Indice1. Teorema de pitagoras3. Observaciones.4. Lema (1-D). Conformación de las ternas originales fraccionarias.5. Clasificación de las ternas originales.6. Las ternas primarias..7. Secuencia de las raíces.8. Los triángulos rectángulos isósceles.9. Triángulos con ángulos complementarios de 300 y 60010. Interpretación geométrica.11. Lugar geométrico.12. Funciones trigonométricas.
1. Teorema de pitagoras
El conocimiento del teorema de Pitágoras es milenario y no obstante que ha sido demostrado en muchas formas diferentes y de que aparentemente ya se conoce todo con respecto a este teorema, muchas propiedades sorprendentes de la ecuación Pitagórica han permanecido ocultas.
Damos gracias a Dios por concedernos la percepción de algunas de esas maravillas.
En esta lectura se propone un método para clasificar las ternas pitagóricas, este método constituye la verdadera y completa solución de la ecuación pitagórica y también les confiere a dichas ternas su estado normal en armonía con las leyes naturales.
Si 
son enteros y 
satisfacen 
, entonces existen infinitas ternas pitagóricas con diferente configuración, como se muestra a continuación:
Actualmente, bajo el criterio vigente, para asignar a una terna la categoría de primitiva, es suficiente que la terna satisfaga las siguientes dos condiciones:
satisfacen, entonces existen infinitas ternas Pitagóricas con diferente configuración, como mostramos enseguida:
La nueva solución está basada en el origen numérico de la ecuación y corrige la antigua y errónea clasificación para las llamadas "ternas pitagóricas primitivas", También unifica bajo un criterio generalizado las leyes que rigen sus diferentes parámetros de conformación.
Seguidamente mostramos varios conjuntos de ternas Pitagóricas con diferentes valores de 
que además de las condiciones expuestas anteriormente también satisfacen que.
Para 
:
Para 
{8, 15, 17}, {12, 35, 37}, {16, 63, 65}, {20, 99, 101}, {24, 143, 145}
Para 
:
Para 
Podemos apreciar que la secuencia de las diferencias, es decir, la diferencia entre las magnitudes correspondientes a la hipotenusa y el cateto mayor es: 
A continuación determinaremos cual es el patrón general para la conformación de la ecuación:
Si 
entonces 
puede ser un entero par o impar.
es impar sí y solo sí 
es decir, el cuadrado de cualquier número impar.
es par si y solo si 
es decir, que partiendo de la diferencia entre cada dos de los números siguientes se incrementa sucesivamente en 4 unidades, enseguida se muestra la secuencia ascendente del incremento de la diferencia:
La siguiente es la secuencia de conformación de:
La solución ancestral para la ecuación 
, (1.1)
El texto en negrilla fue traducido literalmente del libro "13 lectures on Fermat's last theorem" por Paulo Ribenboim. AMS classification (1980): 10-03, 12-03, 12Axx
Sí son enteros, diferentes de cero, que satisfacen (1.1)
Considerando los valores absolutos 
, estos números son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo
Para determinar todas las soluciones enteras no triviales de (1.1), basta determinar las llamadas ternas pitagóricas primitivas
, 
, 
.
El siguiente teorema da una descripción completa de las denominadas ternas primitivas:
(1A) Si 
son enteros diferentes de cero y de paridad diferente,
Si se cumple que: 
Entonces la terna 
es denominada Pitagórica primitiva.
El siguiente texto, entre [ ], fue traducido del libro de Paulo Ribenboim "13 lectures on Fermat's last theorem". AMS clasificación (1980): 10-03, 12-03, 12Axx.
[ Las menores ternas primitivas ordenadas de acuerdo a incrementos en los valores de z, son las siguientes:
Fermat demostró el siguiente teorema: n > 0 es la suma de los cuadrados de dos números enteros Sí y solo si cada factor primo p de n, tales que p º 3 (mod. 4), aparece como una potencia par en la descomposición de n en factores primos.
Para encontrar el número de representaciones de la suma de dos cuadrados. Si r(n) es el número de parejas de enteros (a, b) de manera que n = 
. Por ejemplo, r (1) = 4 y r (5) = 8. La determinación de r (n) en factores primos fue elaborada independientemente por Gauss y Jacobi:
, donde:
| 1 £ d, d ½ n, 
| 1 £ d, d ½ n, 
]
2. La verdadera y completa solución
Demostraremos, que una terna Pitagórica es original, si y solo si satisface los parámetros que posteriormente serán definidos, tales parámetros determinan que las ternas originales se configuran exclusivamente en la forma: 
, de manera que
.
Denomino original a toda terna Pitagórica cuya configuración corresponde al modelo anterior.
A continuación muestro la forma en que represento las diferentes clases de ternas
Primitivas, de acuerdo con el método tradicional
Originales, enteras o fraccionarias.
Primarias.
Bajo el criterio vigente x es par e y es impar, bajo el nuevo X es impar, mientras que Y es par.
Cuando n es una fracción, la llamo fracción generatriz y la represento como 
.
Se considera, sin pérdida de generalidad, que el lado menor de cualquier triángulo rectángulo, es siempre adyacente al ángulo denominado a , lo cual implica que cosa es siempre menor que sena ..
Los conjuntos involucrados en las demostraciones se simbolizan de la forma siguiente:
Z + = Enteros positivos.
Q = Fracciones racionales positivas.
F = Fracciones irracionales positivas.
Se restringe el nuevo criterio, sin pérdida de generalidad, al primer cuadrante, es decir a ángulos comprendidos entre cero y 
, por lo tanto, a enteros positivos y fracciones positivas racionales o irracionales.
Teorema (1-B). Para cada 
existen tres números enteros 
, de tal manera, que satisfacen las siguientes condiciones:
E-4
E-5
E-6
E-7
E-8
Lema (1-B).-Sí 
y sí 
entonces 
es equivalente a un
binomio cuadrado perfecto, en la forma siguiente: 
como 
, siendo 
, esto implica que 
, reemplazando
por 
en 
resulta que 
.
El siguiente es un resumen del proceso empleado para encontrar la sucesión pertinente:
Las siguientes ternas 
, en las cuales , satisfacen 
{(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (13, 84, 85), (15 112, 113),.., }
Los números resaltados: { 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112,.., ¥ , son las magnitudes correspondientes al lado Y para todo triángulo cuyos lados satisfacen 
En la siguiente tabla, sin tomar en cuenta el factor 
, el primer término de cada binomio, dentro del paréntesis subrayado en la columna a la izquierda, es igual a la suma de los dos términos contenidos dentro del paréntesis anterior, también subrayado, El segundo término del mismo binomio, es igual al segundo término del binomio precedente, incrementado en 1.
También, cada binomio sobre la misma primera columna, es equivalente a la adición de los enteros sucesivos expresados dentro del paréntesis inmediato a la derecha.
4 = 4 x 1 = 22.(0+1) = 22.(0+1)—————-n = 1 Þ Y = 2n.(n+1) = 2 x 1.(1 + 1)
12 = 4 x 3 = 22.(1+2) = 22.(1+2)—————-n = 2 Þ Y = 2n.(n+1) = 2 x 2.(2 + 1)
24 = 4 x 6 = 22.(3+3) = 22.(1+2+3)————-n = 3 Þ Y = 2n.(n+1) = 2 x 3.(3 + 1)
40 = 4 x 10 = 22.(6+4) = 22.(1+2+3+4)———-n = 4 Þ Y = 2n.(n+1) = 2 x 4.(4 + 1)
Por lo tanto, para cada 
-existe una terna , de tal forma, que satisface 
en la cual Y es equivalente a multiplicado por la suma de los enteros consecutivos contenidos entre 1 y n.
Es conocido que la suma de una sucesión de enteros positivos entre 1 y n, es equivalente a la mitad del producto de n por su sucesor, como se muestra a continuación:
Ejemplo: 
Lema (2-B). Por lo tanto, 
Sí X es un número impar mayor que 1 que corresponde a la forma 
, aplicando entonces para hallar Z un proceso similar al usado para encontrar Y, resulta:
Para todo 
se cumple que
De igual manera, las anteriores expresiones satisfacen (E-4), (E-5), (E-6), (E-7), (E-8), como sigue:
Para que una terna de números enteros, 
sea original, los tres términos tienen que ser una función de la sumatoria: 
.
Para que cualquier impar 
, sea primo, necesariamente
Representaré la función correspondiente a la sumatoria de fracciones así:
Teorema (1-D). Para cada fracción 
, racional o irracional, 
, existen tres fracciones racionales o irracionales, 
, 
, de tal forma, que satisfacen las siguientes condiciones:
4. Lema (1-D). Conformación de las ternas originales fraccionarias.
Las ternas: 
= (45, 28, 53), (55, 48, 73), (95, 168, 193), satisfacen 
Dividiendo los tres términos de cada una de estas ternas por 
, que es común para las tres, obtenemos respectivamente las siguientes ternas formadas por tres fracciones a las cuales representaremos en forma general como , y que satisfacen
, 
Los valores correspondientes a Y, para cada una de estas ternas son: 28/ 25, 48/ 25, 168/ 25
A continuación determinaré el patrón que rige su conformación.
Emplearé indistintamente
para representar la función 
,
, están conformadas de acuerdo a un
mismo patrón, así: 
Como 
e 
.
Si q es impar y como 
, esto implica que:
Representando por l y h , respectivamente, los numeradores del primero 
y del último término 
de la sumatoria, esta se reduce a la forma siguiente:
Como 
, entonces Sí q es impar, 
es par, de manera que, 2 aparece como factor en la descomposición de 
en factores primos, por lo tanto 
es divisible por 2. Esto implica que tanto l como los demás numeradores de los términos de la sumatoria se reducen a enteros.
Sí q es par implica que es impar y por lo tanto no divisible por 2, entonces l y los demás numeradores de los diferentes términos de la sumatoria son fracciones irreducibles a enteros
Las siguientes son las propiedades de la sumatoria 
:
Común denominador = 
Numerador del primer término =
Numerador del último término = 
Numero de términos = p.
En el ejemplo siguiente el denominador q, de la fracción generatriz, es par.
Por lo tanto:
Para la conformación de las ternas pitagóricas fraccionarias irracionales rigen los mismos parámetros que para la de las fraccionarias racionales:
Los siguientes son los tres casos posibles:
1- p es racional y q irracional
2- p es irracional y q racional
3- p y q son irracionales.
Para determinar el desarrollo de la sumatoria correspondiente al primer caso, cuando p es racional y q irracional, basta aplicar el método empleado cuando p y q son enteros, es decir 
es racional.
Por ejemplo: 
El número de términos de la sumatoria es 
Para determinar el número de términos, que obviamente tiene que ser entero, si p es irracional y q racional, es necesario racionalizar p,. de esta manera el caso se reduce al anterior.
Por ejemplo: 
, racionalizando p, resulta que 
, entonces 
Despejando Y, a partir de la fracción inicial
, sin racionalizar 
:
,
Dado que 
, entonces 
Por lo tanto, 
Para el desarrollo de la sumatoria en el tercer caso, es decir cuando p y q son irracionales, también resulta evidente la necesidad de racionalizar p
El número de términos es: 
Despejando Y a partir de la fracción inicial 
, sin racionalizar 
:
, dado que 
entonces 
Por lo tanto:
Para el mismo tercer caso, si (p, q) son irracionales propios, se procede en general de la siguiente manera:
(Denomino irracionales propios a los irracionales cuya racionalización es imposible).
(Selecciono 2 como factor auxiliar en el numerador y denominador de la fracción generatriz, ya que así se reducen a este número los términos de la sumatoria).
Cuando 
, como en el caso siguiente: 
Despejando Y a partir de la fracción inicial 
, 
Por lo tanto, para toda fracción p/ q, (p, q) irracionales propios, 
Como 
, correspondiendo Y a una terna 
que satisface las 8 condiciones establecidas en el teorema (1-D), aplicando entonces para X y Z, resulta:
*En referencia a la representación de enteros positivos impares como la suma de dos cuadrados, las nuevas expresiones anteriormente expuestas, no son válidas únicamente para enteros como son los hallazgos en esta materia de Fermat, Gauss y Jacobi; sino que también aplican para fracciones tanto racionales como irracionales.
Corolario (1-B). Dado que 
, esto implica, que el cuadrado de todo número impar mayor que 1, es igual a la suma de dos números enteros consecutivos, así:
Corolario (1-C). Dado que 
, entonces, 
es igual a un entero par y como 
, resulta que el cuadrado de todo número impar es igual a la suma de dos fracciones racionales consecutivas.
(Consideramos que dos fracciones son consecutivas cuando su diferencia es 1).
Ejemplos:
5. Clasificación de las ternas originales.
1.- Enteras———-Las que están formadas por tres enteros.
2.- Fraccionarías—Dos o los tres términos son fracciones.
3.- Irracionales—–Uno o mas términos son irracionales.
Las ternas primarias son las formadas por enteros 
, que son primos relativos, es decir 
, y satisfacen 
, pero 
y tampoco cumplen el resto de condiciones necesarias para ser originales.
Dividiendo los tres términos, , de una terna primaria, por 
, obtenemos la correspondiente terna original en la cual la hipotenusa, del correspondiente triángulo, es igual al cateto mayor mas 1, por este medio podemos reducir cualquier terna primaria a su estado original.
Dividiendo por e igualando los resultados a 
respectivamente, obtenemos:
Entonces 
.
Por ejemplo: la terna primaria, 
corresponden. 
, lo cual determina que la terna
, sea original. Entonces 
, donde
Para obtener cada terna primaria 
basta amplificar la correspondiente terna original fraccionaria. Por cada reemplazo de n por una diferente fracción 
, obtendremos una diferente terna original fraccionaria.
Las fracciones generatrices 
, originan las menores ternas fraccionarias originales, ordenadas de acuerdo a incrementos de X, (X entero y par), así:
Las siguientes son las ternas primarias que corresponden respectivamente a las ternas originales del conjunto anterior, tales ternas cumplen 
, son primos relativos, pero no satisfacen el resto de condiciones necesarias para ser originales.
Resulta el siguiente conjunto de ternas que satisfacen los parámetros necesarios para ser originales:
,..,
Intercalando en forma ordenada, de acuerdo a los valores pares e impares de X, resulta:
A continuación probaremos el cumplimiento de la terna 
con relación a los parámetros determinantes del estado original.:
Reduciendo a un común denominador, en este caso 2, al cancelar dicho denominador resultan las siguientes ternas primarias conformadas por tres enteros, 
,que son primos relativos, y satisfacen que 
, pero no así, las restantes condiciones necesarias para ser originales.
Ejemplos
Las ternas 
son solamente primarias.
Dado que 
, esto determina que 
es un punto de convergencia, lo cual implica que 
, es decir, sí 
entonces X tiene que ser menor que Y. Esto es válido para las ternas fraccionarias originales y por ende para las primarias.
Recíprocamente, Sí 
por lo tanto, las raíces originales 
, constituyen parejas ordenadas y sus respectivos valores no son permutables con relación al cumplimiento de las condiciones determinantes de la originalidad.
Permutando los valores correspondientes de 
, en una terna primaria, donde 
Por ejemplo, la terna 
entonces la terna se convierte en 
, y por lo tanto 
Sí el valor de q correspondiente a una fracción generatriz p/ q, es 2, esto determina una clase de ternas originales en las cuales X es un entero par y tanto Y como Z son fracciones cuyos numeradores son impares y sus denominadores son iguales a 2.
Sí 
, dado que, 
esto determina que p es impar y por lo tanto, 
es par.
, Si p es impar 
también es impar,
, Sí p es impar 
también es impar.
8. Los triángulos rectángulos isósceles.
La terna 
, asociada usualmente con estos triángulos no satisface las condiciones de originalidad. Considerando, que los catetos tienen que ser iguales entre sí, entonces 
Por (E-7),
Por lo tanto,
Como 
, despejando n, resulta que la fracción generatriz es: 
.
Es interesante despejar la misma terna original a partir de 
, como sigue:
La terna 
satisface las condiciones para ser original.
9. Triángulos con ángulos complementarios de 300 y 600
Dado que 
representan los lados de tales triángulos, reducidos a su mínima expresión, y como (
, La terna 
, satisface las ecuaciones comprendidas entre (E- 1) y (E- 8).
Reemplazando 
las menores ternas originales enteras, ordenadas de acuerdo a incrementos en los valores impares de X, son las siguientes:
El siguiente conjunto corresponde a las menores ternas primitivas, ordenadas de acuerdo al criterio ancestral, es decir a incrementos del valor de z :
A continuación mostramos las mismas ternas, ordenadas de acuerdo a incrementos de X:
Las hipotenusas correspondientes a los triángulos de lados (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25). son respectivamente iguales al cateto mayor del triángulo, incrementado en 1.
Las hipotenusas correspondientes a los triángulos de lados
,
tienen una configuración, diferente a las anteriores, así:
respectivamente. A partir de esto sacamos como conclusión, que las ternas del primer arreglo son originales y las ternas del segundo son primarias.
Seguidamente reduciremos las ternas primarias 
a su correspondiente estado original,
Dividiendo:
,resultan respectivamente 
Como 
, despejando n, resulta que 
, aplicando (E-1), (E-2), (E-3), comprobamos que 
son respectivamente
, esta terna es original, la otra, 
, solamente es primaria.
Dividiendo 
, es decir por 2, resultan:
Como 
, despejando n, resulta que 
, aplicando (E-1), (E-2), (E-3), comprobamos que 
son respectivamente 
constituyendo la terna original correspondiente a la primaria 
.
es la terna original correspondiente a la primaria 
. La original correspondiente a la primaria 
, es 
. El hecho de tener diferentes ternas originales, determina que los valores de 
en una terna primaria no son , de acuerdo a lo expuesto con anterioridad, no son permutables y constituyen parejas ordenadas.
10. Interpretación geométrica.
Las ecuaciones (E-1), (E-2) ), (E-3), son las ecuaciones paramétricas de un plano que corta los ejes de coordenadas , de tal manera que las distancias entre los puntos de intercepción con los ejes y el origen, corresponden siempre a los lados de un triángulo rectángulo, el plano determinado por dichas intersecciones está representado por la siguiente ecuación, en forma simétrica
Donde 
son las longitudes determinadas sobre los ejes por las intersecciones del plano. d .
Para nuestro caso, las magnitudes de los segmentos son respectivamente:
Por lo tanto la ecuación es la siguiente : 
Y en forma general: 
La ecuación d es el lugar geométrico de las rectas que se desplazan de tal manera, que las
magnitudes de las distancias entre sus puntos de intercepción con los ejes de coordenadas y el origen satisfacen el conjunto de ecuaciones de (E-1) a (E-8).
La longitud entre el origen y los puntos donde el plano d se intercepta con el eje Z, es equivalente a la longitud de la traza del mismo plano sobre el plano XY, es decir:
Las expresiones anteriores simbolizan la hipotenusa de todos los triángulos rectángulos, cuyos otros lados son respectivamente iguales a la raíz cuadrada de las cantidades subradicales.
12. Funciones trigonométricas.
Para la existencia de ternas originales irracionales, es necesario que cos2a y sen2a sean fracciones racionales que corresponden a los cuadrados de las respectivas funciones trigonométricas, determinadas por la apropiada razón entre los lados , de cualquier triángulo rectángulo, cuyas magnitudes son enteros o también fracciones tanto racionales como irracionales.
La razón apropiada entre las magnitudesÎ [Z +
(QF )] representa las funciones trigonométricas para los ángulos de cada triángulo determinado por las intercepciones entre el plano d y los ejes de coordenadas.
Las siguientes expresiones representan respectivamente las fracciones correspondientes a las funciones sena , cosa , tang a , para todo ángulo a , (0 < a < p / 2 ), de manera que sen2a , cos2a , tan2a , son fracciones racionales. Dichas expresiones constituyen fórmulas cuyo ámbito es infinito.
Bajo el mismo contexto obtendremos fórmulas infinitas para el resto de funciones.
Y así sucesivamente para el resto de funciones.
Sí 
, entonces 
Por lo tanto, las fórmulas en función de las ecuaciones (E-1), (E-2), (E-3), desarrolladas anteriormente para la solución de las ternas enteras, se reducen así:
Resumen: El trabajo es un estudio sobre la conformación de las ternas pitagóricas, en el mismo se determina el origen numérico del teorema de Pitágoras y se introduce una nueva clasificación para la conformación de las respectivas ternas también se determina la conformación de ternas fraccionarias. Se cree que se conoce todo sobre dicho teorema, pero en esta investigación se revelan muchas propiedades sorprendentes que han permanecido ocultas durante milenios. También se puede encontrar un análisis sobre la interpretación geométrica y el lugar geométrico de la ecuación pitagórica lo mismo que formulas infinitas para las funciones trigonométricas. Por su total originalidad no incluye bibliografía.
Trabajo enviado por: Rubén Moré Argel Ingeniero Industrial, edad 60 años nacido en Cartagena Colombia especializado en procesos de polimerización. Dirección: A. A # 8586 Cartagena, Colombia. Sur América rubenmore[arroba]hotmail.com