Ecuaciones diferenciales en el contexto del MATLAB (página 2)

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?M = ex +f'(y) ?f ?y dx =?(yex + 2x)dx? f (x,y) = yex + x2 +f(y)? = ex +f'(y) = ex = luego ?f ?y (x,y)?f'(y) =0??f'(y)dy =?0dy ?f(y) =C1 entonces , f (x,y) = yex + x2 +C1, puesto que f (x,y) =C , obtenemos la solución general de la ecuación A- x2 ex yex + x2 +C1 =C ? yex + x2 = A? y = , donde A = C – C1. Ahora, obtenemos la solución general, así como la representación gráfica de la familia de soluciones (figura 3), utilizando los comandos del MatLab: Determinamos si la ecuación es exacta: >> maple('m:=(x,y)->y*exp(x)+2*x'); 6 Carlos úñez >> maple('n:=(x,y)->exp(x)'); >> pretty(simple(diff('m(x,y)','y'))) exp(x) >> pretty(simple(diff('n(x,y)','x'))) exp(x) Se resuelve la ecuación exacta: >> solucion1=maple('simplify(int(m(x,y),x)+g(y))') solucion1 = y*exp(x)+x^2+g(y) >> pretty(sym(maple('simplify(int(m(x,y),x)+g(y))'))) 2 y exp(x) + x + g(y) >> pretty(sym(maple('simplify(diff(y*exp(x)+x^2+g(y),y))'))) /d exp(x) +|– g(y)| dy / >> pretty(simple(sym('solve(exp(x)+diff(g(y),y)=n(x,y),diff(g(y),y))'))) 0 >> pretty(simple(sym(maple('subs(g(y)=int(0,y),y*exp(x)+x^2+g(y))')))) 2 y exp(x) + x Representación gráfica de la familia de soluciones: >> [x,y]=meshgrid(-1:.2:1); >> z=y*exp(x)+x^2; >> contour(z,100) Cuadro 3 7 3 2 3 2 3 2 3 2 ? 3 2 2 3×2 ? x?? ? = e x ? 3 2 2 2 2 2 3×2 ? 3 3 3 1 1 ?? ? ?e y? dx =?e xdx? e y = e +C ? y = +Ce Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab Figura 3 Ecuaciones lineales y'+ P(x)y =Q(x) Consideremos la ecuación diferencial lineal dy =(x -3xy)dx. En primer lugar es necesario llevarla a la forma y'+ P(x)y =Q(x), es decir y'+3xy = x, P(x)dx ahora, determinamos el factor e? , esto es 2 ?P(x)dx =?3xdx = x , no es P(x)dx 3 2 x = e2 , multiplicando la necesario incluir la constante de integración, luego e? ecuación por este factor, obtenemos ' 2 2 2 x x x e y'+e 3xy = e x2 e y ? ? luego, en el miembro izquierdo de la igualdad aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo y en el derecho integramos, así obtenemos la solución de la ecuación ' x2 x2 x2 x2 – 3 3 8 . 3 2 Q(x)dx +C e? Ecuaciones lineales de orden superior any( ) + an-1y( y( ) + a +···+ a1 0y = f Homogéneas con coeficientes constantes any( ) + an-1y( y( ) + a +···+ a1 0y = 0 Carlos úñez Como sabemos, para hacer el procedimiento más sencillo, simplemente se 2 x P(x)dx sustituye el factor e? = e P(x)dx P(x)dx ? en la expresión y = ?e y obtenemos la solución. Ahora, obtenemos la solución general, utilizando un comando del MatLab: >> pretty(sym(maple('simplify(dsolve(diff(y(x),x)+3*x*y(x)=x,y(x)))'))) 2 y(x) = 1/3 + exp(- 3/2 x ) _C1 Cuadro 4 1 n n-1) 1 n n-1) Consideremos las siguientes ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes: a) 2y''+5y'-3y =0 b) y'''-6y''+12y'-8y =0 c) y''-3y'+ 4y = 0 d) y6 -9y5 +30y4 -28y3 -88y2 + 256y' -192y = 0. Solución: a) obtengamos la ecuación polinomial asociada (polinomio característico), para ello hacemos y = erx, luego '' ' ? 2r2 +5r -3= 0?(2r -1)(r +3) = 0 9 y = Ae e + Be e ? 7 ? ? 7 ? ? 7 ? ? 7 ? 3 ? ? ? ? = Ae2 ?cos? x?+isen? x??+ Be2 ?cos? x?-isen? x?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab 10 1 2 x entonces, y1 = e y y2 = e-3x constituyen soluciones de la ecuación, por lo tanto la solución general es 1 2 x y = Ae + Be-3x. 1 b) la ecuación polinomial asociada es r3 -6r2 +12r -8= 0?(r -2)(r -2)(r -2) = 0 entonces, usando la reducción de orden es posible determinar otras soluciones 2 general de la ecuación es y = Ae2x + A2xe2x + A3x2e2x c) la ecuación polinomial asociada es r2 -3r + 4 = 0? r = 3± 9-16 3± 7i = 2 2 entonces, las soluciones de la ecuación son x 3+ 7i 2 y1 = e y x 3- 7i 2 y2 =e luego, la solución general de la ecuación es x x 3+ 7i 2 3- 7i 2 y = Ae + Be Mediante la fórmula de Euler, es posible reescribir la solución general 3 2 3 2 3 2 2 2 2 7i 2 x x x x x x – 7i 2 ? 7 ? y = e cos? ? x ? ? ? 7 ? y = e sen? ? x ? ? y6 =e2-2i = e sen(2x) Carlos úñez ahora, tomando adecuadamente valores para A y B, por ejemplo A = B = 1/2 y A = – i/2, B = i/2, obtenemos soluciones significativas con valores reales, esto es 3 2 2 x y 3 2 2 x por lo tanto 3 3 x x 2 2 2 2 d) la ecuación polinomial asociada es r6 -9r5 +30r4 -28r3 -88r2 + 256r -192 =0 factorizando, obtenemos (r -2)(r -2)(r + 2)(r -3)(2+ 2i)(2-2i) =0 entonces, las soluciones de la ecuación son y1 = e2x, y2 = xe2x, y3 = e-2x, y4 =e3x, y5 =e2+2i = e2xcos(2x) y 2x 1 por lo tanto, la ecuación general es y = Ae2x + A2xe2x + A3e-2x + A4e3x + A5e2xcos(2x)+ A6e2xsen(2x). Ahora, obtenemos la solución general de cada ecuación, utilizando los comandos del MatLab: a) >> pretty(dsolve('2*D2y+5*Dy-3*y=0')) C1 exp(-3 t) + C2 exp(1/2 t) 11 Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab ó >> pretty(sym(maple('dsolve(2*diff(y(x),x$2)+5*diff(y(x),x$1)-3*y(x)=0,y(x))'))) y(x) = _C1 exp(-3 x) + _C2 exp(1/2 x) b) >> pretty(sym(maple('dsolve(diff(y(x),x$3) -6*diff(y(x),x$2)+12*diff(y(x),x$1)-8*y(x)=0,y(x))'))) 2 y(x) = _C1 exp(2 x) + _C2 exp(2 x) x + _C3 exp(2 x) x c) >> solve('x^2-3*x^1+4=0') ans = [ 3/2+1/2*i*7^(1/2)] [ 3/2-1/2*i*7^(1/2)] >> pretty(sym(maple('dsolve(diff(y(x),x$2)-3*diff(y(x),x$1)+4*y(x)=0,y(x))'))) 1/2 y(x) = _C1 exp(3/2 x) sin(1/2 7 1/2 x) + _C2 exp(3/2 x) cos(1/2 7 x) d) >> pretty(sym(maple('dsolve(diff(y(x),x$6) -9*diff(y(x),x$5)+30*diff(y(x),x$4)-28*diff(y(x),x$3)- 88*diff(y(x),x$2)+256*diff(y(x),x$1)-192*y(x))'))) y(x) = _C1 exp(2 x) + _C2 exp(3 x) + _C3 exp(-2 x) + _C4 exp(2 x) x + _C5 exp(2 x) cos(2 x) + _C6 exp(2 x) sin(2 x) o así >> pretty(dsolve('D6y-9*D5y+30*D4y-28*D3y-88*D2y+256*Dy-192*y=0')) C1 exp(-2 t) + C2 exp(2 t) + C3 exp(3 t) + C4 exp(2 t) t + C5 exp(2 t) cos(2 t) + C6 exp(2 t) sin(2 t) Cuadro 5 12 (Cxe senx) -2(Cxe senx) + 2(Cxe senx) = e '' ' xe senx, por lo tanto la solución general es y = Aexcosx + Be senx+ xe senx. Carlos úñez o homogéneas con coeficientes constantes ay''+by'+cy = f (x) Método de coeficientes indeterminados Consideremos la siguiente ecuación no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes: y''-2y'+ 2y = excosx x la solución general de la ecuación homogénea. Ahora, determinamos una solución x en la ecuación diferencial, obtenemos x x x x cosx ? 2Cexcosx = excosx? C =1/2 1 2 x luego, yp = 1 2 x x Método de variación de parámetros Consideremos la ecuación y''-2y'+ 2y = excosx. Este método, al igual que el anterior, produce la solución general de la ecuación mediante y = yp + yh, donde x homogénea y yp =u1y1 +u2y2 es una solución particular de la ecuación diferencial, u1 y u2 son funciones desconocidas que se deben determinar. Para determinar a u1 y u2, es necesario calcular en Wronskiano de las dos funciones y1 y y2, esto es 13 W(y1 2) = 1 ' y2 excosx e senx = x x x x e senx(excosx) u1 = -? ? ? ' y2 f u1dx = – dx = – W e dx = -?senxcosxdx = cos(2x) u2 =? ? ? ' y1f excosx(excosx) u2dx = dx = W e dx =?cos2 xdx = + sen(2x) y = Aexcosx + Be senx+ excosx+ xe senx. Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab y2 ' ,y y y1 = e2x x e cosx-e senx e senx+e cosx 1 4 x 2x 2x x 1 2 4 luego ? 1 ? ? x 1 ? x 1 1 x 2x xe senx ? 4 ? ? 2 4 ? 4 2 por lo tanto, la solución general es x 1 1 4 2 x Ahora, obtenemos la solución general de la ecuación, así como la representación gráfica de la familia de soluciones (figura 4), para ciertos valores de A y B, utilizando los comandos del MatLab: >> solve('r^2-2*r+2=0') ans = [ 1+i] [ 1-i] >> maple('f:=x->exp(x)*cos(x)'); >> maple('y1:=x->exp(x)*cos(x)'); >> maple('y2:=x->exp(x)*sin(x)'); >> maple('W:=x->Wronskian([y1(x),y2(x)],x)'); 14 Carlos úñez 15 >> pretty(simple(sym(maple('det(W(x))')))) exp(2 x) >> maple('W1:=x->array([[0,y2(x)],[1,diff((y2)(x),x)]])'); >> pretty(simple(sym(maple('det(W1(x))')))) -exp(x) sin(x) >> maple('W2:=x->array([[y1(x),0],[diff((y1)(x),x),1]])'); >> pretty(simple(sym(maple('det(W2(x))')))) exp(x) cos(x) >> maple('u1:=x->factor(simplify(int(f(x)*det(W1(x))/det(W(x)),x)))'); >> maple('u1(x)') ans = 1/4*cos(2*x) >> maple('u2:=x->factor(simplify(int(f(x)*det(W2(x))/det(W(x)),x)))'); >> maple('u2(x)') ans = 1/4*sin(2*x)+1/2*x >> maple('yp:=x->factor(simplify(y1(x)*u1(x)+y2(x)*u2(x)))'); >> maple('yp(x)') ans = 1/4*exp(x)*(cos(x)*cos(2*x)+sin(x)*sin(2*x)+2*sin(x)*x) >> maple('y:=x->simplify(c1*y1(x)+c2*y2(x)+yp(x))'); >> maple('combine(y(x),trig)') ans = c1*exp(x)*cos(x)+c2*exp(x)*sin(x)+1/4*exp(x)*cos(x)+1/2*exp(x)*sin(x)*x >> ezplot(simple(sym(maple('subs(c1=-4,c2=6,y(x))'))),[-2,2]) >> hold on >> ezplot(simple(sym(maple('subs(c1=-4,c2=-6,y(x))'))),[-2,2]) anx y( ) + an-1x y( xy( ) + a +···+ a1 0y = f Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab >> ezplot(simple(sym(maple('subs(c1=-4,c2=-3,y(x))'))),[-2,2]) >> ezplot(simple(sym(maple('subs(c1=-4,c2=3,y(x))'))),[-2,2]) >> ezplot(simple(sym(maple('subs(c1=-4,c2=2,y(x))'))),[-2,2]) >> ezplot(simple(sym(maple('subs(c1=-4,c2=-2,y(x))'))),[-2,2]) >> ezplot(simple(sym(maple('subs(c1=4,c2=2,y(x))'))),[-2,2]) >> ezplot(simple(sym(maple('subs(c1=4,c2=-2,y(x))'))),[-2,2]) >> ezplot(simple(sym(maple('subs(c1=4,c2=5,y(x))'))),[-2,2]) >> ezplot(simple(sym(maple('subs(c1=4,c2=-4,y(x))'))),[-2,2]) >> ezplot(simple(sym(maple('subs(c1=-4,c2=-4,y(x))'))),[-2,2]) >> ezplot(simple(sym(maple('subs(c1=-4,c2=-5,y(x))'))),[-2,2]) Cuadro 6 Figura 4 Ecuaciones diferenciales con coeficientes variables reducibles a ecuaciones con coeficientes constantes. Ecuación de Cauchy-Euler 1 n-1) n n n-1 4 4 3 3 2 16 1 ? d y dy ? d y d ? ? 1 dy 2 = ? ? = 2 ? 2 – ? 1 ? d y d y d y dy ? 3 1 ? d y d y dy ? 4 ? -6 +11 -6 ?+6x ? -3 + 2 ? x3 ? dt dt dt ? x ? dt dt dt dt ? 1 ? d y dy ? x2 ? dt dt ? 1 dy d y d y x dt dt dt2 +C2 2 lnx+C3 4x2lnx. x2 +C x x 17 Carlos úñez Para transformarla en ecuación de coeficientes constantes, hacemos x = et ?t = lnx por lo tanto dy dy dt 1 dy = = dx dt dx x dt , 2 2 dx dx? x dt ? x ? dt dt ? 3 2 3 2 2 = ? 2 ? 2 – ?? = 3 ? 3 -3 2 + 2 ? dx dx? x ? dt dt ?? x ? dt dt dt ? 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 sustituyendo estas derivadas en la ecuación diferencial, obtenemos 4 4 3 2 3 2 4 3 2 3 2 x 2 2 2 4 2 4 -x +16y =0? -8 +16y = 0 ? – ?-7x luego, la ecuación polinomial asociada es r4 -8r2 +16 =0?(r -2)(r -2)(r + 2)(r + 2) = 0 por tanto 1 x2 y1 = e-2t = e-2ln x = , lnx 1 x2 y2 =te-2t =ln(x)e-2ln x = y3 =e2t = e2ln x = x2 y y4 =te2t = ln(x)e2ln x = x2lnx 1 1 2 y =C1 L?e f (x)? = F( p -a). = lím e y(x) + lím p? e y(x)dx = -y(0)+ pL[y] Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab Mediante cualquier comando del MatLab del cuadro 7, se obtiene la solución de la ecuación. En esta ecuación el programa, se toma su tiempo para dar el resultado. No se edita por ser muy extenso. pretty(simple(dsolve('x^4*D4y+6*x^3*D3y-x^2*D2y-7*x*Dy+16*y=0'))) pretty(sym(maple(dsolve('x^4*D4y+6*x^3*D3y-x^2*D2y-7*x*Dy+16*y=0')))) Cuadro 7 Ecuaciones diferenciales y transformada de Laplace 8 0 ?8 0 L[a f + ßg]=a L[ f]+ ß L[g], ax Si F = L[ f] es la transformada de Laplace, entonces f = L -1[F], es la transformada inversa de Laplace. Por otra parte, si f (x) = y'(x), entonces 8 0 ?8 0 0 – px – px ?8 ?8 0 luego L[y']= pL[y]- y(0) de igual manera L[y'']= p2L[y]- py(0)- y'(0), 3 2 18 ( p +1) ( p +1) +1 ( p + 2p + 2)( p + 2p +5) p + 2p + 2 p + 2p +5 ( ) p +1 ( ) p +1 + 4 ? ? Carlos úñez Sea la ecuación y''+ 2y'+5y =3e-xcosx, con las condiciones iniciales y(0) = 0 y y'(0) = 0. Nótese, que podemos tomar a y'(0) = 2( p +1) como condición inicial. Aplicamos la transformada de Laplace a ambos miembros de la igualdad, esto es L[y'']+L[2y']+L[5y]=L?3e-xcosx? utilizando los resultados obtenidos anteriormente, obtenemos p +1 2 p2L[y]- py(0)- y'(0)+ 2pL[y]-2y(0)+5L[y]=3 +1 3p +3 2 L[y]( p2 + 2p +5)-( p + 2)y(0)- y'(0) = sustituyendo las condiciones iniciales, despejando y utilizando una descomposición en fracciones parciales, obtenemos 3p +3 p +1 p +1 L[y]= 2 2 = 2 – 2 p +1 2 p +1 2 = – +1 aplicando la transformada inversa, obtenemos p +1 p +1 2 ? ? ? ? y = e-xcosx -e-xcos(2x). Por intermedio de los comandos del MatLab, obtenemos la solución particular, así como la solución grafica (figura 5): 19 Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab >> maple('L:=p->laplace(diff(y(x),x$2)+2*diff(y(x),x)+5*y(x),x,p)'); >> pretty(simple(sym(maple('subs(y(0)=0,(D(y))(0)=0,L(p))')))) 2 laplace(y(x), x, p) (p + 2 p + 5) >> maple('L1:=p->laplace(3*exp(-x)*cos(x),x,p)'); >> pretty(simple(sym('L1(p)'))) p+1 3 ———— 2 (p + 1) + 1 >> pretty(simple(sym(maple('solve(L(p)=L1(p),laplace(y(x),x,p))')))) 3 2 (y(0) p + (4 y(0) + D(y)(0)) p + (3 + 2 D(y)(0) + 6 y(0)) p + 3 / 4 3 2 + 2 D(y)(0) + 4 y(0)) / (p + 4 p + 11 p + 14 p + 10) / >> maple('TL:=p->solve(L(p)=L1(p),laplace(y(x),x,p))'); >> pretty(simple(sym('subs(y(0)=0,(D(y))(0)=0,TL(p))'))) 3+3p —————————– 4 3 2 p + 4 p + 11 p + 14 p + 10 >> maple('TLO:=p->simplify(subs(y(0)=0,(D(y))(0)=0,TL(p)))'); >> solucion=simple(sym(maple('invlaplace(TLO(p),p,x)'))); >> pretty(solucion) exp(-x) (cos(x) – cos(2 x)) >> x=(-2*pi:0.1:2*pi); >> y=exp(-x).*cos(x)-exp(-x).*cos(2*x); >> plot(x,y) Cuadro 8 20 ?a x y =?anxn = a0 1 2 3×3 + y'=?nanxn-1 = a1 2 3 4×3 + y''=?n(n-1)anxn-2 = 2·1a2 3 4×2 + Carlos úñez Figura 5 Solución en series de potencias de ecuaciones lineales – Método de las series de Taylor 1 n n 8 = a0 + ax + a2x2 + + anxn + n=0 Consideremos las ecuaciones a) y''- xy'- y = 0 y b) y''+3y = 0 a) Conjeturemos que la ecuación tiene una solución expresada como serie de potencias, es decir 8 + a x+ a x2 + a + anxn + n=0 determinemos los coeficientes de la serie, para ello es necesario precisar y' y y'' 8 n=1 8 n=2 + 2a x+3a x2 + 4a +3·2a x + 4·3a 21 + nanxn-1 + + n(n-1)anxn-2 + a0 A 22 Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab al sustituir en la ecuación, es conveniente que la primera y segunda serie tengan el índice igual a la tercera, esto es 8 8 8 ) n=2 (2·1a2 n=2 +3·2a3x + 4·3a4x2 +5·4a5x3 + n=2 + n(n-1)anxn-2 + ) -(a1x + 2a2x2 +3a3x3 + +(n-2)an-2xn-2 + -(a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + + an-2xn-2 + ) = 0 reuniendo las potencias iguales de x, obtenemos (2·1a2 -a0)+(3·2a3 -a1 -a1)x +(4·3a4 -2a2 -a2)x2 +(5·4a5 -3a3 -a3)x3 + +(n(n-1)an -(n-2)an-2 -an-2)xn-2 + = 0 esta ecuación se satisface si todos los coeficientes son nulos, este hecho produce las relaciones de recurrencia siguientes 2·1a2 -a0 = 0, 3·2a3 -2a1 = 0, 4·3a4 -3a2 = 0, 5·4a5 -4a3 = 0, , n(n-1)an -(n-1)an-2 = 0, resolviendo cada ecuación y considerando a a0 y a1 como constantes cualesquiera A y B, obtenemos índices pares a2 = = 2·1 2 3 1 A A , a4 = a2 = = 4·3 4 ·2 4·2 , , an = (n-1) an-2 = 1 an-2, n(n-1) n pero (n-2) n-4 (n-4) n-6 n n(n-2) 2a1 B 1 2 1 4 Carlos úñez 23 1 a an-2 = an-4 = (n-3) (n-2)(n-3) pero 1 a an-4 = luego 1 1 an = an-2 = an-4 = an-6 = 1 n(n-2)(n-4) entonces an = A n(n-2)· ·4·2 por tanto A a2n = 2·4· ·(2n) Índices impares a3 = = 3·2 3 , a5 = 4 1 B B a3 = = 5·4 5 3 5·3 , en general a2n-1 = 3·5· B ·(2n-1) la solución general, es 1 + x2n + x + x + 2 2·4 2·4· ·(2n) ? y = A?1+ ? ? ? ? ? + B?x + x3 + ? y =?anxn = a0 1 2 3×3 + y''=?n( )anxn-2 = 2·1a2 3 4×2 + Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab x5 + + x2n-1 + 1 1 3 3·5 3·5· 1 ·(2n-1) ? ?. ? b) Conjeturemos que la ecuación presente una solución expresada como serie de potencias, es decir 8 + a x+ a x2 + a + anxn + n=0 para obtener los coeficientes es necesario determinar y'' 8 n-1 +3·2a x + 4·3a + n(n-1)anxn-2 + n=2 al sustituir en la ecuación, es conveniente que la primera serie tengan el índice igual al de la tercera, esto es 8 8 ) (2·1a2 n=2 n=2 +3·2a3x + 4·3a4x2 +5·4a5x3 + + n(n-1)anxn-2 + +(3a0 +3a1x +3a2x2 +3a3x3 + +3·an-2xn-2 + ) = 0 reuniendo las potencias iguales de x, obtenemos (2·1a2 +3a0)+(3·2a3 +3a1)x +(4·3a4 +3a2)x2 +(5·4a5 +3a3)x3 + +(n(n-1)an +3an-2)xn-2 + = 0 para que la serie de potencias sea igual a cero, cada coeficiente debe ser cero, esto es 24 3A 2 3B 3 32A 4 32B 5 y = A?1- 3 2 32 4 ( ) -3 ?+ B?x- 3 3 32 5 ( ) -3 ? 25 Carlos úñez 2·1a2 +3a0 = 0, 3·2a3 +3a1 = 0, 4·3a4 +3a2 = 0, 5·4a5 +3a3 =0, , n(n-1)an +3an-2 = 0, así, obtenemos las relaciones de recurrencia siguientes Índices pares consideremos a0 una constante cualquiera A 2·1a2 +3a0 =0? a2 = – 3A 2·1 4·3a4 +3a2 = 0? a4 = – 3 ? 3A ? ?- ? 4·3? 2·1? 32A 4·3·2·1 ? a4 = deducimos que n a2n =(-3) A (2n)(2n-1)· ·3·2·1 n A (2n)! ? a2n =(-3) . Índices impares consideremos a1 una constante cualquiera B 3·2a3 +3a1 = 0? a3 = – 3B 3·2 5·4a5 +3a3 = 0? a5 = – 3 ? 3B ? ?- ? 5·4? 3·2? 32B 5·4·3·2 ? a5 = deducimos que n a2n+1 =(-3) A (2n+1)(2n)· ·3·2·1 n ? a2n+1 =(-3) B (2n+1)! luego y = A+ Bx – x – x + x + x – 2! 3! 4! 5! x + x – 2! 4! n + – (2n)! x + x – 3! 5! + – n (2n+1)! ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab n 1 n 1 ? n=0 (2n)! ? ? n=0 (2n+1)! ? por lo tanto, la solución general es y = Acos ( 3x)+ Bsen( 3x). Por intermedio de los comandos del MatLab, obtenemos las soluciones generales y particulares para y(0) =1 y y'(0) =1: a) >> maple('dsolve(diff(y(x),x$2)-x*diff(y(x),x)-y(x)=0,y(x),series)') ans = y(x) = series(y(0)+D(y)(0)*x+(1/2*y(0))*x^2+(1/3*D(y)(0))*x^3 +(1/8*y(0))*x^4+(1/15*D(y)(0))*x^5+O(x^6),x,6) >> pretty(simple(sym(maple('dsolve({diff(y(x),x$2)-x*diff(y(x),x) -y(x)=0,y(0)=1,D(y)(0)=1},y(x),series)')))) 2 3 4 5 6 y(x) = 1 + x + 1/2 x + 1/3 x + 1/8 x + 1/15 x + O(x ) b) >> pretty(simple(sym(maple('dsolve(diff(y(x),x$2)+3*y(x)=0,y(x),series)')))) 2 3 4 y(x) = y(0) + D(y)(0) x – 3/2 y(0) x – 1/2 D(y)(0) x + 3/8 y(0) x + 5 6 3/40 D(y)(0) x + O(x ) >>pretty(simple(sym(maple('dsolve({diff(y(x),x$2)+3*y(x)=0, y(0)=1,D(y)(0)=1},y(x),series)')))) 2 3 4 5 6 y(x) = 1 + x – 3/2 x – 1/2 x + 3/8 x + 3/40 x + O(x ) 26 ??dt = x+ 4y ??dt = x- y 27 Carlos úñez >> pretty(simple(sym(maple('dsolve({diff(y(x),x$2)+3*y(x)=0, y(0)=1,D(y)(0)=0},y(x),series)')))) 2 4 6 y(x) = 1 – 3/2 x + 3/8 x + O(x ), (donde y(0) =1, y'(0) = 0) >> pretty(simple(sym(maple('dsolve({diff(y(x),x$2)+3*y(x)=0, y(0)=0,D(y)(0)=1},y(x),series)')))) 3 5 6 y(x) = x – 1/2 x + 3/40 x + O(x ), (donde y(0) = 0, y'(0) =1) Cuadro 9 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden ?dx ? 2 2 2 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes – método de valores propios ?dx x +b ? ?dy = a x+b y 2 2 Consideremos los sistemas siguientes a) ?dx ? ?dy = x + y ??dt b) ?dx ? ?dy = 4x+ y ??dt ? ? ?Bme = Ae + Be ? Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab Puesto que, un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con coeficientes constantes es reducible a una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, podemos conjeturar que el sistema presenta una solución de la forma ?x = Aemt mt derivando y sustituyendo esta posible solución en el sistema, obtenemos ? ?Amemt = Aemt + 4Bemt mt mt mt ? ?(1-m)A+ 4B = 0 ? ? ?A+(1-m)B = 0 ? , donde A y B son incógnitas para que este sistema de ecuaciones tenga solución, es necesario que det = 0 1-m 4 1 1-m si es diferente de cero, se obtiene la solución trivial A = B = 0 desarrollando el determinante, obtenemos la ecuación polinomial asociada o auxiliar m2 -2m-3= 0?(m+1)(m-3) =0? m1 = -1,m2 =3 si m = -1, obtenemos ?2A+ 4B =0 ? ?A+ 2B =0 es claro, que estas ecuaciones son múltiplos entre sí, luego el determinante es cero, por tanto existen soluciones no triviales, una de ellas es A = -2, B = 1, entonces 28 ? ??y =(B1 2i)e + B ? ??y =(B1 2i)e + B ? ? Carlos úñez ?x = -2e-t -t si m = 3, obtenemos ?-2A+ 4B = 0 ? ?A-2B =0 es claro, que estas ecuaciones son múltiplos entre sí, luego el determinante es cero, por tanto existen soluciones no triviales, una de ellas es A = 2, B = 1, entonces ?x = 2e3t 3t es evidente, que los dos conjuntos solución obtenidos son linealmente independientes, por lo tanto la solución general del sistema es ? ?x = -2C1e-t + 2C2e3t ? ??y =C1e-t +C2e3t . 1 b) Antes de resolver, el sistema, es prudente hacer ciertas consideraciones, a saber los coeficientes A y B son números complejos, esto es A= A + A2i y B = B1 + B2i, por lo tanto ?x =(A + A2i)e(a+bi)t (a+bi)t ? 1 y ?x =(A + A2i)e(a-bi)t (a-bi)t ? 1 ? 1 Aplicando la fórmula de Euler en la primera solución particular propuesta del sistema, obtenemos ?x =(A + A2i)eat(cos(bt)+isen(bt)) ? at 29 ??y =(B1cos( )- B2sen( ))e bt bt ??y =(B1sen( )+ B2cos( ))e bt bt 1 1 ? Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab ?x =((A cos(bt)- A2sen(bt))+i(Asen(bt)+ A2cos(bt)))eat ?? at luego, las soluciones con valores reales son ? 1 ?x =(A cos(bt)- A2sen(bt))eat ? at ? 1 ?x =(Asen(bt)+ A2cos(bt))eat y ? at 1 1 ? ? ? ? es claro que estas soluciones son linealmente independientes, por lo tanto la solución general del sistema, es ?x =(C1(A cos(bt)- A2sen(bt))+C2(Asen(bt)+ A2cos(bt)))eat ? at Obsérvese, que si se aplica un procedimiento similar a la segunda solución propuesta, obtenemos la misma solución general. Resolvamos, bajo estas premisas, el sistema en consideración, para ello conjeturemos que el sistema presenta una solución de la forma ?x = Aemt mt derivando y sustituyendo esta posible solución en el sistema, obtenemos ?Amemt = Aemt – Bemt ?(1-m)A- B = 0 ? ? ? mt mt mt para que este sistema de ecuaciones tenga solución, es necesario que 30 det = 0 Carlos úñez 1-m -1 4 1-m ? si es diferente de cero, se obtiene la solución trivial A = B = 0 desarrollando el determinante, obtenemos la ecuación polinomial asociada o auxiliar m2 -2m+5=0? m =1± 2i si m =1+ 2i, obtenemos ?-2iA- B = 0 ? ?4A-2iB =0 es claro, que estas ecuaciones son múltiplos entre sí, luego el determinante es cero, por tanto existen soluciones no triviales, una de ellas es A = 1, B = -2i, entonces ?x =e(1+2i)t = et(cos(2t)+isen(2t)) (1+2i) luego, las soluciones con valores reales son t ? ?x =cos(2t)et ? ??y = 2sen(2t)e y t ? ?x = sen(2t)et ? ??y = -2cos(2t)e es claro que estas soluciones son linealmente independientes, por lo tanto la solución general del sistema, es t ? ?x =(C1cos(2t)+C2sen(2t))et ? ??y = 2(C1sen(2t)-C2cos(2t))e 31 Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab Ahora, obtenemos la solución general de los dos sistemas, así como la solución particular, mediante el método de las series de Taylor, del segundo para x(0) = 1 y y(0) = 1, utilizando los comandos de MatLab: a) >> S=dsolve('Dx=x+4*y,Dy=x+y','t'); >> pretty(sym([S.x,S.y])) [1/2 C1 exp(-t) + 1/2 C1 exp(3 t) + C2 exp(3 t) – C2 exp(-t) , 1/4 C1 exp(3 t) – 1/4 C1 exp(-t) + 1/2 C2 exp(-t) + 1/2 C2 exp(3 t)] ó >> pretty(sym(maple('dsolve({diff(x(t),t)=x(t)+4*y(t),diff(y(t),t)=x(t)+y(t)}, {x(t),y(t)})'))) {x(t) = 1/2 _C1 exp(-t) + 1/2 _C1 exp(3 t) + _C2 exp(3 t) – _C2 exp(-t), y(t) = 1/4 _C1 exp(3 t) – 1/4 _C1 exp(-t) + 1/2 _C2 exp(-t) + 1/2 _C2 exp(3 t)} b) >> S=dsolve('Dx=x-y,Dy=4*x+y','t'); >> pretty(sym([S.x,S.y])) [- 1/2 exp(t) (-2 cos(2 t) C1 + sin(2 t) C2) ,exp(t) (2 sin(2 t) C1 + cos(2 t) C2)] Método de las series de Taylor >> pretty(simple(sym(maple('dsolve({diff(x(t),t)-x+y=0,diff(y(t),t)-4*x-y=0, x(0)=1,y(0)=1},{x(t),y(t)},series)')))) 2 3 55 4 5 6 {y(t) = 1 + 5 t + 5/2 t – 5/2 t – —- t – 7/24 t + O(t ), 24 2 3 4 5 6 x(t) = 1 – 5/2 t – 5/3 t + 5/24 t + 1/2 t + O(t )} Cuadro 10 32 ??dt =3x- y +e Carlos úñez Sistemas lineales no homogéneos con coeficientes constantes ?dx ? 2 2 2 Método de coeficientes indeterminados Consideremos el sistema siguiente 2t ?dx ? ?dy = 4x-2y ??dt ? ? 1 En primer lugar presentemos la solución general del sistema homogéneo ?x =C1e-t +C2e2t ? ??y = 4C1e-t +C2e2t De esta solución se desprende, que no es admisible considerar la solución x = Ae2t, y = Be2t, como solución particular del sistema lineal no homogéneo, puesto que es una solución (para C1 = 0) de la solución general del sistema homogéneo. Por la experiencia en la solución de ecuaciones diferenciales no homogéneas, conjeturemos que una solución particular es ?x =(A + A2t)e2t ? 2t derivando y sustituyendo en el sistema, obtenemos 33 ? 1 Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab ?(2A 1 + A2 + 2A2t)e2t =(3A 1 +3A2t)e2t +(-B1 – B2t)e2t +e2t ? 2t ??(A2 – B2)t +(A 1 – A2 – B1 +1) = 0 ?? ??(4A2 -4B2)t +(4A -4B1 – B2) =0 para que estas ecuaciones sean nulas, los coeficientes tienen que ser igual a cero, esto es 1 ? 1 ?A2 – B2 = 0 ? ?4A2 -4B2 = 0 ? ?A – A2 – B1 +1=0 ?4A -4B1 – B2 =0 de (i) y (ii) obtenemos que A2 = B2, de (iv) (i) (ii) (iii) (iv) A1 – B1 = B2/4, de esta última expresión y de (iii), obtenemos B2 4 4 1 – B2 2 2 1 1 = -1= 4 3 3 3 haciendo B1 = 0, entonces A1 = 1/3, luego ? ?1 4 ? 2t + ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? por lo tanto, la solución general es -t ? ? ?3 3 ?? ? ? ? 3 ? 34 35 Carlos úñez Ahora, obtenemos la solución general y particular utilizando los comandos de MatLab: >> S=dsolve('Dx=3*x-y+exp(2*t),Dy=4*x-2*y','t'); >> pretty(sym([S.x,S.y])) [- 1/3 C1 exp(-t) + 4/3 C1 exp(2 t) – 1/3 C2 exp(2 t) + 1/3 C2 exp(-t) – 1/9 exp(2 t) + 4/3 exp(2 t) t , 4/3 C1 exp(2 t) – 4/3 C1 exp(-t) + 4/3 C2 exp(-t) – 1/3 C2 exp(2 t) + 4/3 exp(2 t) t – 4/9 exp(2 t)] Método de las series de Taylor >> pretty(simple(sym(maple('dsolve({diff(x(t),t)-3*x+y-exp(2*t)=0,diff(y(t),t) -4*x+2*y=0,x(0)=1,y(0)=1},{x(t),y(t)},series)')))) 2 3 4 5 6 {x(t) = 1 + 3 t + 9/2 t + 23/6 t + 19/8 t + 9/8 t + O(t ), 2 3 4 31 5 6 y(t) = 1 + 2 t + 4 t + 10/3 t + 13/6 t + — t + O(t )} 30 Cuadro 11 Método de variación de parámetro Consideremos el sistema siguiente ?dx t ? ?dy = x+ 2y +e4t ??dt En primer lugar, consideremos la solución general del sistema homogéneo, para ello conjeturemos que tiene una solución de la forma 36 ? ? ? Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab ?x = Aemt mt derivando y sustituyendo esta posible solución en el sistema, obtenemos ?Amemt =3Aemt + 2Bemt ?(3-m)A+ 2B = 0 ? ? ? mt mt mt para que este sistema de ecuaciones tenga solución, es necesario que det = 0 3-m 2 1 2-m si es diferente de cero, se obtiene la solución trivial A = B = 0 desarrollando el determinante, obtenemos la ecuación polinomial asociada o auxiliar m2 -5m+ 4 =0?(m-1)(m-4) = 0 si m = 1, obtenemos ?2A+ 2B =0 ? ?A+ B = 0 es claro, que estas ecuaciones son múltiplos entre sí, luego el determinante es cero, por tanto existen soluciones no triviales, una de ellas es A = 1, B = 1, entonces t ? ?x =et ? ??y = -e si m = 4, obtenemos (-e )+u ??y =u1 2e ? ?u1 2 'e4t = et e + 2u ? ? e +u' 4t ??-u1 2e = e ? u1 2 ' = + e-3t ? Carlos úñez ?-A+ 2B =0 ? ?A-2B = 0 es claro, que estas ecuaciones son múltiplos entre sí, luego el determinante es cero, por tanto existen soluciones no triviales, una de ellas es A = 2, B = 1, entonces ?x = 2e4t 4t es evidente, que los dos conjuntos solución obtenidos son linealmente independientes, por lo tanto la solución general del sistema homogéneo, es ? ?x =C1et + 2C2e4t ? ??y = -C1et +C2e4t . Ahora, consideremos una solución particular del sistema no homogéneo, esto es ? ?x =u1et +u2(2e4t) ? t 4t , donde u1 y u2 son funciones de t desconocidas derivando y sustituyendo en el sistema, obtenemos ' t t ' ' t t ' 4t ' t ' t 4t ' 1 2 3t 1 1 = – e , u 3 3 3 3 integrando, obtenemos – e + e ?3 3 ? 3 9 ?3 3 ? 3 9 37 ( ) 4 1 2 t x C e = +? ? ? ? 4 2 2 t t t e C t e e t e e + – + – 3 9 ? ? 3 9 ? ? ? ( ) 4 3 4 1 2 1 1 t t t t t y C e C e t e e t e e ? ? ? ? = – + + – – + – ? ? 4 4 1 2 2 2 t t t x C e C e t e t e = + + – + – ? ? ? ? ? ?? ? ? 3 9 3 9 ? ? ? ? Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab 38 por lo tanto, la solución general del sistema, es ? ?1 2 3t ? ?1 1 -3t ? ? ? -3t ? 1 2 ? ? ? ? ?3 9 ? ?3 9 ? 1 2 ? ?1 2? t ?1 1? ? ?3 9? ?3 9? ?y = -C et +C e4t -?1t + 1?et +?1t + 2?e4t ? ? ? ? Ahora, obtenemos la solución general y particular utilizando los comandos de MatLab: >> S=dsolve('Dx=3*x+2*y+exp(t),Dy=x+2*y+exp(4*t)','t'); >> pretty(sym([S.x,S.y])) [1/3 C1 exp(t) + 2/3 C1 exp(4 t) + 2/3 C2 exp(4 t) – 2/3 C2 exp(t) + 1/3 t exp(t) – 2/9 exp(4 t) + 2/3 t exp(4 t) – 2/9 exp(t) , 1/3 C1 exp(4 t) – 1/3 C1 exp(t) + 2/3 C2 exp(t) + 1/3 C2 exp(4 t) + 1/3 t exp(4 t) – 1/9 exp(t) – 1/3 t exp(t) + 2/9 exp(4 t)] ó >> pretty(sym(maple('dsolve({diff(x(t),t)=3*x(t)+2*y(t)+exp(t), diff(y(t),t)=x(t)+2*y(t)+exp(4*t)},{x(t),y(t)})'))) {x(t) = 1/3 _C1 exp(t) + 2/3 _C1 exp(4 t) + 2/3 _C2 exp(4 t) – 2/3 _C2 exp(t) + 1/3 t exp(t) – 2/9 exp(4 t) + 2/3 t exp(4 t) – 2/9 exp(t), y(t) = 1/3 _C1 exp(4 t) – 1/3 _C1 exp(t) + 2/3 _C2 exp(t) + 1/3 _C2 exp(4 t) + 1/3 t exp(4 t) – 1/9 exp(t) – 1/3 t exp(t) + 2/9 exp(4 t)} Carlos úñez 39 >> S=dsolve('Dx=3*x+2*y+exp(t),Dy=x+2*y+exp(4*t)','x(0)=1,y(0)=1','t'); >> pretty(simple(sym([S.x,S.y]))) [(1/3 exp(t) + 2/3 exp(4 t)) t – 1/3 exp(t) + 4/3 exp(4 t) , (1/3 exp(4 t) – 1/3 exp(t)) t + exp(4 t)] Cuadro 12 Bibliografía García, J. et al. (2002). Aprenda Matlab 6.1 como si estuviera en primero. Madrid: Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales, Universidad Politécnica de Madrid. Golubitsky, M. y Dellnitz, M. (1999). Linear algebra and differential equations using MATLAB. New York: Brooks Cole Publishing Company. Ledder, G. (2006). Differential equations: a modeling approach. New York: McGraw-Hill, Inc. MATLAB (Matriz LABoratory). (2001). The language of technical computing. Version 6.1.0.450 Release 12.1. New York: The MathWohk, Inc. Núñez R., C. (2000). Sucesiones y series. Trabajo se ascenso a la Categoría de Asociado. Universidad Nacional Experimental del Táchira – UNET. San Cristóbal, Venezuela. Núñez R., C. (2003). “Los números complejos en el entorno Maple 7”. Alep Sub – Cero, Serie de Divulgación. 2003-I(I), 53–73. Venezuela. Pérez, C. (1999). Análisis matemático y álgebra lineal con MATLAB. Madrid: ra-ma. Simmons G. y Krantz, S. (2007). Ecuaciones diferenciales. México: McGraw- Hill, Interamericana. Takeuchi, Y. et al. (1978). Ecuaciones diferenciales. México: Limusa.