Introducción al Método de los Elementos Finitos 2 Algunas aplicaciones del MEF a problemas elípticos
Problema de Elasticidad • Consideremos un cuerpo elástico, isótropo y homogéneo B, que ocupa el dominio acotado O?R3, con frontera • G=Gt?Gu tal que GtnGu=Ø y área Gu>0. El cuerpo B está sometido a una fuerza volumétrica f, •
• y a una fuerza superficial t aplicada sobre Gt. Se supone B fijo a lo largo de Gu.
Se busca determinar
– desplazamientos u.
– deformaciones e, dependientes de los desplazamientos de acuerdo a la cinemática de la deformación.
– tensiones s, dependientes de las deformaciones de acuerdo a la ley constitutiva del material. O O Gu Gt
?u =0 sobre Gu 1? ?ui ?u j ? ??x ?xi ? ? = ??e d +µe ?,µ? , ctes. de Lamé. , µ = ?: coeficiente de Poisson 1+? (1+?)(1-2?) n =?s n Introducción al Método de los Elementos Finitos 3 Problema de Elasticidad • • Nota: en adelante, usaremos las siguientes convenciones de notación: Ecuación de equilibrio
CB Dirichlet (despl. impuesto)
CB Neumann (tracción impuesta) ? ?divs + f =0 en O ? ?sn = t sobre Gt O O Gu Gt n Ecuaciones de clausura
– Cinemáticas: asumiendo pequeñas deformaciones:
eij = ? + ? 2? j – Constitutivas: asumiendo comportamiento elástico lineal (ley de Hooke): , – derivada parcial: ui, j = ?ui ?xj 3 – sumatoria: sij j ij j j=1 +
E E? E :módulo de Elasticidad 3 sij kk ij ij, k=1 con ? =
{ con V= v:v?? ? ? y v = 0 en Gu ?H (O) 1 ? ? dx+? ? -? 2 +v vi, j j,i ? – sij de pequeñas 2 -? sij ij ? ivids+? fividx = 0 Introducción al Método de los Elementos Finitos 4 Forma variacional del problema de Elasticidad • Dado se llega a haciendo } 3 (V) Hallar u?V/a(u,v) = L(v), ?v?V (D) sij, j + fi = 0 en O, i, j =1,2,3 O O G O O Gt O sij, jvidx+ fividx = 0 sijnjvids+ fividx = 0 -?Osijvi, j e (v)dx+ t d +µe t v ds+ O Gt i i O T. de Green Ley de Hooke CB dx+?Gt tivids+?O fividx = 0
dx+?Gt tivids+?O fividx = 0 sijvi, j +s jivj,i O Simetría de s Cinemática
O deformaciones L(v) a(u,v)
i.e.,L(v) = ? v V ,?v?V,?? +. a(u,v) =? ??ui,i ij ij ? ij(v)dx =? ??divudivv +µeij ij(v)?dx continua, i.e., a(u,v) =? u v ,?u,v?V,? ? H (O) H (O) V-elíptica, i.e., a(v,v) =a v ,?v?V,a ? , con v + H (O) Demo.: a(v,v) = ?? (divv) dx+µ? eij(v)eij(v) dx H (O) =? vi H (O) = µ? eij ij(v) dx = µc v H (O) Introducción al Método de los Elementos Finitos 5 •
• – –
– . 1 1 2 2 . 3
i-1 1 1 1
2 es simétrica, i.e., a(u,v) = a(v,u),?u,v?V. Forma variacional del problema de Elasticidad (cont.)
Se puede demostrar que la forma lineal L(v) =?O fividx+?G tivids es continua, t
Se puede demostrar que la forma bilineal d +µe (u)?e (u)e O O 1 2 2 +
. + O O
O , c? (v)e Desigualdad de Korn
{ } Vh 1 (K)? ? ,?K?Th = v:v?V y v K ?? ?P H (O) Introducción al Método de los Elementos Finitos 6 •
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•
• 1 u-uh = Ch u H2(O) MEF aplicado al problema de Elasticidad
Consideremos el problema de Elasticidad en O?R3. Sea Th={K} una malla de tetraedros de O. Definimos el espacio de EF 3
El MEF aplicado al problema de Elasticidad consiste en Hallar uh ?Vh /a(uh,v) = L(v), ?v?Vh La solución uh?Vh satisface
{ } V = v:v?? ?H0 1(O)? ? y divv = 0 en O Introducción al Método de los Elementos Finitos 7 • Problema de Stokes
Consideremos las ecuaciones de Stokes para el flujo estacionario de un fluido Newtoniano incompresible encerrado en un dominio O?R3, sometido a una fuerza volumétrica f : •
• sij, j + fi = 0 en O, Balance de cant. de movto. en O, Ley const. de fluido Newtoniano ui,i = 0 en O, Condición de incompresibilidad ui = 0 sobre G, CB Dirichlet u: velocidad sij = 2µeij(u)- pdij s: tensión p: presión µ: viscosidad -µ?ui + p,i = fi en O, Balance de cant. de movto. p/fluido Newtoniano Definimos el espacio de funciones de prueba 3
Luego, podemos llevar el problema de Stokes a la forma variacional (V) Hallar u?V/a(u,v) = L(v), ?v?V
fi i v dx = µ? ?ui i v dx-µ? ?ui Introducción al Método de los Elementos Finitos 8 • •
•
• Dado que µ >0, se demuestra (ídem problema de Poiss
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