuestro país. El solucionario de aptitud matemática como lo denominé contiene 100 ejercicios resueltos, teniendo en cuenta las interpretaciones algebraicas pedidas en cada problema en particular, así como desarrollo de sistemas de ecuaciones con dos y tres incógnitas, aplicación del teorema de Pitágoras, regla de tres simple, regla de tres compuesta, máximo común divisor, mínimo común múltiplo, porcentajes, fraccionarios, áreas, volúmenes, reparto directa e inversamente proporcional, progresiones, probabilidades y lógica matemática a manera de miscelánea, para que el lector tenga la posibilidad de encontrar en este documento la variedad de temas que debe estudiar o repasar para presentar la prueba del concurso docente denominada aptitud matemática.
La idea de solucionar problemas matemáticos que solamente están propuestos y no tienen procedimiento, ni respuesta, se apoya en la necesidad que tienen los maestros, licenciados y concursantes en general de tener un libro guía donde encuentre solución a sus dudas y tengan la oportunidad de interpretarlo, analizarlo y asociarlo a sus presaberes matemáticos.
Los presaberes matemáticos que el lector debe conocer son suma, resta, multiplicación y división de números fraccionarios, operaciones básicas con números enteros, ecuaciones lineales con una, dos y tres incógnitas, despeje de formulas y conocimientos básicos de lógica matemática.
Todos los problemas están resueltos de una sola manera, excepto el ejercicio 100 que se solucionó a propósito, de tres formas distintas para que el lector observe por cuál método es más sencillo resolver y pueda así determinar y desarrollar de otra manera diferente los otros 99 ejercicios. Los ejercicios se resolvieron de la manera más fácil vista por el autor, pero como hay diferentes formas de solucionar un problema, el lector puede intentarlo por la manera más viable posible, teniendo en cuenta que en la solución encuentre la respuesta correcta, por eso algunos ejercicios se resuelven solamente teniendo en cuenta las respuestas; simplemente se comprueba y se verifica la respuesta verdadera, demostrándole al lector que cuando se resuelven problemas de aptitud matemática se van adquiriendo ciertas habilidades de pensamiento lógico.
Para resolver problemas cada disciplina posee unas estrategias y las matemáticas se guían por ejemplo por la formulación de (Polya, 1945) que relaciona las cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema en particular:
Comprender el problema
Trazar un plan para resolverlo
Poner en práctica el plan (ejecutarlo)
Comprobar los resultados (revisar)
Se podría pensar que resolver problemas es la tarea de los científicos, en la actualidad se ha considerado como objetivo fundamental de la educación el desarrollo de las habilidades de pensamiento, las cuales cooperan al desarrollo de habilidades y competencias para la vida y coinciden con el planteamiento de Polya, quien señala: "Sólo los grandes descubrimientos permiten resolver los grandes problemas; pero en la solución de todo problema, hay un poco de descubrimiento; y sí se resuelve un problema y éste llega a excitar nuestra curiosidad, este tipo de experiencia, a una determinada edad, puede determinar el gusto por el trabajo intelectual y dejar, tanto en el espíritu, como en el carácter, una huella que durará toda una vida."
Como todo método la resolución de problemas tiene sus propias estrategias, las cuales se retoman de (Fernández, 1992): "ensayo – error, empezar por lo fácil. Resolver un problema semejante más sencillo. Manipular y experimentar manualmente. Descomponer el problema en pequeños problemas (simplificar). Experimentar y extraer pautas (inducir). Resolver problemas análogos (analogía). Seguir un método (organización). Hacer esquemas, tablas, dibujos (representación) Hacer recuento (conteo). Utilizar un método de expresión adecuado; verbal, algebraico, gráfico, numérico (codificar, expresión, comunicación). Cambio de estados. Sacar partido de la simetría. Deducir y sacar conclusiones (conjeturar). Analizar los casos límite. Reformular el problema. Suponer que no (reducción al absurdo). Empezar por el final (dar el problema por resuelto)". En el presente trabajo se busca aplicar el mayor número de secuencias; con el fin de facilitar los procesos de enseñanza aprendizaje y enriquecer la experiencia de los docentes interesados en mejorar las habilidades matemáticas
José Cristian Calderón Rueda
APTITUD MATEMÁTICA
1. En un colegio el número de estudiantes de sexto grado es ¾ del número de estudiantes del grado séptimo y el número de estudiantes del grado 6 representa la mitad de los estudiantes del grado 5. Si hay 36 estudiantes en grado séptimo; el número de estudiantes de grado 5 es:
A. 50 B. 108 C. 54 D. 27
Desarrollo
Es un problema de fracciones donde se bebe interpretar el texto36X3/4= 27 estudiantes de sexto grado.
Como el número de estudiantes del grado sexto (27) representa la mitad de los estudiantes del grado 5; entonces los estudiantes de quinto son 54. Luego la respuesta correcta es la C
2. En un concurso se hacen 40 preguntas y cada pregunta correcta se premia con 5 puntos buenos; mientras que cada pregunta mal respondida o contestada se califica con tres puntos malos. Si contestando todas las preguntas el resultado es cero; las preguntas correctas fueron
A. 5 B. 15 C. 20 D. 25
Desarrollo
Se prueba con las respuestas así:
5X5= 25 y 35X3= 105 entonces 105-25= 80 como el resultado no es cero, no corresponde la respuesta A
15X5= 75 y 25X3= 75 entones 75-75=0. Como el resultado es cero, la respuesta correcta es B
3. La suma de las edades de un padre y su hijo es 74 años y la diferencia es 26. La edad del padre es:
A. 45 B. 48 C. 50 D. 60
Desarrollo
Es un problema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Que se realizan según los datos del problema
Primera ecuación P+H=74
Segunda ecuación P-H=26.
Se despeja P para remplazarla en la primera ecuación P=26+H
Reemplazar en la primera ecuación 26+H+H=74 entonces 2H=74-26, ahora H=48/2 luego H=24. Por lo tanto la edad del hijo es 24
La segunda ecuación despejada es: P= 26+24 entonces la edad del padre es P=50. Luego la respuesta correcta es la C.
4. Tres veces la suma de dos números es 270 y cinco veces su diferencia son 50. El número menor es:
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
Desarrollo
Es un problema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Que se realizan según los datos del problema.
Primera ecuación 3(x + y) =270
Segunda ecuación 5 (x-y) =50.
Se ordenan las ecuaciones para que quede un sistema de ecuaciones así: Primera ecuación 3x+3y=270
Segunda ecuación 5x-5y=50
Multiplicar la primera ecuación por 5(3x+3y=270) y la Segunda ecuación por 3(5x-5y=50), dando como resultado lo siguiente
Primera ecuación 15x+15y=1350
Segunda ecuación 15x-15y=150 Sumar las dos ecuaciones
30x= 1500. Se despeja x= 1500/30, entonces x=50
Ya se halló x; ahora se debe hallar y. Remplazando en cualquier ecuación. Por comodidad se remplaza en la primera ecuación así: 3(50)+3y=270
150+3y=270
3y=270-150 y=120/3 y=40
Se compara los dos números hallados. Por lo tanto el número menor es 40 que corresponde a la respuesta D
5. Los ¾ de los 4/ 6 de 1/ 2 de 600 es
A. 240 B. 160 C. 150 D 120
Desarrollo
Es un problema de fraccionarios que se comienza analizar de para atrás así:
600 X 1/2= 300
300 X 4/6= 200
200 X 3/4= 150
Luego la respuesta correcta es la C
6. Qué hora es cuando el reloj señala los 5/6 de la mitad del triplo de las 8AM A. 9AM B. 10AM C. 11AM D 12AM
Desarrollo
Es un problema de fraccionarios y expresiones algebraicas que también se desarrolla de para atrás:
La expresión Algebraica 3(8)/2 corresponde a la mitad del triplo de las 8AM Entonces: 3(8)/2= 12
Ahora los 5/6 de la mitad del triplo es: 12X5/6 = 10 AM. Luego la respuesta correcta es la B
7. Una pizza es más costosa que un helado. Si la diferencia entre los dos precios excede en $ 600 a $ 15000 y el cociente de dichos costos es de 4. El valor del helado es:
A. $ 1500 B. $ 3600 C. $ 4500 D. $ 5200
Desarrollo
Es un problema de expresiones algebraicas, que se puede desarrollar
Como el cociente de los costos es 4. Buscar un número con las respuestas que multiplicado por 4 sea igual a un número mayor que 15600 que es la diferencia entre los dos precios.
Probar con 5200 X 4= 20800
Ahora 20800-15600= 5200 que corresponde a la respuesta D
Probar con 4500 X 4 = 18000
Ahora 18000-15600= 2400. Debería dar 4500, (porque se probo con la respuesta C), luego esa no es la respuesta verdadera
8. Dentro de 20 años tendré 3 veces la edad que tuve hace 10 años. Cuál fue mi edad hace tres años.
A. 25 años B. 30 años C. 19 años D. 22 años
Desarrollo
x= Edad Presente x+20 = Edad Futura x-10 = Edad Pasada
La ecuación se plantea teniendo en cuenta el enunciado: Dentro de 20 años tendré 3 veces la edad que tuve hace 10 años; se escribe así: x+20=3(x-10)
Se realizan operaciones para despejar x así: x+20=3x-30 x-3x= -30-20-2x= -50 x=25
Se halló x que corresponde a la edad presente, pero preguntan por la edad hace tres años, entonces 25-3= 22. Por lo tanto la respuesta correcta es D
9. Cuatro veces la diferencia de dos números es 120 y ocho veces su cociente es 24. El número mayor es:
A. 35 B. 40 C. 45 D. 60
Desarrollo
Es un problema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Que se realizan según los datos del problema.
Primera ecuación 4(x – y) =120
Segunda ecuación 8x = 24 y
Se ordenan las ecuaciones para que quede un sistema de ecuaciones así: Primera ecuación 4x-4y=120
Segunda ecuación; Se multiplica en cruz 8x=24y; se simplifica por 8, entonces resulta x=3y (segunda ecuación simplificada)
Se remplaza en la primera ecuación; 4(3y)-4y=120
12y-4y=120
8y=120 y=15
Se halló y; ahora se debe hallar x; remplazar en la segunda ecuación simplificada así: x=3(15) entonces x= 45; que corresponde al número mayor de los dos números hallados, luego la respuesta correcta es la C.
10. Un artículo cuesta $ 120.000, por cada 10 artículos que se compran, se rebajan $50.000. Si María compra 23 artículos, debe pagar
A. $3.600.400 B. $2.645.000 C. $5.600.300 D. $4.150.000
Desarrollo
Es un problema donde se aplica regla de tres simple
1articulo ? $120.000
23 artículos? x
x= 23X$120.000= $2"760.000. Valor de los 23 artículos
10 artículos ? $50.000
23 artículos ? x
x= (23 X 50.000)/10, luego x= $115.000. Valor del descuento
Luego María debe pagar $2"760.000-115.000= 2"645.000
11. Sandra le dice a Joanna: Si el duplo de la suma del costo de un saco y una falda es $ 78.000 y la mitad del total del costo de la falda y el pantalón es de $ 10.500 y el costo del saco más el pantalón es de $ 42.000; el costo del pantalón es:
A. $ 9.000 B. $ 12.000 C. $ 15.000 D. $ 21.00
Desarrollo
Es un problema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Que se realizan según los datos del problema.
2(s + f)=78.000
Primera ecuación: 2s+2f =78.000
Segunda ecuación: f/2+p/2 = 10.500 Se despeja f así: f= 21000-p Tercera ecuación: s + p= 42.000. Se despeja s así: s=42.000-p Se remplaza en la primera ecuación así:
2(42.000-p)+2(21.000-p) =78.000
84.000-2p+42.000-2p= 78.000
-4p=78.000-84.000-42.000
-4p=-48.000 p= 12000
Luego el precio del pantalón es $12.000. Entonces la respuesta correcta es B
12. La edad de Iván es el triple de la de Laura, si la suma de sus edades es 48 años. La edad de Iván en años es
A. 38 B. 42 C. 36 D. 27
Desarrollo
Es un problema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Que se realizan según los datos del problema
Primera ecuación I=3L Segunda ecuación I+L=48. Despejar L= 48-I
Reemplazar en la primera ecuación
I=3(48-I) I=144-3I
4I=144
I=36
La respuesta correcta es C
13. Un número que elevado al cubo y a la quinta parte de esta potencia sumada con 800 y dividida en 2 nos da 500 es:
A. 10 B. 100 C. 500 D. 1.000
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