Proyecto de investigación sobre la utilidad de la aritmética modular en los sistemas criptográficos y en los grupos lineales modulares especiales

2. Introducción
3. Identificación
4. Descripción del proyecto
5. Fundamentación teórica
6. Determinación del orden del grupo lineal modular especial de rango m y con entrada en Zn
7. Utilidad de la aritmética modular en los cifrados y descifrados de criptosistemas
8. Introducción histórica
9. Conclusiones y futuras líneas de trabajo
10. Referencias bibliográficas

Resumen

En este trabajo se desarrollan los conceptos Generativos y Significativos de algunos Criptosistemas, con sus respectivos sistemas de Cifrados y Descifrados; así como las definiciones de algunos conceptos fundamentales empleados en la terminología criptográfica. Define además, algunos conceptos esenciales relacionados con la teoría de Grupo; seguidamente calcula el Orden del subgrupo SL (m, Zn), de manera similar como se calcula el orden a los subgrupos lineales clásicos del Grupo General Lineal sobre un cuerpo K cualquiera. Para ello se utilizan técnicas de reducción del problema al caso primo para posteriormente emplear la descomposición prima de n; para lo cual se aplican algunos resultados básicos sobre isomorfismos de grupos y de aritmética modular. Por último se analiza la aplicación de la teoría de enteros modulares en el estudio de algunos Sistemas Criptográficos tanto Simétrico como de Clave Pública, que usan en sus algoritmos ecuaciones de congruencia lineal y el álgebra matricial modular.

Al final, en Futuras Líneas de Trabajo, se hacen algunas propuestas a la facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Cartagena-Especialidad en Matemática Avanzada.

Palabras y frases clave: Matrices sobre Grupos Especiales, Unidades, Grupos de Unidades, orden de un grupo, tamaño de una matriz, rango de una matriz.

ABSTRACT In this paper we develop the generic concepts and meanings of some cryptosystems, with its system of encryption and decryption, as well as the definitions of some fundamental concepts used in cryptographic terminology. It also defines some key concepts related to group theory, then calculates the Order of the subgroup SL (m, Zn), similar as the order is estimated to subgroups of the classical linear general linear group over a field K either. This uses techniques to reduce the problem to the case for later use prime decomposition of n premium, for which they apply some basic results on isomorphisms of groups and modular arithmetic. The paper analyzes the application of the theory of modular integers in the study of some cryptographic systems both Symmetric as Public Key Infrastructure in their algorithms using linear congruential equations-and-modular-matrix-algebra. Finally, in future lines of work, makes some proposals to the Faculty of Natural Sciences, University of Cartagena-Specialty in Advanced Mathematics. Key words and phrases: Matrices of Special Groups, Units, Groups of units, order of a group, size of a matrix, rank of a matrix.

Introducción

El presente Trabajo se inscribe dentro de la teoría de la Aritmética Modular y más particularmente en la necesidad de conocer su utilidad en los sistemas criptográficos que usan en sus algoritmos ecuaciones de congruencia lineal y el algebra matricial modular. Y además, en los grupos Lineales Modulares Especiales cuyo orden incluya la posibilidad de emplearse en futuros sistemas Criptográficos que usen algebra matricial modular.

Este Trabajo se centra en los resultados encontrados en el artículo Órdenes de Algunos Grupos Lineales Modulare de ROY Quintero1 (1991), publicado en la revista Divulgaciones Matemáticas Vol. 14 No.2 (2006), (Pp.107-120) Trujillo-Venezuela. El cual se basa en el texto The Orders Linear Groups de Emil Artin (1955) volumen 8 Edición 3, (Pp. 355-365),

princenton, EEUU.

En el marco teórico se dan, solo con fines didácticos, las definiciones de Sistemas Criptográficos; y con propósitos metodológicos, las definiciones de Matrices Modulares, Matrices Regulares, Orden del Grupo General

Lineal, y de Grupo Lineal Especial, del mismo modo como se definen cuando K es un cuerpo cualquiera.

Vale la pena aclarar, que en este trabajo se reserva el concepto de tamaño de una matriz para designar su número de filas y de columnas, en lugar del orden o dimensión con el que suelen algunos autores designar al número de filas y de columnas de las mismas.