01/09/2017
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Componentes de la tasa de interés
La tasa de interés corriente (ic), es la tasa del mercado, aplicado por los bancos y cualquier entidad financiera; la tasa efectivamente pagada por cualquier préstamo. Tiene Tres componentes o causas:
El efecto de la inflación (F): medida del aumento del nivel general de precios, valorada a través de la canasta familiar; notamos su efecto en la pérdida del poder adquisitivo de la moneda. A mayor inflación, mayor tasa de interés. 01/09/2017
Tipos de interés Interés ordinario, comercial o bancario. Este presupone que un año tiene 360 días y cada mes 30 días. Año bancario según el BCR.
b) Interés Exacto. Basado en el calendario natural: 1 año 365 o 366 días, y el mes entre 28, 29, 30 o 31 días.
El uso del año de 360 días simplifica los cálculos, pero aumenta el interés cobrado por el acreedor.
Desarrollamos la mayoría de ejercicios en la presente obra considerando el año bancario o comercial; cuando utilicemos el calendario natural indicaremos operar con el interés exacto. 01/09/2017
Clases de Interés El interés pagado y recibido puede considerarse como simple o compuesto. 01/09/2017
INTERÉS SIMPLE Sub 1) El interés (I): Es la cantidad de dinero que recibe una persona o entidad como beneficio por haber prestado o invertido su dinero. Los conceptos y símbolos que utilizaremos para resolver problemas de interés simple son los siguientes:
Capital o Principal (C): Es la suma de dinero prestada en una transacción a una determinada tasa de interés. También podemos decir que es la suma invertida en una operación por una persona natural o jurídica.
Tiempo (t): Es el período en el cual el prestatario está en posesión de todo o parte del dinero prestado o en otras palabras es la duración del lapso en que se calcula el interés, es decir, el plazo de la operación.
4) Tasa de interés (j ): representa el precio del interés. Los tipos de interés se expresan en la mayoría de los casos en tanto porciento para la unidad de tiempo. 01/09/2017
5) Monto (S): Es la suma del capital e interés, como consecuencia S = C + I.
El interés simple se obtiene multiplicando el capital (C) por la tasa de interés ( j ) y luego por el tiempo (t) por consiguiente: I = Cjt Fórmula de interés simple Deducción de la fórmula para calcular el monto: Como el monto es la suma de capital e interés y como I = Cjt podemos decir que: S = C + Cjt Entonces como capital (C) es el factor común, decimos que S = C(l + jt) que es la fórmula para calcular el monto. 01/09/2017
Cuando un inversionista presta dinero a un prestatario, éste debe pagar el dinero que pidió prestado, así como los honorarios que se cobran por usar el dinero, llamado interés. Desde el punto de vista del inversionista, el interés es un ingreso por capital invertido. Al capital originalmente invertido se le llama principal. La suma del principal y del interés vencido se llama cantidad, o valor acumulado. Toda transacción con interés se puede describir como la tasa de interés, que es la proporción del interés ganado en una unidad de tiempo al principal.
A interés simple. el interés se calcula sobre el principal original durante todo el tiempo, o término, del préstamo, a la tasa anual de interés establecida. 01/09/2017
Usaremos la siguiente notación: P == principal, o el valor presente de S, o el valor descontado de S, o la ganancia I == interés simple S == cantidad, o valor acumulado de P, o valor pagadero de P r == tasa de interés, por año t == tiempo en años 01/09/2017
El interés simple I sobre el principal P durante t años a tasa anual r se determina por I = Prt
Y la cantidad S se determina con
S = P + I = P + Prt = P(l + rt) 01/09/2017
El factor 1 + rt de la ecuación se llama factor de acumulación a interés simple, y al proceso de calcular S a partir de P con la ecuación se le llama acumulación a interés simple. tenemos
P= S =S(1+rt)-1 1+rt 01/09/2017
como el valor presente o descontado a la tasa r de S a vencer en t años. El factor (l + rt)-l se llama factor de descuento a interés simple, y al proceso de calcular P a partir de S se le llama descuento a interés simple.
El tiempo t debe estar en años. Cuando el tiempo está en meses, entonces t=cantidad de meses 12 01/09/2017
Cuando el tiempo está dado en días, podemos calcular ya sea el interés simple exacto con base en un año de 365 días (sea o no bisiesto), es decir, t=cantidad de meses 365
o bien el interés simple ordinario, con base en un año de 360 días, esto es, t=cantidad de meses 360 01/09/2017
El interés simple ordinario paga mayor rendimiento al prestamista. La práctica general en Estados Unidos, y en las transacciones comerciales internacionales, es usar interés simple ordinario; se emplea en este apunte general, a menos que se especifique otra cosa. 01/09/2017
PROBLEMAS RESUELTOS 1 Calcular a) el interés simple ordinario y b) el interés simple exacto, sobre un préstamo de $1 500 a 14 ½ % y a 60 días. Se tiene P = 1 500 Y I= 0.145. a) Considerando un año de 360 días,
t= 60 e I= 1500 (0.145) ( 60 )=$36.25 360 360
b) Considerando un año de 365 días, t= 60 e I= 1500 (0.145) ( 60 )=$35.725 365 365 01/09/2017
2 ¿A qué tasa de interés simple se acumularán intereses de $72 por $1 200 a 6 meses?
Se tiene P = 1 200, I = 72 Y t = 6/l2 = l/2. r= I = 72 =0.12=12% Pt 1200(1/2) 01/09/2017
3 ¿Cuánto tiempo tardarán $500 para acumular cuando menos $560 a 13 ¼ % de interés simple ordinario?
Se tiene que P = 500, I = 60 Y r = 0.1325. De acuerdo con se calcula como sigue:
t= I = 60 =0.90566038 años =326.03774 dias Pr 500(0.1325)
Tardarán 327 días en acumularse a cuando menos $560. 01/09/2017
4 Una persona pide prestados $1 000 por 220 días a 12.17%. ¿Qué cantidad debe pagar?
Se tiene P = 1 000, r = 0.1217 y t = 220/360. De acuerdo
s = P(l + rt) = 1 000 [1 + (0.1217) (220)] = $1074.37 360 01/09/2017
5-Judy tiene una cuenta de ahorros que le paga un interés de 12% anual. El interés se calcula sobre el saldo mensual mínimo, y se paga en la cuenta el 31 de diciembre. Dadas las siguientes transacciones en su cuenta, que abrió el 10 de enero, calcular los intereses ganados en el primer año. 01/09/2017
A continuación se calcula el interés para cada mes: 01/09/2017
TIEMPO ENTRE FECHAS Hay dos formas de calcular la cantidad de días entre fechas de calendario.
El tiempo exacto se calcula como la cantidad exacta de días, incluyendo todos los días, excepto el primero., y el tiempo exacto se puede obtener como la diferencia entre los números consecutivos de las fechas dadas. En los años bisiestos se aumenta 1 al número consecutivo del día, para todas las fechas posteriores al 28 de febrero.
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El tiempo aproximado se calcula suponiendo que cada mes tiene 30 días.
Cuando el tiempo es dado en forma indirecta, como tiempo entre fechas, se puede usar el tiempo exacto o bien el aproximado, y calcular el interés simple exacto u ordinario. Así, hay cuatro métodos para calcular el interés simple entre fechas: 1) el tiempo exacto e interés ordinario (la regla del banquero); 2) el tiempo exacto y el interés exacto; 3) el tiempo aproximado y el interés ordinario, y 4) el tiempo aproximado y el interés exacto.
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La regla del banquero es el método más común en Estados Unidos y en transacciones comerciales internacionales; en Canadá, la práctica general es usar el método 2. Los métodos 3 y 4 casi no se usan. 01/09/2017
En este bosquejo general se usará la regla del banquero, excepto cuando se indique otra cosa. De los cuatro métodos, es el que suele producir el interés máximo. (Sin embargo, esto no sería cierto, por ejemplo, para el intervalo de tiempo del 4 de febrero al 2 de marzo de cualquier año, donde el tiempo aproximado produce más que el tiempo exacto.)
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PROBLEMAS RESUELTOS Calcular a) el tiempo exacto y b) el tiempo aproximado del 18 de abril al 3 de noviembre del mismo año.
De acuerdo con el apéndice A, el 18 de abril es el 108 día del año, y el 3 de noviembre es el 307 día del año. El tiempo exacto es 307 – 108 = 199 días.
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donde hemos "pedido prestados" 30 días del 11 o mes. El tiempo aproximado es 6 meses y 15 días, o (6 x 30) + 15 = 195 días. 01/09/2017
6 Calcular el tiempo a) exacto y b) aproximado del 18 de mayo de 1996 al 8 de abril de 1997.
De acuerdo con el apéndice A, el 18 de mayo es el 139 día del año 1996 ( año bisiesto); el 8 de abril es el 98 día del año 1997. El tiempo exacto es (366 – 139) + 98 = 325 días.
A partir del 1 de enero de 1996, escribimos
01/09/2017 El tiempo aproximado es (l0 x 30) + 20 = 320 días.
7 Se han invertido $2 000 desde el 18 de mayo de 1996 hasta el 8 de abril de 1997, a 16% de interés simple. Calcular los intereses ganados, usando los cuatro métodos.
De acuerdo con el problema 3.10, el tiempo exacto es 325 días, y el tiempo aproximado es 320 días.
Método 1: I = 2 000(0.16) (325) = $288.89 360 Método 2: I = 2000(0.16) (325) = $284.93 365 Método 3: I = 2 000(0.16) (320) =$284.44 360 Método 4: I = 2 000(0.16) (320) = $280.55 365 01/09/2017
8 El 10 de enero el Sr. A pide prestados $1 000 a su banco. El interés se paga al final de cada trimestre (31 de marzo, 30 de junio, 30 de septiembre, 31 de diciembre) y en la fecha del último pago. El interés se calcula con la tasa de 12% sobre saldos insolutos. El Sr. A pagó el préstamo en la forma siguiente: 01/09/2017
Calcular el interés pagado en cada pago, y el interés total pagado. Se aplica la regla del banquero, y los cálculos se pueden ordenar como en la tabla siguiente: 01/09/2017
El interés total pagado es 25.67 + 19.90 + 11.70 + 1.80=$.59.07 01/09/2017
ECUACIONES DE VALOR Todas las decisiones financieras deben tener en cuenta la idea básica de que el dinero tiene valor por el tiempo. En una transacción financiera, cada pago debe tener una fecha anexa, la fecha en que se vence. En otras palabras, en las matemáticas financieras se manejan valores fechados.
A una tasa de interés simple de 12%, se considera que $100 pagaderos en 1 año son equivalentes a $112 pagaderos en dos años, porque $100 se acumularían a $112 en el segundo año. De la misma forma, 100(1 + 0.12)- 1 = $89.29 estaría considerada como una suma equivalente al presente. En general, se comparan los valores fechados mediante la siguiente definición de equivalencia: $X pagaderos en determinada fecha son equivalentes a $Y, pagaderos t años después, a una tasa de interés simple r, si y = X(1 + rt) o X = Y(l + rt)-I 01/09/2017
Viéndolo de otro modo: cuando el dinero va hacia el futuro, se acumula, es decir, se multiplica la suma por un factor de acumulación 1 + rt; cuando va hacia el pasado, se descuenta, es decir, se multiplica la suma por un factor de descuento (1 + rt)-I.
La suma de un conjunto de valores fechados, pagaderos en distintas fechas, no tiene significado. Se deben reemplazar todos los valores fechados por valores fechados equivalentes pagaderos en la misma fecha. La suma de los valores equivalentes se llama valor fechado del conjunto. 01/09/2017
Uno de los problemas más importantes en las matemáticas financieras es sustituir un conjunto dado de pagos por un conjunto equivalente. Se dice que dos conjuntos de pagos son equivalentes a determinada tasa de interés simple, si los valores fechados de los conjuntos, en cualquier fecha común, son iguales. Una ecuación que indique que son iguales respecto de una fecha común se llama ecuación de valor o ecuación de equivalencia. La fecha que se usa se llama fecha focal o fecha de comparación. 01/09/2017
PASO 1 Hacer un buen diagrama de tiempo que muestre los valores fechados de un conjunto de pagos en un lado de la línea de tiempo, y los valores fechados del segundo conjunto de pagos al otro lado.
PASO 2 Seleccionar una fecha focal, y pasar todos los valores fechados a esta fecha focal, usando la tasa de interés especificada.
PASO 3 Plantear una ecuación de valor en la fecha focal
PASO 4 Resolver la ecuación de valor, usando los métodos algebraicos adecuados. 01/09/2017
Problemas. Una deuda de $1500 se vence en 6 meses, con un interes de 11%. Con 15% de interes simple, calcular el valor de la obligación al final de 3 meses, b) al final de 12 meses
El valor de la obligación en 6 meses es 1 500 [1 + (0.11) (6)] = $1 582.50 12
Sean $X el valor de la obligación al final de 3 meses, y $Y el valor al final de 12 meses, como se ve en la línea de tiempo de la figura 3-2. a) X=1582.50[1+(0.15)(3)]-1=$1525.30 12 b) Y=1582.50[1+(0.15)(6)]=$1701.19 12 01/09/2017
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8 La Sra. Hill tiene una deuda de $500 que se vence en 4 meses, y otra de $700 que vence en 9 meses. ¿Qué pago único liquidará esas obligaciones ahora, b) en 6 meses, c) en 1 año, si el valor del dinero es de 11 %?
Se ordenan los datos en la línea de tiempo, como se ve en la figura 3-3. En cada caso se calcula el valor fechado, a 11 %, del conjunto de dos obligaciones en la fecha del pago único. 01/09/2017
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9 La Sra. Adams tiene dos opciones para pagar un prestamo: puede pagar $200 al final de 5 meses y $300 al final de 10 meses, o bien puede pagar $X al final de 3 meses y $2X al final de 6 meses. Si las opciones son equivalentes y el dinero vale 12%, calcular X, usando como fecha focal a) el final de 6 meses; b) el final de 3 meses. 01/09/2017
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10 Blake pidió prestados $5 000 el 1 de enero de 1995, Pagó $2 000 el 30 de abril de 1995, y $2 000 el 31 de agosto de 1995. El pago final lo hizo el 15 de diciembre de 1995. Calcular la magnitud del pago final, si la tasa de interés fue de 7% y la fecha focal a) el 15 de diciembre de 1995; b) el l de enero de 1995.
Los valores fechados se muestran en la figura 3-6. Ecuación de valor del 15 de diciembre de 1995: valor fechado de los pagos = valor fechado de la deuda 2000 [1+(0.07) (229) ]+2000 [1+(0.07) (106) ]+X = 5 000 [1+(0,07) (348)] 360 360 360 2089.06+2041.22+ X = 5 338.33 X = $1208.05
b) Ecuación de valor del 1 de enero de 1995: 2000 [1 + (0.07) (119)]-1+2 000[1+ (0.07) (242) -1 +x [1(0.07) (348) -1 = 5 000 360 360 360
1954.77 + 1910.12+ 0.9366219 X = 1135.11 X= $1211.92 01/09/2017
PAGOS PARCIALES A veces, las obligaciones financieras se liquidan con una serie de pagos parciales durante la vigencia de la deuda. Entones es necesario determinar el saldo pagadero en la fecha de vencimiento final. Hay dos formas comunes de obtener el crédito del interés en transacciones a corto plazo.
Regla del comerciante Toda la deuda y cada pago parcial ganan intereses hasta la fecha de liquidación final. El saldo pagadero en la fecha final de pago no es más que la diferencia entre el valor acumulado de la deuda y el valor acumulado de los pagos parciales. (Véase el problema 3.19.) El saldo vencido en la fecha final es el saldo pagadero después del último pago parcial, acumulado hasta la fecha de vencimiento final.
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Como los dos métodos dan como resultado dos distintos pagos finales, es importante que las partes de una transacción comercial queden de acuerdo en el método que se va a usar. 01/09/2017
PROBLEMAS RESUELTO
11 Gordon pidió prestados $1000 el 15 de enero de 1995, a 16%. Pagó $350 el12 de abril de 1995, $20 ellO de agosto de 1995 y $400 e13 de octubre de 1995. ¿Cuál es el saldo a pagar el 1 de diciembre de 1995, según la regla del comerciante?
Se ordenan todos los valores fechados en una línea de tiempo, como se ve en la figura 3-7. El interés simple se calcula a 16% sobre la deuda original de $1 000 durante 320 días, sobre el primer pago parcial de $350 durante 233 días, sobre el segundo pago parcial de $20 durante 113 días, y sobre el tercer pago parcial de $400 durante 59 días. 01/09/2017
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01/09/2017 El saldo pagadero el 1 de diciembre de 1995 es 1 142.22 – 817.73 = $324.49.
Solución alterna Se puede plantear una ecuación de valor usando 1 de diciembre de 1995 como fecha focal:
Valor de los pagos = valor de la deuda 350 [ 1 + (0.16) (233) ] + 20 [ 1 + (0.16) (113 ) ] + 400 [ 1 + (0.16) ( 59 ) ] + 360 360 360
X = 1 000 [ 1 + (0.16)( 320 ) ] 360 386.24+21.00+410.49+ X = 1142.22 X = $324.49 01/09/2017
DESCUENTO SIMPLE
Descuento simple a una tasa de interés Al descontar a interés simple mediante (3.3), la diferencia D=S – P se llama descuento simple (sobre S) a una tasa de interés r). Se puede interpretar D ya sea como el interés de I sobre P que cuando se suma a P da como resultado S; o como el descuento verdadero sobre S, que cuando se resta de S da como resultado P. 01/09/2017
Descuento simple a una tasa de descuento La tasa de descuento d durante un año es la relación del descuento D durante el año sobre la cantidad S respecto de la que se da el descuento. El descuento simple D sobre una cantidad S, llamado también descuento bancario, durante t años a la tasa descuento d, se calcula con la fórmula D = Sdt
Valor descontado, o ganancias, P de S se determina por P = S – D = S – Sdt = S(1 – dt) 01/09/2017
(Ver el problema 3.21.) El cargo en algunos préstamos a corto plazo se puede basar en la cantidad futura, y no en el valor presente. El prestamista calcula el descuento bancario D sobre la cantidad final S que debe pagarse a la fecha del vencimiento, y lo deduce de S; el x: prestamista recibe el valor descontado P. Por esta razón, a veces al descuento bancario se le llama interés adelantado. (Véase el problema 3.22.) Según la ecuación (3.5), S == P =P(1- dt)-1 1 – dt Esta ecuación (3.6) se usa para calcular el valor al vencimiento, de un préstamo por determinado valor descontado. (véase el problema 3.23) 01/09/2017
Una tasa de descuento d y una tasa de interés r son equivalentes (durante el tiempo t) si dan como resultado el mismo valor presente P de una cantidad S a pagarse en el futuro. En el problema 3.24 se deducirá una fórmula para la tasa de interés simple r equivalente a una tasa de descuento simple d: r= __d___ 1+dt
Al despejar d de (3.7) se obtiene la tasa de descuento simple equivalente (durante el tiempo t) a una tasa de interés simple r: d= __r___ 1+rt 01/09/2017
PROBLEMAS RESUELTOS 3.20 Calcular el valor presente de $1 000 a 12% de interés simple pagaderos en 5 meses. ¿Cuál es el descuento verdadero?
Se tiene S = 1 000, r = 0.12 Y t = 5/12. De acuerdo con (3.3),
P = S(1 + rt)-1 = 1 000[1 + (0.12)(5/12)]-1 = $952 38
El descuento verdadero es D = S – P = 1000 – 952.38 = $47.62. 01/09/2017
3.21 Calcular el valor presente de $1000 a 12% de descuento simple, pagaderos en 5 meses. ¿Cuál es el descuento simple?
Se tiene que S = 1 000, d = 0.12 y t = 5/12. De acuerdo con (3.5),
P = S(1-dt) = 1 000 [1-(0.12) ( 5 )] = $950 12
El descuento simple es D = S – P = 1 000 – 950 = $50. 01/09/2017
3.22 Un banco cobra 11 % de interés adelantado simple (esto es, 11% de descuento bancario) sobre préstamos a corto plazo. Calcular la suma que recibe el prestatario que solicita a) $900 a 90 días, b) $1 500 del 3 de mayo al 15 de octubre.
a) S= 900, d =0.11 y t = 90 360
P=900 [1-(0.11 ( 90 ) ]=$875.25 360 b) S= 1500, d=0.11 y t = 165 360 P = 1500 [1- (0.11) (165)] = $1424.38 360 01/09/2017
3.23 Un banco cobra 12% de descuento bancario en préstamos a corto plazo. Un prestatario necesita $2000 en efectivo, para pagarlos con intereses en 9 meses. ¿Qué préstamo debe solicitar y cuánto interés va a pagar?
Se tiene que P = 2000, d = 0.12 y t = 9/12. De acuerdo con (3.6), S = 2 000 ____=$2197.80 1-(0.12) (9/12)
El prestatario debe pedir $2 197.80; el interés sobre el préstamo es $197.80 01/09/2017
PAGARÉS Un pagaré es una promesa que el deudor, llamado el firmante, hace por escrito, para pagar una suma de dinero a, o a la orden del acreedor, llamado el beneficiario del pagaré, con o sin interés, en una fecha especificada. En la figura 3-9 se ve un ejemplo de un pagaré con intereses.
El valor nominal es la cantidad establecida en el pagaré ($1 500 en la figura 3-9). El término es el periodo mencionado en la nota (90 días en la figura 3-9). La fecha de vencimiento es la fecha en que se debe pagar la deuda. Si el término se da en meses, se usa tiempo aproximado para obtener la fecha de vencimiento; si el término está en días, se usa el tiempo exacto. En la figura 3-9, la fecha de vencimiento es 90 días después del 11 de mayo de 1995, que es el 9 de agosto de 1995 (3 meses después del 11 de mayo de 1995 sería ell1 de agosto de 1995). El valor al vencimiento de un pagaré es la suma que se debe. pagar en la fecha de vencimiento. Para un pagaré con intereses, el valor al vencimiento es el valor acumulado del valor nominal durante el término del pagaré. Para obtener el valor al vencimiento se usa interés simple ordinario. Para un pagaré sin intereses, el valor al vencimiento es igual al valor nominal. Un pagaré se puede vender una o más veces antes de su fecha de vencimiento. 01/09/2017
El comprador puede i) descontar el valor del pagaré al vencimiento, durante el tiempo desde la fecha de la venta hasta la fecha de vencimiento, a su tasa de descuento, y el vendedor recibe las ganancias de la venta que se determinan con (3.5), o bien ii) especificar la tasa de interés que quiere para realizar la inversión, y las ganancias se determinan con (3.3). (Véanse los problemas 3.30 y 3.31.)
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3.30 El 2 de julio de 1995, el Sr. López vendió el pagaré de la figura 3-9 a un banco, a un descuento bancario de 9%. a) ¿Cuánto dinero recibió el Sr. López? b) ¿Qué tasa de interés realizó en su inversión? c) ¿Qué tasa de interés ganó el banco en su inversión, si conservó el pagaré hasta su vencimiento? 01/09/2017
Se ordenan los datos en una línea de tiempo, como se ve en la figura 3-10. De acuerdo con (3.5), se calculan los ingresos el2 de julio de 1995: P = 5(1- dt) = 1530.00 [1-(0.09) (38)] = $1515.46 360
El banco paga $1515.46 al Sr. López y queda en posesión del pagaré (véase figura 3.10).
El Sr. López obtuvo una ganancia de $15.46 por su inversión de $1500 durante los 52 días que conservó el pagaré.
La tasa de interés conseguida por el Sr. López fue r = I_ = 15.46 _____=7.14% Pt 1500(52/360) 01/09/2017
El banco recibió del Sr. García $1 530 el 9 de agosto de 1995, y obtuvo así una utilidad de 1 530.00 – 1 515.46 = $14.54 por invertir $1515.46 durante 38 días. La tasa de interés que el banco ganó fue
r = I_ = 14.54 _____=9.09% Pt 1515.46(38/360) 01/09/2017
3.31 El 10 de julio un deudor firma un pagaré por $1 000 a 5 meses, con 14% de interés. El 18 de octubre el acreedor del pagaré lo vende a un banco, que descuenta pagarés a una tasa de interés simple de 15%. Calcular los ingresos por la venta.
Se ordenan los datos en una línea de tiempo, como en la figura 3-11. El valor del pagaré al vencimiento es S = 1 000 [1 + (0.14) ( 5 )] = $1 058.33 12
Los ingresos del 18 de octubre son p = 1058.33 [1 + (0.15) ( 53 )] = $1 035.46 360 01/09/2017
01/09/2017 Grafica 3-11
Ejemplo 1 : El Banco Popular paga el 15% sobre los depósitos a plazo. Determinar el interés pagado por $40,000 colocado por 3 años.
Datos: l = ? C = $40,000 t = 3 años j = 0.15 I=Cjt I = $40,000 (0.1 5)(3) I = $24,000 01/09/2017
Ejemplo 2: Si $20,000 dan una ganancia de $4,800 en dos años. ¿Cuál fue la tasa de interés cobrada en la operación? Datos: I = $4,800 C = $20,000 J=? t = 2 años
Como I = Cjt debemos despejar para j, ya que es lo que se desea determinar, entonces tenemos: J= I_ Ct J= $4,800____ = $4,800__ = 0.12 = 0.12=12% ($20,000)(2) $40,000 01/09/2017
Ejemplo 3: ¿En que tiempo un capital de $12,000 producirá un ingreso de $4,000, si se invierte al 18% de interés simple?
Datos: C = $12,000 I = $4,000 J=0.18 T=? I= Cjt, despejamos para t T= I_ Cj T= $4,000______ = $4,000=1.85 años $12,000(0.18) $2,160
El tiempo exacto será 1 año, 10 meses y 6 días. Para encontrar los meses se multiplicó 0.85 por los 12 meses del año, es decir, 12 x 0.85 = 10.2, luego para encontrar la cantidad de días se multiplica 30 x 0.20 = 6 que es la cantidad de días. 01/09/2017
Ejemplo 4 ¿Qué cantidad de dinero depositada en un banco que paga un 15% de interés anual, se necesita para obtener $2,500 de interés dentro de 2 años?
Datos: C = ? I = $2,500 j = 0.15 t = 2años I = Cjt, despejamos para C C= I_ = $2,500= $2,500= $8,333.33 jT 0.15(2) 0.30 01/09/2017
Ejemplo 5: Si Juan invierte $30,000 al 18% de interés simple. ¿Qué cantidad total recibirá al final de 5 años?
Datos: C = $30,000 j = 0.18 t=5 años S=?
Datos S = C(1+jt) S = $30,000 (1 + 0.18(5)) S = $30,000 (1 + 0.9) S = $30,000 (1.9) S = $57,000 01/09/2017
Ejemplo 6: Elena tiene que pagar $50,000 dentro de 4 años. Ella puede invertir dinero en un negocio que le ofrece 16% de interés simple. Elena desea saber la cantidad que debe invertir hoy para tener los $50,000 al final de 4 años.
Datos: C = ? S = $50,000 j = 0.16 t = 4años C = S____ (1 + jt) C = $50,000__ = $50,000 (1+0.16(4)) (1+0.64) C=$50,000=$30,487.80 (1.64) Es la cantidad que debe invertir Elena a un 16% para tener dentro de 4 años $50,000. 01/09/2017
Ejemplo 7: Si $18,000 invertidos al 16% de interés simple se convierten en $24,800. ¿Cuánto duró la transacción? Hay varias formas para determinar el tiempo; una de estas es con la fórmula del monto. S=C(1+jt) Datos: S=$24,800 C=$18,000 J=0.16 t=? $24,800 = $18,000 (1 + 0.16t) $24,800 = $18,000 + 2,880t $24,800 – $18,000 = 2,880t T= $6,800 $2,880 t = 2.36 años 01/09/2017
Sabemos también que S = C + I, pero como I = Cjt podemos sustituir Cjt por I, entonces tenemos que:
S = C + Cjt, en esta situación despejamos para t T=S – C = $24,800 – $18,000 = $6,800 Cj $18,000(0.16) $2,880 t= 2.36 años
Otra opción sería utilizando la fórmula de interés simple, es decir: l=Cjt t = I Ahora bien S = C + I, entonces en este caso I = $24,800 M Cj -$18,000 = $6,800, así que: T= $6,800 = $6,800 $18,000(0.16) $2,880
t = 2.36 años 01/09/2017
Ejemplo 8: Miguel necesita $45,000 dentro de 2 años. El tiene ahora $33,000 y desea saber a que tasa de interés simple el debe invertir su dinero para que le produzcan los $12,000 en los 2 años. Aquí también hay diferentes formas para determinar la tasa de interés. La primera que utilizaremos es la del monto.
S=C (1+jt) Datos S=$45,000 C=$33,000 J=? T=2 años $45,000=$33,000 (1+2j) $45,000=$33,000+$66,000j $45,000-$33,000=$66,000j $12,000=$66,000j J=$12,000 $66,000 J=0.1818=18.18% 01/09/2017
Es la tasa de interés a la que Miguel debe invertir los $33,000 para reunir los $45,000 dentro de 2 años. Otra fórmula sería: S=C + I, I=Cjt, entonces: S=C+Cjt J= S-C=$45,000-$33,000=$12,000=0.1818 Ct $33,000(2) $66,000 J= 18.18% Y por ultimo I=Cjt J= I_ =$12,000__= $12,000=.01818 Ct $33,000(2) $66,000
Como se puede notar hay tres formas diferentes para determinar la tasa de interés simple. 01/09/2017
Interés simple cuando el plazo de la operación es inferior a un año Hay tres tipos de interés simple cuando el plazo de la operación es inferior a un año. Estos son: a) Interés ordinario b) Interés exacto c) Interés bancario
Interés ordinario (Io): Y el tiempo calculado de forma ordinaria meses de 30 días. La fórmula del interés ordinario es la siguiente lo =Cjt_. Debemos 360 tomar en cuenta que en este método todos los meses tienen 30 días.
b) Interés exacto (le): Y el tiempo calculado de acuerdo a los días de los meses calendario. La fórmula es: le = Cjt_. En este tipo de interés se 365 debe utilizar el calendario para calcular la cantidad de días transcurrido.
c) Interés bancario (Ib): Y el tiempo calcula de acuerdo a los días de los meses calendario. Este método es similar al exacto, pero se divide entre 360. Es decir, Ib = Cjt. Este tipo de interés es el más utilizado en el mercado. 360 01/09/2017
Ejemplo:7 Calcular usando las fórmulas del interés ordinario, exacto y bancario, el interés devengado por $30,000 prestados al 18% el día 20 de abril y que vencerá el 25 de septiembre del mismo año.
Datos: C = $30,000 j = 0.18 lo = ? to = 155 días; en el interés ordinario, como los meses tienen todos 30 días y de abril a septiembre hay 5 meses, tenemos 30 x 5 = 150 días más 5 días adicionales del 20 al 25, pues la operación se efectuó el 20 de abril y concluyó el 25 de septiembre. Entonces tenemos que lo= Cjt_ 360 Lo= $30,000(0.18)(55) =$2,325 360 01/09/2017
Para el interés exacto debemos utilizar el calendario para determinar la cantidad de días transcurridos. Te=268-110=158 Como le=Cjt_ 365 le= $30,000(0.18)(158) =$2,337.53 365 En el interés bancario también se utiliza el calendario para determinar el tiempo, así que: Tb=158, entonces Ib=Cjt_ 360 Ib= $30,000(0.18)(158) =$2,370 360 01/09/2017
Ejemplo 10: Calcular usando las fórmulas de interés ordinario, exacto y bancario, el interés devengado por $18,000 prestados al 20% el día 25 de marzo y que vencerá el 15 de julio del mismo año. Datos: Datos con el interés ordinario C=$18,000 J=0.20 To=De marzo a julio hay 4 meses, entonces debemos multiplicar 30 x 4=120, ahora bien, a los 120 días hay que restarle 10 días, por consiguiente t=120-10=110.
Entonces lo=Cjt = $18,000(0.20) 110 = $1,100 360 360 01/09/2017
Con el interés exacto: Le=Cjt 365 Te=196-84=112 Le=$18,000(0.20) (112)=$1,104.66 365
Con el interés bancario: Ib=Cjt 360 Ib=$18,000(0.20) (112)=$1,120 360 01/09/2017
Ejemplo 11:
¿Qué interés ganó María si depositó $40,000 el día 6 de mayo en un banco que paga 15% de interés y retiró su dinero el 26 de agosto del mismo año?
Datos: T=238-126=112 C=$40,000 J=0.15 Ib=? Ib=Cjt 360 Ib=$40,000(0.15)112=$1,400 360 01/09/2017
Ejemplo 12: Juan firma un pagaré de $12,000 al 20% de interés simple, el día 19 de febrero. El pagaré tiene una duración de 15 días. ¿Qué cantidad debe pagar Juan en la fecha de vencimiento? ¿Cuál es la fecha de vencimiento?
Datos: C = $12,000 j = 0.12 t= 150 días S = ? S = C(1+ jt_) 360 S = $12,000 (1 + 0.12 150 ) 360 S = $12,000 (1 +0.05) S = $12,000 (1.05) = $12,600 01/09/2017
Esta es la cantidad que Juan debe pagar en la fecha de vencimiento.
Ahora para determinar la fecha de vencimiento buscamos en el calendario (Tabla #1) la cantidad de días que van a transcurrir a partir de esta fecha, es decir 150 + 50 = 200, entonces buscamos en la tabla calendario y encontramos que la fecha de vencimiento es el 19 de julio. 01/09/2017
Ejemplo 13: Si usted toma prestado $38,000 al 161/2 % de interés por 120 días. ¿Qué cantidad de interés debe pagar?
Datos: lb = ? j = 0.165 t= 120 días lb= Cjt_ 360 Ib = $38,000(0.165) (120) 360 Ib = $2,090 01/09/2017
Pagos Parciales Sobre Deudas Con Interés
En muchos casos una obligación financiera, con frecuencia en vez de ser cubierta con un solo pago se hace a través de amortizaciones por medio de pagos parciales. Como consecuencia se presenta la necesidad de determinar la magnitud de la deuda al final del plazo, después de haber efectuado varios pagos.
Hay dos métodos que se pueden utilizar para calcular los pagos parciales sobre deudas con interés. Estos son: a) Método Comercial b) Método de los saldos insolutos 01/09/2017
Método Comercial: En este método se determina el monto de la obligación al vencimiento, es decir, desde el momento que se efectúa la operación hasta la fecha de vencimiento. Luego se le determina el monto a cada uno de los pagos parciales que se efectúan desde el momento que se realiza el pago parcial hasta la fecha de vencimiento de la obligación. Después que los montos o los diferentes pagos parciales hayan sido determinados se suman y esta cantidad se deduce del monto al vencimiento y la diferencia será el neto a pagar al final de la operación. 01/09/2017
Ejemplo 14: Una compañía contrae una deuda de $50,000 al 18%, el día 7 de febrero de 1998; con vencimiento el 7 de febrero de 1999. La compañía efectuó los siguientes pagos parciales: 1) $10,000 el 7 de mayo de 1998, y 2) $20,000 el 7 de octubre de 1998
¿Qué cantidad debe la compañía en la fecha de vencimiento? Use el método comercial 01/09/2017
Para resolver este problema primero debemos poner la literatura del problema cuando se usa el método comercial.
1) Deuda al vencimiento antes de los abonos $59,000 2) Deuda al vencimiento del primer pago $11,350 3) Deuda al vencimiento del segundo pago $21,500 4) Total de pagos $32.850 5) Deuda al vencimiento $26,150 01/09/2017
Lo primero que se debe hacer es determinarle el monto a la deuda desde el momento que se efectúa la operación hasta la fecha de vencimiento. Como la operación se inició el 7 de febrero de 1998 y concluyó el 7 de febrero de 1999, podemos notar que el tiempo transcurrido es de un año; por consiguiente se le debe determinar el monto a los $50,000 por un año y a una tasa de interés de 18%.
S = C(1+jt) S = $50,000(1 +0.18(1)) S = $50,000(1 +0.18) S = $50,000(1. 18) = $59,000 01/09/2017
Ahora le determinamos el monto al primer pago parcial desde el momento que se efectúa hasta la fecha de vencimiento de la obligación. Como el primer pago se efectuó el 7 de mayo, debemos determinar la cantidad de meses que hay de mayo del 1998 a febrero de 1999. La cantidad de meses es 9, lo que significa que hay que calcularte el monto a los $10,000 por 9 meses a una tasa de interés de 18%.
S = C(1+jt) S = $10,000 (1 + 0.1 8(9_)) 12 S = $10,000(1 +0.135) S = $10,000(1. 135) = $11, 350 01/09/2017
Al segundo pago también se le debe determinar el monto desde septiembre de 1998 hasta febrero de 1999. La cantidad de meses comprendida entre estos meses es 5. S = C(1+jt) S = $20,000 (1 + 0.1 8(5_)) 12 S = $20,000(1 + 0.075) S = $20,000(1. 075) = $21, 500
Para concluir se debe sumar los dos pagos parciales con sus intereses devengados y este resultado se resta de la deuda al vencimiento antes de los abonos y de esa forma se obtiene lo que se debe pagar al vencimiento. 01/09/2017
Ejemplo 15: Una deuda de $40,000 al 20% de interés simple, por 10 meses, está sustentada por un documento de fecha 15 de enero, el deudor realiza dos abonos: uno el 27 de mayo por valor de $12,000 y otro el 29 de agosto por valor de $15,000. Determinar la deuda al vencimiento de la obligación. Use el método comercial.
1) Deuda al vencimiento antes de los abonos $46,666.67 2) Deuda al vencimiento del primer pago $13,146.67 3) Deuda al vencimiento del segundo pago $15,650.00 4) Total de pagos $28.796.67 5) Deuda al vencimiento $17,870.00 01/09/2017
Lo primero que se debe hacer es determinar la fecha de vencimiento. Como la deuda se inició el 15 de enero y es por 10 meses, debemos contar a partir de la fecha inicial y obtenemos que la fecha de vencimiento de la obligación es el 15 de noviembre. La deuda es por 10 meses, por consiguiente debemos determinarle el monto a los $40,000 por este tiempo a una tasa de interés de 20%.
S = C(1+jt) = $40,000 (1 + 0.20 (10)) 12 S = $40,000(1 +0.1666666) S = $40,000(1.1666666) = $46,666 67 01/09/2017
Para calcularle el monto al primer pago parcial debemos tomar en cuenta que el tiempo se debe calcular en días, ya que los pagos no se hacen en un día específico, así que hay que determinar la cantidad de días existente del 27 de mayo al 15 de noviembre.
t = 319 -147 = 172 días S=c(1+ jt_) 360 S = $12,000 (1 + 0.20(172)) 360 S = $12,000 (1 + 0.0955555) S = $12,000(1.0955555) = $13,146.67 01/09/2017
Ahora le determinamos el monto al segundo pago desde el 29 de agosto hasta el 15 de noviembre
T=319-241=78 días S=c(1+jt) S=$15,000(1+0.20(78 )) 360 S = $15,000(1 + 0.0433333) S = $15,000(1 .0433333) = $15,650.00 01/09/2017
Método de los saldos Insolutos Este método nos dice que se le debe determinar el monto a la deuda desde el momento que se efectúa hasta la fecha del primer pago; se le resta el valor del primer pago obteniéndose el primer saldo insoluto. Luego se le determina el monto a este primer saldo desde la fecha del primer pago hasta la fecha del segundo pago, se le resta el valor del segundo pago obteniéndose el segundo saldo insoluto. A este segundo saldo se le determina el monto desde la fecha del segundo pago hasta la fecha de vencimiento de la obligación y así obtenemos la cantidad que se debe pagar en la fecha de vencimiento de la obligación. 01/09/2017
Como ilustración vamos a resolver el ejemplo 14 con el método de los saldos insolutos.
Primero ponemos la literatura del problema 1) Valor de a deuda en fecha del primer pago $52,250.00 2) Menos valor del primer pago $10,000.00 3) Primer saldo insoluto $42,250.00 4) Valor de la deuda en fecha del segundo pago $45,418.75 5) Menos valor del segundo pago $20,000.00 6) Segundo saldo insoluto $25,418.75 7) Valor de la deuda en fecha de vencimiento $26,943.88 01/09/2017
Primero le determinamos el monto a los $50,000 del 7 de febrero de 1998 al 7 de mayo del mismo año. El tiempo que transcurre es de 3 meses.
S =c(1+jt) S = $50,000 (1 + 0.18(3 )) 12 S = $50,000(1 +0.045) S = $50,000(1.045) = $52,250 01/09/2017
Ahora a los $52,250 le restamos el valor del primer pago, es decir, $10,000 y obtenemos el primer saldo insoluto que es $42,250. Para encontrar el valor de la deuda en fecha del segundo pago procedemos a determinarte el monto a los $42,250 desde la fecha del primer pago hasta la fecha del segundo pago, esto es 5 meses. 4) S = C(1+jt) S = $42,250(1 + 0.18(3 )) 12 S = $42,250 (1 + 0.075) S = $42,250 (1.075) = $45,418.75 01/09/2017
A esto $54,418.75 se le resta el valor del segundo Pago, esto es $45,418.75 – $20,000 = $25,418.75 a esta cantidad se le determina el monto desde la fecha del segundo Pago hasta la fecha de vencimiento de la obligación. Los meses son 4.
7) S = C(1+jt) S = $25,418.75 (1 + 0.18(4 )) 12 S = $25,418.75 (1 + 0.06) S = $25,418.75 (1.06) = $26,943.88 01/09/2017
Se tomará también como ilustración el ejemplo 15
1) Valor de a deuda en fecha del primer pago 2) Menos valor del primer pago 3) Primer saldo insoluto 4) Valor de la deuda en fecha del segundo pago 5) Menos valor del segundo pago 6) Segundo saldo insoluto 7) Valor de la deuda en fecha de vencimiento 01/09/2017
t= 147-15 =132 días S = C(1 + jt) S = $40,000 (1 + 0.2(132)) 360 S = $40,000 (1 + 0.0733333) S = $40,000 (1.0733333) = $42,933.33 01/09/2017
A los $42,933.33 se le resta el valor del primer pago, es decir, $42,933.33 – $12,000 = $30,933.33 y obtenemos el primer saldo insoluto. A este primer saldo le determina el monto desde la fecha del primer pago hasta la fecha del segundo pago; esto es del 27 de mayo hasta el 29 de agosto. Y encontramos el valor de la deuda en la fecha del segundo pago.
t = 241 -147 = 94 días S=C(1+jt) S = $30,933.33 (1 + 0.20 ( 94)) 360 S = $30,933.33 (1 + 0.0522222) S = $30,933.33 (1.0522222) = $32,548.74 01/09/2017
A este monto obtenido se le resta el valor del segundo pago, esto es $32,548.74 – $15,000 = $17,548.74, y obtenemos el segundo saldo insoluto. Para concluir, a este segundo saldo se le determina el monto desde la fecha del segundo pago hasta la fecha de vencimiento de la obligación. Del 29 de agosto al 15 de noviembre que es la fecha de vencimiento. t = 319-241 =78 días S=C(1+jt) S = $17,548.74 (1 + 0.20(78 )) 360 S = $17,548.74 (1 + 0.0433333) S = $17,548.74 (1.0433333) = $18,309.19 01/09/2017
Ejercicios: 1) Determinar el interés simple producido por $15,000 al 16% durante 5 años. 2) Si $8,000 produjeron en 3 años $4,000. ¿Qué tasa de interés simple se obtuvo en la transacción? 3) Si Elena invierte $25,000 al 15% de interés simple. Determinar la cantidad total que recibirá al final de 4 años. 4) Miguel tiene que pagar $15,000 dentro de 3 años, el puede invertir dinero en un negocio que le ofrece 18% de interés simple. Miguel desea saber la cantidad que debe invertir hoy para tener los $15,000 al final de 3 años. 5) ¿En qué tiempo un capital de $30,000 producirá un ingreso de $8,000, si se invierte al 20% de interés simple? 6) Juan necesita $45,000 dentro de 3 años. El tiene ahora $28,000 y desea saber a que tasa de interés simple él debe invertir su dinero para que le produzcan los $17,000 en los 3 años. 7) Si $10,000 invertidos al 15% de interés simple se convierten en $16,000. ¿Cuánto duró la transacción? 01/09/2017
8) ¿Qué interés ganó María si depositó $50,000 el día 7 de marzo en un banco que paga 12% de interés y retiró su dinero el 10 de agosto del mismo año. 9) Elaine firma un pagaré de $25,000 al 20% de interés simple, el día 14 de marzo. El Pagaré tiene una duración de 120 días. ¿Que cantidad debe pagar Elaine en la fecha de vencimiento? ¿Cuál es la fecha de vencimiento? 10) Si Rafael toma prestado $45,000 al 24% de interés simple por 100 días. Determinar el interés que debe pagar Rafael al final de los 100 días. 11) Una cantidad de dinero depositada en un banco durante un año vale con sus intereses $7,500. La misma suma depositada durante 5 años vale con sus intereses $9,500. ¿Cuál es la suma depositada y cuál es la tasa de interés? 01/09/2017
12) Una compañía contrae una deuda de $60,000 al 18%, el días 12 de enero de 1998; con vencimiento el 12 de enero de 1999. La compañía efectuó los siguientes pagos parciales: a) $15,000 el 12 de Mayo de 1998, y b) $25,000 el 12 de octubre de 1998. ¿Qué cantidad debe pagar la compañía en la fecha de vencimiento. Use: 1) El método comercial, y 2) El método de los saldos insolutos 13) Una deuda de $20,000 al 16% de interés simple, por 10 meses, está avalada por un documento de fecha 9 de febrero. El deudor efectúa dos abonos: uno el 4 de junio por valor de $6,000 y el otro el 14 de septiembre por valor de $8,000. Determinar la cantidad que se debe pagar para cancelar la deuda en la fecha de vencimiento. Use el método comercial y el de los saldos insolutos. 01/09/2017
GRACIAS POR SU ATENCIÓN Ing.+Lic. Yunior Andrés Castillo S. Página Web: yuniorandrescastillo.galeon.com Correo: [email protected] Celular:1-829-725-8571 Santiago de los Caballeros, República Dominicana 2017.
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