Los métodos determinísticos, herramienta fundamental para la toma de decisiones
Enviado por INOCENCIO MELÉNDEZ JULIO
Los MÉTODOS DETERMINÍSTICOS además de ser una herramienta fundamental para la toma de decisiones, optimiza los resultados logísticos, administrativos y financieros de una organización con el fin de mejorar procesos, reducir costos y mejorar sus recursos técnicos.
Así mismo, plantea distintos métodos para solucionar problemas relacionados con el transporte, la asignación y la distribución, elementos claves para la solución eficiente de inconvenientes y/o dificultades que se puedan presentar en el ejercicio empresarial.
Estos conceptos de métodos deterministicos permiten la optimización parcial de una parte de la secuencia y luego relacionan las unidades optimizadas en la siguiente línea, hasta que toda quede optimizada. Estos conceptos se pueden aplicar en los problemas que tienen funciones continuas o en problemas donde los valores enteros son prácticos.
Solución a los problemas de estudio
PROBLEMA 1: Una cadena de restaurantes fast-food desea adquirir un nuevo ordenador que le permita llevar su contabilidad y realizar el control de inventarios. Una empresa de ordenadores presenta al Director de Marketing la siguiente información junto con el correspondiente grafo del proyecto:
Red del proyecto:
Se desea determinar:
Camino critico y duración esperada del proyecto
Determinar la probabilidad de finalizar el proyecto en 55 días.
Solución:
Determinamos los tiempos esperados de cada actividad y su varianza.
Continuando el proceso con todas las actividades se obtiene:
Actividad | Tiempos (*) |
|
| ||||
Optimista (a) | Probable (m) | Pesimista (b) | Esperado (te) | Varianza (Var) | Holgura (Ht) | ||
(A) | 4 | 6 | 8 | 6 | 4/9 | 0 | |
(B) | 5 | 7 | 15 | 8 | 2 7/9 | 0 | |
© | 4 | 8 | 12 | 8 | 1 7/9 | 14 | |
(D) | 15 | 20 | 25 | 20 | 2 7/9 | 4 | |
(E) | 10 | 18 | 26 | 18 | 7 1/9 | 0 | |
(F) | 8 | 9 | 16 | 10 | 1 7/9 | 14 | |
(G) | 4 | 8 | 12 | 8 | 1 7/9 | 0 | |
(H) | 1 | 2 | 3 | 2 | 1/9 | 4 | |
(I) | 6 | 7 | 8 | 7 | 1/9 | 0 | |
Se determinan los tiempos más tempranos y tardíos de cada suceso, así como la holgura total de cada actividad.
Tiempos más tempranos
Partiendo del nudo inicial y considerando para este nudo el origen de tiempos
Te (1) = 0
Te (2) =Te (1) + te (A) = 0 + 6 = 6
Te (3) =Te (2) + te (B) = 6 + 8 = 14
Te (4) =Te (2) + te (C) = 6 + 8 = 14
Te (5) =Te (1) + te (E) = 14 + 18 = 32
Te (6) = max (Te (3) + te (D) * Te (4) + te (F)) = max (14 + 20 * 14 + 18) = max (34 * 32) = 34
Te (7) =max (Te (5) + te (G) * Te (6) + te (H)) = max (32 + 8 * 34 + 2) = max (40 * 36) =40
Te (8) =Te (7) + te (I) = 40 + 7 = 47
Tiempos más tardíos
Partiendo del nudo final y haciendo coincidir en este nudo el tiempo más tardío con el más temprano.
Ti (8) = 47
Ti (7) = Ti (8) – te (I) = 47 – 7 = 40
Ti (6) = Ti (7) – te (H) = 40 – 2 = 38
Ti (5) = Ti (7) – te (G) = 40 – 8 = 32
Ti (4) = Ti (6) – te (F) = 38 – 10 = 28
Ti (3) = min (Ti (5) – te (E) * Ti (6) – te (D)) = min (32 – 18. 35 -20) = min (14. 18) = 14
Ti (2) = min Ti (3) – te (B) . Ti (4) – te (C)) = min (14 – 18. 28 – 8) = min (6. 20) = 6
Ti (1) = Ti (2) – te (A) = 6 – 6 = 0
Las holguras de cada actividad serán:
Hi (A) = Ti (2) – Te (1) – Te (A) = 6 – 0 – 6 = 0
Hi (B) = Ti (3) – Te (2) – Te (B) = 14 – 6 – 8 = 14
Hi (C) = Ti (4) – Te (2) – Te (C) = 28 – 6 – 8 = 14
Hi (D) = Ti (6) – Te (3) – Te (D) = 38 – 14 – 20 = 4
Hi (E) = Ti (5) – Te (3) – Te (E) = 32 – 14 – 18 = 0
Hi (F) = Ti (6) – Te (4) – Te (F) = 38 – 14 – 10 = 14
Hi (G) = Ti (7) – Te (5) – Te (G) = 40 – 32 – 8 = 0
Hi (H) = Ti (7) – Te (6) – Te (H) = 40 – 34 – 2 = 4
Hi (I) = Ti (8) – Te (7) – Te (I) = 47 – 40 – 7 = 0
El camino crítico es el 1-2-3-5-7-8, formado por las actividades A, B, E, G e I, con una holgura total a cero.
La longitud de este camino suma de las duraciones esperadas de todas las actividades que lo componen es: te (T) = 6 + 8 + 18 + 8 + 7 = 47 días.
Y su distribución N (47: 3.496)
La probabilidad de terminar en 55 días o menos será: P (E = 55) = 0, 98894
PROBLEMA 2: Un proceso productivo que esta compuesto por 11 actividades, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, cuyas duraciones esperadas son respectivamente ( expresados en semanas) 10, 3, 10, 5, 11, 2, 16, 11, 8, 4, 2, y entre las cuales existen las siguientes relaciones de precedencia inmediata:
Las actividades A, B, y C pueden comenzar simultáneamente después del tiempo de preparación del proyecto.
La actividad D necesita para su realización que hayan sido terminadas las B y J.
Solamente cuando haya finalizado la actividad A podrán dar comienzo las J y H.
La actividad E comenzara una vez acabadas las B, y J.
La actividad I necesita de H para su realización.
Una vez terminada la actividad C, podrá comenzar la F
Para iniciar la actividad K es necesario acabar previamente las E, F y G
Las actividades G e I comenzaran una vez finalizada la D.
La tarea G necesita de H para su realización.
Se desea, a partir de los datos anteriores, y sin considerara el tiempo de preparación del proyecto:
1. Dibujar el grafo correspondiente
2. Numerar los sucesos
3. Localizar las actividades críticas y subcríticas
4. Determinar la duración del proyecto
5. Indicar el/ los caminos/s critico/s
6. Localizar la primera ruta subcrítica y determinar su holgura.
Solución
1. Se confecciona una tabla de precedencias, mediante una lectura cuidadosa de las relaciones de precedencia señaladas.
TABLA DE PRECEDENCIAS
Inmediata precedente
Actividad
Inmediata posterior
–
A
J, H
–
B
D, E
–
C
F
B. J
D
G, I
B. J
E
K
C
F
K
D. H
G
K
A
H
I, G
D. H
I
–
A
J
D, E
E. F. G
K
–
2. De acuerdo con la referida tabla, puede observarse que el proyecto comienza con las actividades A, B, y C y termina con las I y K. Aunque es suficiente con disponer de la columna de las actividades inmediatas precedentes, facilita y sirve de comprobación al dibujar la red, complementar la columna de actividades inmediatas posteriores.
3. Para determinar las actividades críticas del proyecto, se calculan los tiempos más tempranos y tardíos de cada suceso, así como las holguras totales de cada actividad.
Tiempos más tempranos
Te (1) = 0
Te (2) = Te (1) + te (A) = 0 + 10 = 10
Te (3) = Te (1) + te (C) = 0 + 10 = 10
Te (4) = max (Te (1) + te (B), Te (2) + te (J))= max (3, 14) = 14
Te (5) = max (Te (2) + te (H), Te (4) + te (D)) = max (10 + 11, 14 + 5) = max (21, 19) = 21
Te (6) = max (Te (5) + te (G), Te (4) + te (E)) = max (21 + 6, 14 + 11) = (27, 25) = 27
Te (7) = max (Te (5) + te (I), Te (6) + te (K)) = max (21 + 8, 27 + 2) = 29
Tiempos más tardíos
Ti (7) = 29
Ti (5) = Ti (7) – te (I) = 29 – 8 = 21
Ti (6) = Ti (7) – te (K) = 29 – 2 = 27
Ti (3) = Ti (6) – te (F) = 27 – 2 = 25
Ti (4) = min (Ti (5) – te (D), Ti (6) – te (E)) = min (21 – 5, 27 – 11) = 16
Ti (2) = min (Ti (5) – te (H), Ti (4) – te (J)) = min (21 – 11. 14 – 4) = min (10. 10) = 10
Ti (1) = min Ti (2) – te (A), Ti (4) – te (B), Ti (3) – te (C)) = min (10 – 10. 16 – 3, 25 – 10) = min (0, 13, 15) = 0
De esta forma se obtiene:
Suceso
1
2
3
4
5
6
7
To
0
10
10
14
21
27
29
T1
0
10
25
16
21
27
29
Para determinar las actividades criticas es preciso calcular las holguras totales de las diferentes actividades
Holgura total: (Ht) * Ht (i,j) = Ti (j) – Te (i) – te (i,j)
Las holguras totales de cada actividad serán:
Hi (A) = Ti (2) – Te (1) – Te (A) = 10 – 0 – 10 = 0
Hi (B) = Ti (4) – Te (1) – Te (B) = 16 – 0 – 3 = 13
Hi (C) = Ti (3) – Te (0) – Te (C) = 25 – 0 – 10 = 15
Hi (D) = Ti (5) – Te (4) – Te (D) = 21 – 14 – 5 = 2
Hi (E) = Ti (6) – Te (4) – Te (E) = 27 – 14 – 11 = 2
Hi (F) = Ti (6) – Te (3) – Te (F) = 27 – 10 – 2 = 15
Hi (G) = Ti (6) – Te (5) – Te (G) = 27 – 21 – 6 = 0
Hi (H) = Ti (5) – Te (2) – Te (H) = 21 – 10 – 11 = 0
Hi (I) = Ti (7) – Te (5) – Te (I) = 29 – 21 – 8 = 0
Hi (J) = Ti (4) – Te (2) – Te (J) = 16 – 10 – 4 = 0
Hi (K) = Ti (7) – Te (6) – Te (J) = 29 – 27 – 2 = 0
Actividad
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
Holgura Total
0
13
15
2
2
15
0
0
0
2
0
Las actividades críticas son: A, G, H, I y K
Las actividades subcriticas, por su holgura total pequeña son: D y E
4. A la vista de los tiempos más tempranos y tardíos determinados, puede observarse que la duración del proyecto es de 29 semanas.
5. A la vista de los resultados obtenidos en (3) el/ los camino/s critico/s, mínima duración del proyecto, no siendo posible realizar este en un tiempo menor son:
Caminos críticos 1-2-5-7 y 1-2-5-6-7- con una duración de 29 semanas
6. Las rutas subcriticas son aquellas cuya longitud es un 15% (o menos) inferior a la ruta critica. La primera ruta subcritica (más próxima a la ruta crítica) es la 1-2-4-6-7 que tiene una duración de 27 semanas (un 10% inferior a la ruta crítica).
La holgura de una ruta es la diferencia entre el tiempo disponible para realizar el proyecto y la longitud de dicha ruta. La holgura de la ruta 1-2-4-6-7 será:
Holgura ruta (1-2-4-6-7) = 29 – 27 = 2 semanas
PROBLEMA 3: Cierta empresa ha decidido añadir un nuevo producto a su línea. Comprará el producto a una firma fabricante, lo envasará y lo venderá a determinados distribuidores seleccionados por zonas geográficas. La investigación de mercado que se ha realizado ha indicado el volumen de ventas esperado y el tamaño del equipo de ventas necesario. Las actividades que se desarrollarán son las siguientes:
Actividad
to* (a)
tn* (m)
tp* (b)
(0-20) Organizar la oficina de ventas
4
5,5
10
(20-40) Contratar vendedores
2
4
6
(40-60) Instruir vendedores
3
6
15
(20-50) Seleccionar agencia de publicidad
1
2
3
(50-70) Planear campaña de publicidad
1
4
7
(70-90) Dirigir campaña de publicidad
4
10
16
(0-10) Diseñar envase
1
2
3
(10-30) Instalar dispositivos de envasado
4
10,5
14
(30-80) Envasar los stocks iníciales
4
6
8
(0-30) Pedir stocks al fabricante
9
13
17
(20-60) Seleccionar distribuidores
5
9
13
(60-80) Vender a los distribuidores
4
5,5
10
(80-90) Expedir stocks a los distribuidores
3
5,5
11
(*) Tiempos en semanas
Y el grafo correspondiente al proyecto que se ha confeccionado es el siguiente:
Se desea conocer:
1. Determinar los tiempos más tempranos y tardíos de comienzo y finalización de cada actividad.
2. El menor numero de semanas en las cuales podemos introducir el artículo.
3. Cuales son las actividades críticas
4. Si contratamos vendedores con experiencia y eliminamos el periodo de entrenamiento. ¿Se puede introducir nuestro producto siete semanas antes?
5. Cuánto tiempo puede retrasarse la selección de la agencia de publicidad sin retrasar el proyecto.
6. Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto antes de 32 semanas.
Solución:
1. Se determinarán recursivamente los tiempos más tempranos y tardaos de comienzo y finalización de cada actividad así como sus desviaciones típicas y holguras totales.
Para la determinación de los tiempos más tempranos de comienzo de cada actividad se empieza el cálculo por las actividades que parten de primer nudo.
Y se continúa el proceso hasta determinar los tiempos mas tempranos de las actividades que concluyen en el nudo final.
Para el cálculo de los tiempos más tardíos de comienzo y finalización de cada actividad. Se empieza el cálculo por las actividades que parten del nudo final.
TIEMPOS ESPERADOS, DESVIACIONES TIPICAS, TIEMPOS MAS TEMPRANOS Y TARDIOS DE COMIENZO Y FINALIZACION DE CADA ACTIVIDAD
Activ. Nudos
Symb
Mean Time/ Std Dev
Earliest Start/ Fin
Latest Start/ Fin
Holgura
0-20
2
6,000 1,0000
0,0000 6,0000
0,0000 6,0000
0,0000 C
20-40
5
4,0000 0,6667
6,0000 10,0000
6,0000 10,0000
0,0000 C
40-60
9
7,0000 2,0000
10,0000 17,0000
10,0000 17,0000
0,0000 C
60-80
11
6,0000 1,0000
17,0000 23,0000
17,0000 23,0000
0,0000 C
80-90
13
6,0000 1,3333
23,0000 29,0000
23,0000 29,0000
0,0000 C
20-60
7
9,0000 1,3333
6,0000 15,0000
8,0000 17,0000
2,0000
0-30
3
13,0000 1,3333
0,0000 13,0000
4,0000 17,0000
4,0000
30-80
8
6,0000 0,6667
13,0000 19,0000
17,0000 23,0000
4,0000
0-10
1
2,0000 0,3333
0,0000 2,0000
5,0000 7,0000
5,0000
10-30
4
10,0000 1,6667
2,0000 12,0000
7,0000 17,0000
5,0000
20-50
6
2,0000 0, 3333
6,0000 8,0000
13,0000 15,0000
7,0000
50-70
10
4,0000 1,0000
8,0000 12,0000
15,0000 19,0000
7,0000
70-90
12
10,0000 2,0000
12,0000 22,0000
19,0000 29,0000
7,0000
C= Actividad critica
2. El menor numero en el cual puede introducirse el producto, corresponde a la duración del proyecto que es de 29 semanas, tiempo que corresponde a los mas tardíos en finalizar las actividades que concluyen en el nudo final.
La determinación de los tiempos mas tempranos y tardíos de cada suceso, puede realizarse alternativamente con los tiempos Es y LF de las actividades.
El tiempo mas temprano de un suceso es el tiempo mas temprano de comienzo de las actividades que parten de ese suceso (Es).
El tiempo mas tardío de un suceso es el mas tardío en finalizar de las actividades que llegan a ese suceso (LF).
Nudos
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
To
0
2
6
13
10
8
17
12
23
29
Ti
0
7
6
17
10
15
17
19
23
29
Debe señalarse que toda actividad critica comienza y finaliza en sucesos críticos, pero la reciproca puede no ser cierta. obsérvese que la actividad (20-60) tanto el suceso 20 de comienzo como el 60 de terminación son críticos pero no lo es la actividad (20-60).
Ht (20-60) = Ti (60) – Te (20) – te (20,60) = 17 – 6 – 9 = 2
3. Las actividades críticas son aquellas de holgura total cero, dicha holgura puede calcularse alternativamente por:
Ht (i, j) = Ls (i, j) – Es (i, j)
Activities criticas = (0-20), (20-40), (40-60), (60-80), (80-90)
4. Al seleccionar vendedores con experiencia, es posible suprimir el periodo de instrucción y en consecuencia, la duración de la actividad (40-60) seria cero.
Ahora bien, en esta situación cambia el camino crítico, ya que el tiempo mas temprano del suceso 60 será de 15 en lugar de 17, luego el solo puede introducirse dos semanas antes
5. El tiempo que pueda retrasarse la agencia de publicidad sin retrasar el proyecto, será la holgura total de dicha actividad.
Ht (20-50) = Ls (20-50) – Es (20-50) = 15 – 8 = 7
O mediante los sucesos de dicha actividad
Ht (20-50) = Ti (20) – Te (20,50) = 15 – 6 – 2 = 7
Y en consecuencia, puede retrasarse solamente siete semanas.
6. La probabilidad de terminar el proyecto en 32 semanas o menos será:
Te (T) = 29,0000 semanas
Desviación típica = 2,8674 semanas
La duración del proyecto (Dp) se distribuye N (29; 2,8674)
P (Dp = 32) = 0, 852272
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