ALEPH SUB – CERO SERIE DE DIVULGACIÓ ?0 2008 – II ?0 ECUACIO ES DIFERE CIALES E EL CO
TEXTO DEL MATLAB Carlos Enrique úñez Rincón1 Los
matemáticos, en lugar de simplemente utilizar un
método que parece funcionar, quieren hallar una justificación para el método y una serie de condiciones que garanticen que el método funciona. Glenn Ledder El presente artículo de corte divulgativo tiene como propósito hacer una contrastación entre la resolución usual de
ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), es decir la resolución empleando el
Álgebra y el
Cálculo, y la resolución operando los
comandos del
Programa de Cálculo Técnico Científico MATLAB. Está dirigido al lector interesado en el tema, pero sobre todo a los alumnos que cursan la asignatura
Matemática IV en las diversas Carreras de
Ingeniería que configuran la
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Ecuaciones separables g(y) dy dx = f (x) Resolver y´= 4- y2. Es necesario expresar la ecuación en la notación de Leibniz, es decir dy dx = 4- y2, ahora se lleva a la forma de variable separada, esto es = dx dy 4- y2 1 El autor del artículo es Licenciado en Matemática, egresado de la
Universidad de los Andes – ULA –
Venezuela. Asimismo, es Magíster, y Doctor en
Ciencias. Actualmente es
Profesor en la Categoría de Titular, adscrito al Departamento de Matemática y
Física de la Universidad Nacional Experimental del Táchira – Venezuela.
[email protected],
[email protected] 
? 4- y =?dx? – ln 2- y + ln 2+ y = x+C ? ln = e4x+4C = e e4C = ±e e4C , haciendo A= ±e4C, obtenemos Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab luego 2 dy = x +C 1 1 1 2+ y 4 4 4 2- y entonces, la solución es 4x 2+ y 2- y luego, 4x 2+ y 2- y = Ae4x 2+ y 2- y por lo tanto, y = 2 Ae4x -1 Ae4x +1 . Consideremos, ahora, la condición inicial y(0) =1, obtenemos 1 1 1 4 4 4 entonces, la solución particular es y = 2(3e4x -1) 3e4x +1 . Ahora, obtenemos la solución general y particular utilizando los comandos de MatLab, asimismo se representa gráficamente las
soluciones (figura 1) y la de solución particular (figura 2). >> pretty(solve('int(1/(4-y^2),y)=int(1,x)')) – 1/4 log(y – 2) + 1/4 log(y + 2) >> C=simple(sym('solve(subs(x=0,y=1,x=-1/4*ln(2-y)+1/4*ln(2+y)-C),C)')) C = 1/4*log(3) >> [X,Y]=meshgrid(-2:0.1:2); 2
x2 + y dx = xdy – ydx. Expresándola ) Carlos úñez >> Z=-X+(-log(abs(2-Y))+log(abs(2+Y)))./4; >> contour(Z,20) >> fplot('(6*exp(4*x)-2)/(3*exp(4*x)+1)',[-3,3]) Cuadro 1 Figura 1 Figura 2 Como es posible observar, es bastante simple hallar la solución general y particular de la ecuación diferencial, así como la solución gráfica. Ecuaciones homogéneas M(x,y)dx+ (x,y)dy = 0 2 Consideremos la ecuación diferencial de la forma homogénea, esto es ( x2 + y2 + y dx- xdy = 0 probamos que las dos
funciones son homogéneas M(tx,ty) =tM(x,y) y 3 (tx,ty) =t (x,y)
? y ? = 1+v2 +v? x ? ln(v + 1+v2) =ln(x)+C ? v + 1+v2 = e ( ) = e x = Ax + 1+? 2 ? = Ax? Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab es claro, que ambas tienen el mismo grado de homogeneidad. Ahora, la expresamos de la forma dy dx x2 + y2 + y x = y dividiendo numerador y denominador por x, obtenemos y x tomando la sustitución v = 2 dy y = 1+? ? + ? x ? dx x , es decir y = xv, donde dy dv = v + x dx dx , tenemos dv dv dx dx v + x = 1+v2 la ecuación la hemos convertido en una ecuación diferencial separable, es decir dx x = dv 1+v2 integramos para obtener la solución general C dx x ln x +C dv 1+v2 ? =? y x y + x2 + y2 x finalmente, sustituimos v por y ? y2 ? x ? x ? = Ax? y + x2 + y2 = Ax2. Ahora, obtenemos la solución general utilizando los comandos de MatLab: Determinamos si la ecuación es homogénea: 4
Carlos úñez >> maple('m:=(x,y)->sqrt(x^2+y^2)+y'); >> maple('n:=(x,y)->-x'); >> pretty(sym(maple('collect(m(t*x,t*y),t)'))) 2 2 2 2 1/2 (t x + t y ) +ty >> pretty(sym(maple('collect(n(t*x,t*y),t)'))) -t x Se carga el la librería difforms y el comando maple('defform(v=0,x=0,y=0)'), que permiten utilizar las formas diferenciales y expresar las
variables, respectivamente: >> maple('with(difforms)'); >> maple('defform(v=0,x=0,y=0)'); Se hace el
cambio de variable y = xv y se expresa la ecuación en forma de variables separadas: >> pretty(simple(sym(maple('subs(y=x*v,m(x,y)*d(x)+n(x,y)*d(y))')))) 2 1/2 -x (-d(x) (1 + v ) + x d(v)) >> pretty(sym(maple('collect((x*sqrt(1+v^2)*d(x)-x*x*d(v))/(x),{d(v),d(x)})'))) 2 1/2 d(x) (1 + v ) – x d(v) Se resuelve la ecuación separable: >> pretty(simple(sym('int(1/(sqrt(1+v^2)),v)-int(1/x,x)'))) asinh(v) – log(x) Finalmente se sustituye v por y/x: >> pretty(simple(sym('subs(v=y/x,a*sinh(v)-log(x))'))) a sinh(y/x) – log(x) Cuadro 2 5
+ 2x)dx +e dy =0, ésta es de la forma ? ?x Ecuaciones diferenciales en el contexto del MatLab Ecuaciones exactas M(x,y)dx + (x,y)dy =0 ? = ?M ?y ? ?x Consideremos la ecuación x x (ye M(x,y)dx+ (x,y)dy = 0, aplicando la condición de exactitud, comprobamos que es exacta, esto es = ex = ?M ?y ? ?x . Utilizando el
procedimiento de resolución de ecuaciones diferenciales exactas, obtenemos
