Nota: al adoptar un espacio de velocidades de divergencia nula, la formulación variacional no involucra la presión. Forma variacional del problema de Stokes
Para llevar el problema de Stokes a la forma variacional hacemos fi = -?ui + p,i vids-?O pvi,idx+?G pnivids =0 =0 ?O
?O
?O fividx = -µ?O?uividx+?O p,ividx
·? O G ?n =0 fividx = µ?O?ui ·?vi dx L(v) a(u,v)
V = ?v:v = (v1 2 0(O)? ? y ,v )?? ?H + = 0 en O? v =? ? = rot? para alguna función ?. ? ?? ?? ? H (O) Introducción al Método de los Elementos Finitos 9 MEF aplicado al problema de Stokes
Consideremos el problema de Stokes en O?R2. Luego: •
•
• solución uh?Vh satisface ?v1 ?v2 ? ? 1 2 ? ?x1 ?x2 ? 2 2 Si O es simplemente conexo (i.e., no contiene agujeros), divv=0 en O si y solo si
,- ??x1 ?x2 ? ? :función de corriente del campo de velocidades v. o sea: v?V ? v = rot?, ??H0(O).
Adoptamos luego un subespacio Wh de dimensión finita deH0(O) (usamos por ej. el elemento finito C1-continuo ya visto) y definimosVh ={v:v = rot?,??Wh}.
Se formula el MEF remplazando V por Vh?V en la formulación variacional. La 1 u-uh = Ch4 u H5(O)
poyad (e u = = 0 ?Mnt Q(M) = Mij, jni + Introducción al Método de los Elementos Finitos 10 • Flexión de placas elásticas
Consideremos una delgada placa elástica P, cuya superficie media está dada por el dominio O?R2, sujeta a una carga transversal f. •
• Se desea determinar
– deflexión transversal u
– momentos Mij, i,j=1,2. El problema está gobernado por Ecuación de equilibrio
CB empotrado
CB simpl. apoyado Mij,ij = f ?u ?n u = Mnn = 0 en O
sobre Gc
sobre Gs Mnn =Q(M) = 0 sobre Gl x1 fdx O u t n Gl (libr e) G c m po tra do ) Gs (simpl x2
.a o) CB libre
Fuerza de corte o transversal ?t
Introducción al Método de los Elementos Finitos 11 • Flexión de placas elásticas (cont.)
Ecuaciones de clausura
– Asumiendo pequeñas deflexiones y material elástico lineal, la ecuación constitutiva (ley de Hooke) toma la forma – Las constantes ? y µ dependen del módulo de elasticidad E y el coef. de Poisson ?, así como del espesor de la placa d, de acuerdo a constantes curvatura + ?,µ? ?ij =u,ij = ?2u ?xi?xj sij = ??udij +µ?ij ? = ? = Ed3 12(1+?) ?Ed3 12(1-? 2)
1. Adoptamos el espacio V = ?v:v?H (O), v = = 0 en Gc s? , v = 0 en G ?v ?v ?O O ? Mij,ijvdx fvdx = ?n ?t = M nn + M tn ?O O G ? Mij, j i nvds fvdx = -? Mij, jv,idx+ ?n = Mnn nt + M ?O O G G ? Mij, j i nvds fvdx =? ? Mij jv,ids+ Mijv,ijdx- n ?O O G G G fvdx =? ? ? ? Mij, j ivds ? (v)dx- M ds- M ds+ ?n ?t ?O O G G ? ?t vds+?GMij, j i nvds fvdx =? Mij ij(v)dx-? Mnn ?v ?Mnt ?O O G G? ? ? fvdx =? Mij ij(v)dx-? Mnn ds+? ?Mij, j i + ?v ? ?Mnt ? =0 fvdx =? (??udij +µ?ij)?ij(v)dx =? ???u?v+µ?ij ij(v)?dx Introducción al Método de los Elementos Finitos 12 (u)? =0
O O ?v ?v Mij ij nn nt n
? ds+ ?n
? n vds ?n ?t ?O ?v ?t Formulación variacional del problema de flexión de placas elásticas ? 2 ?v ? ? ?n ? 2. Hacemos v,i = ni + ti ?v Mijnjv,i ij i j ij i j ?v ?v ?n ?t Integración por partes (con G suave) a(u,v) L(v)
a(u,v)=? ???u?v+µ?ij ij(v)?dx V = ?v:v?H (O), v = = 0 en Gc s? , v = 0 en G Introducción al Método de los Elementos Finitos 13 • Formulación variacional del problema de flexión de placas elásticas (cont.) La forma variacional del problema de flexión de placas elásticas resulta • con: (V) (u)? O Hallar u?V/a(u,v) = L(v), ?v?V L(v)=?O fvdx ? 2 ?v ? ? ?n ? – La forma bilineal a(.,.) es en general simétrica y continua. – Además, a(.,.) es V-elíptica si Gc>0, i.e., si la placa está empoptrada a lo largo de una parte de su borde.
– La forma lineal L(.) es continua.
Ahora se puede formular el MEF para el problema de flexión de placas elásticas usando el elemento C1-continuo ya descrito.
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