Ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas de orden superior

Ecuaciones lineales de orden N

Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:

Principio de Superposición o linealidad

También es solución de dicha ecuación diferencial

Dependencia e Independencia lineal

En caso contrario, es decir, si alguna de las constantes no es nula, las funciones son linealmente dependientes.

Wronskiano

Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef Hoene-Wronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. El Wronskiano se obtiene al resolver el determinante que está conformado por un conjunto de funciones y sus derivadas.

Uno de los usos más importantes del Wronskiano en las ecuaciones diferenciales es el de verificar si un conjunto de soluciones es linealmente independiente o no.

Ejemplo ilustrativo

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes

Una ecuación diferencial homogénea de orden superior tiene la forma:

Estas ecuaciones puede generar muchas combinaciones, sin embargo, se presentan tres casos que ayudarán en la resolución de las mismas.

1) Primer Caso: Múltiples raíces diferentes

2) Segundo Caso: Múltiples raíces iguales

3) Tercer Caso: Múltiples raíces iguales

Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son conjugadas complejas, es decir,

Ejemplos ilustrativos

Solución

Como se quería comprobar

3) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución es:

Solución:

Se observa que

Ecuaciones no homogéneas con coeficientes constantes

Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:

Ejemplos

Ejemplos

Casos especiales tomando en cuenta las raíces de la ecuación auxiliar

Ejemplos ilustrativos

Casos especiales tomando en cuenta la multiplicidad

Ejemplos ilustrativos

Se debe vericar la multiplicidad en forma individual

Notas

Una vez obtenida la complementaria y la ecuación particular se procede a resolver como en casos anteriores.

Próximamente se publicará las respectivas de tareas de cada uno de los temas.

Se recomienda visitar las siguientes direcciones en donde se encontrará artículos sobre Aritmética, Álgebra, Geometría, Probabilidades, Estadística Descriptiva, Estadística Inferencial y planificaciones por módulos curriculares

http://repositorio.utn.edu.ec/handle/123456789/24

http://www.monografias.com/usuario/perfiles/mario_suarez_7/monografias

http://es.scribd.com/mariosuarezibujes

https://docentesinnovadores.net/Usuarios/Ver/29591

http://articulosmatematica.blogspot.com

Cordialmente

Autor:

Mgs. Mario Suárez