13 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Para entender las causas que originan esta distorsión es necesario analizar el contenido de frecuencias de las señales utilizadas en ingeniería, el análisis de Fourier permite conocer el contenido de frecuencias de las señales y entender las razones para las cuales existe distorsión lineal.
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Las vibraciones en una membrana o un tambor o las oscilaciones inducidas en una cuerda de guitarra o violín son explicadas por una ecuación diferencial parcial llamada ecuación de onda .
Esta situaciones junto con condiciones iniciales y de frontera constituyen información para encontrar la solución única de la ecuación parcial. Pues bien la solución es una suma infinita de funciones seno, una forma de expresión de series de Fourier. Imágenes en 3D de un glóbulo rojo invadido por el parásito de la malaria. (Foto: YongKeun Park, Michael Feld y Subra Suresh) Las imágenes obtenidas por los investigadores revelan que las membranas de los glóbulos rojos pierden flexibilidad, lo cual acaba conduciendo a la aglomeración de las células, cuando éstas tratan de navegar por los diminutos vasos sanguíneos. Asimismo, se evidencia la destrucción de la hemoglobina, la molécula fundamental que los glóbulos rojos usan para el transporte de oxígeno http://www.falstad.com/membrane/ Sensibilización: Otra razón para estudiar a Fourier
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 15 Hacia las Series de Fourier ( justifications matemáticas) Continua por partes La teoría de Series de Fourier trabaja con desarrollos en series trigonométricas. Primero revisaremos algunas propiedades de las funciones, particularmente importantes para este estudio: la continuidad por partes, la periodicidad y la simetría par e impar. Un función es continua por partes en [a, b] si f es continua en cada punto [a, b], excepto posiblemente para un número finito de puntos donde f tiene una discontinuidad de salto . Tales funciones son integrables en cualquier intervalo finito donde sean continuas por partes. Periodicidad Una función es periódica con periodo T si para toda x en el dominio de f . Si se cumple lo anterior, tambien se cumple f(t)=f(t+2*T)=f(t+3T) etc. El menor valor positivo se llama el período fundamental. Las funciones trigonométricas sen x y cos x son ejemplos de funciónes periódicas, con período fundamental 2p y tan x es períodica con período fundamental p.
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 16 Función Par Una función par es aquella que satisface para toda x en el dominio de f . Tiene una gráfica que es simétrica con respecto al eje y. Una función impar es aquélla que satisface para toda x en el dominio de f . Tiene una gráfica que es simétrica con respecto al origen. Función Impar Ejemplos Ejemplos
17 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería El producto de dos funciones pares es una función par. El producto de dos funciones impares es una función par. El producto de una función par y una impar es impar La suma ( resta ) de dos funciones pares es una función par. La suma ( resta ) de dos funciones impares es una función impar. Si f es una función par, entonces Si f es una función impar entonces Propiedades
Determina si la funciones siguientes son de la forma par o impar, o ninguna de ellas. 18
19 Producto interno de Funciones Funciones ortogonales El producto interno de dos funciones en un intervalo [a,b] es el numero obtenido al evaluar la integral Se dice que dos funciones son ortogonales en un intervalo [a,b] si el producto interno entre ellas es cero, es decir si: Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
20 Determina si las funciones dadas son ortogonales en el intervalo indicado. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
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22 EN GENERAL, EL CONJUNTO FORMA UN CONJUNTO ORTOGONAL, ES DECIR… LOS PRODUCTOS INTERNOS ENTRE ELLOS SON SIEMPRE CERO EN EL INTERVALO [-P,P] Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
23 A continuación algunos lineamientos:
Norma cuadrada Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
24 Dos funciones complejas son ortogonales en el intervalo [t1, t2] si Dos funciones complejas son mutuamente ortogonales en el intervalo [t1, t2] si Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
25 Se dice que el conjunto de funciones está normalizado si Si el conjunto de funciones es ortogonal y esta normalizado se llama conjunto ortonormal Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Una función arbitraria se puede representar en una serie de funciones ortogonales como en donde los coeficientes pueden determinarse como
26 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería en donde los coeficientes pueden determinarse como sigue: Sea: Por tanto:
O bien:
27 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Cálculo del error que se tiene al aproximar con una sumatoria de N términos en lugar de una serie infinita De donde el error cuadrático :
O bien:
28 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería desarrollando se llega a De donde el error cuadrático para un conjunto ortogonal completo :
Es la representación en una serie generalizada de Series de Fourier
29 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Cierta función rectangular esta definida Se desea aproximar esta función de energía finita empleando un conjunto de funciones definidas por Solución: El conjunto es un conjunto ortonormal en
30 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Por lo tanto En donde
31 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Por lo tanto En donde el error cuadrático integral puede calcularse a partir de
32 Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Por lo tanto Alrededor del 95% de la energía esta contenida en los primeros cuatro términos
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 33 SERIE DE FOURIER ( Equivalencia en la representación en serie trigonométrica de f(t) ) Definición 1. Sea f una función continua por partes en el intervalo [-T,T]. La serie de Fourier de f es la serie trigonométrica Donde y están dadas por las fórmulas: Se prueba integrando ambos lados de manera conveniente
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 34 EJEMPLO 1 Calcular la serie de Fourier de Solución En este caso, T=p. Obtenemos los coeficientes con las fórmulas anteriores.
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 35 EJEMPLO 1 (continuación) Solución Por lo tanto,
36 EJEMPLO 2 Calcular la serie de Fourier de Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Solución: Usted podrá llegar a esta representación, puede utilizar el tutorial, si lo hace en la calculadora, puede acceder al proceso de solución en la pagina del curso.
37 EJEMPLO 3 Calcular la serie de Fourier de Matemáticas Avanzadas para Ingeniería
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 38 EJEMPLO 4 Calcular la serie de Fourier de Solución De nuevo, T=p. Observe que f es una función impar. Como el producto de una función impar y una función par es impar, f(x) cos nx también es una función impar. Así, Además, f(x) sen nx es el producto de dos funciones impar y por tanto es una función par, de modo que Así
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 39 EJEMPLO 5 Calcular la serie de Fourier de Solución En este caso T=1. Como f es una función par, f(x)sen npx es una función impar. Por consiguiente, Como f(x) cos npx es una par, tenemos Por lo tanto
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 40 RECORDEMOS LAS PROPIEDADES DE FUNCIONES PARES E IMPARES SUPONGAMOS QUE f (x) espar ENTONCES Se prueba integrando ambos lados de manera conveniente YA QUE EL PRODUCTO DE PARES ES PAR YA QUE EL PRODUCTO DE PAR POR IMPAR ES IMPAR
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 41 SERIES DE SENOS Y COSENOS DE FOURIER Definición 2. Sea f(x) continua por partes en el intervalo [0,T]. La serie de cosenos de Fourier de f(x) en [0,T] es Donde La serie de Fourier de senos de Fourier de f(x) en [0,T] es Donde
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 42 EJEMPLO 1 Calcular la serie de Fourier de Solución Usamos las fórmulas anteriores con T=p, para obtener
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 43 EJEMPLO 1 (continuación) Solución Así que al hacer n=2k+1, tenemos que la serie de senos de Fourier para f(x) es La función f(x) es continua y f ´(x) es continua por partes en (0,p), de modo que el teorema de la convergencia puntual de las series de Fourier implica que Para toda x en [0,p]
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 44 SERIE DE FOURIER COMPLEJA Sea f una función de variable real, periódica con periodo fundamental p. Supongamos que f es integrable en [-p/2,p/2]. La serie de Fourier en este intervalo es Con . Se reescriben las ecuaciones como En la serie sea y para cada entero positivo
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 45 Entonces la serie llega a ser SERIE DE FOURIER COMPLEJA (continuación) Ahora consideramos los coeficientes. Primero, Y, para n=1,2,… Y, para n=1,2,…
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 46 SERIE DE FOURIER COMPLEJA (continuación 2) Ponemos estos resultados en la serie para obtener Hemos encontrado esta expresión rearreglando los términos en la serie de Fourier de una función periódica f .
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 47 (Gp:) TEOREMA (Gp:) Sea f periódica con un periodo fundamental p. Sea f suave a pedazos en [-p/2, p/2]. Entonces, en cada x la serie de Fourier converge a
El espectro de amplitud de la serie de Fourier compleja de una función periódica es la gráfica de los puntos , en donde es la magnitud del complejo .
Algunas veces este espectro de amplitud es llamado también espectro de frecuencia.
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 48 EJEMPLO Sea para para todo x. Entonces f es periódica con periodo fundamental 8. Aquí p=8 y . Recordemos que en las fórmulas para los coeficientes se puede realizar la integración sobre cualquier intervalo de longitud 8. Aquí es conveniente usar [0,8] en lugar de [-4,4] debido a como está definida f(x). Entonces. Si usamos el intervalo [-4,4], entonces podríamos calcular Ahora, La serie de Fourier compleja es Esta serie converge a f(x) para 0< x < 8, 8< x < 16, 16 < x < 24…. .8< x < 0, -16 < x < -8 Para trazar el espectro de amplitud, calculamos . Como el espectro de amplitud es un trazo de los puntos
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