Sobre extremos relativos o locales de funciones reales de tres variables reales (página 2)

¿Y cuándo hablamos de puntos de extremo local o relativo?

Pues cuando el máximo o el mínimo lo es respecto al resto de los valores que toma la función en cierto entorno del punto (este entorno se asume subconjunto de A) pero no necesariamente respecto al esto de los valores de la función en los demás puntos de A.

En símbolos:

Ejemplos:

El punto es un punto de mínimo absoluto y local para la función definida por

El punto es un punto de máximo absoluto y local para la función definida por

Al igual que en el caso de funciones de una variable una función de varias variables puede alcanzar un extremo local en puntos donde puede o no ser diferenciable. ¿Pero en cualquier punto en el cual sea diferenciable ella puede alcanzar un máximo o mínimo? La respuesta se recoge en el teorema siguiente el cual es una extensión del llamado Teorema de Fermat al caso de funciones de varias variables aunque solo será enunciado para el caso de tres variables.

Como se ve este teorema solo expresa condiciones necesarias de existencia de extremo local bajo el supuesto de que la función tiene derivadas parciales respecto a cada variable definida en dicho punto (para ello es suficiente pero no necesario que la función sea diferenciable). A los puntos que anulan todas las parciales de primer orden se les denomina puntos estacionarios.

Análogamente al caso de una o dos variables existen en el caso de tres variables puntos estacionarios que no son puntos de extremo local.

¿Cómo saber si un punto estacionario es realmente un punto de extremo local?

Se hace necesario enunciar condiciones suficientes de existencia de puntos de extremo local. Estas condiciones pueden expresarse en términos de determinantes de matrices reales simétricas o en términos de valores propios de tales matrices.

Recordemos que si A es una matriz cuadrada e I es la matriz identidad del mismo orden que A pues al polinomio definido por el determinante se le denomina polinomio característico de A y a sus ceros o raíces se les denomina valores propios, auto valores o valores característicos de A.

Nota: Este teorema puede ser enunciado en términos del determinante de la matriz Hessiana y sus menores principales

A continuación muestro algunos ejemplos en cada uno de los cuales se desea determinar los puntos de extremo local de una función polinomial en por lo que ya tenemos garantizado que:

• El dominio de la función es todo
• La función es diferenciable por lo que los únicos candidatos a puntos de extremo son los puntos estacionarios debido a lo cual de no haber puntos estacionarios pues no habría extremos locales.

a)

En este caso

Hallemos los puntos estacionarios para lo cual tenemos que resolver el sistema de ecuaciones:

Este sistema es compatible determinado y su solución es .

Investiguemos el cumplimiento de las condiciones suficientes conformando la matriz Hessiana.

Esta matriz es diagonal por lo que sus valores propios son sus entradas o elementos diagonales. Como los valores propios son no nulos y de diferente signo pues el punto estacionario encontrado no es un punto de extremo local.

Nota: Los puntos estacionarios que no son puntos de extremo local se denominan puntos de ensilladura.

b)

En este caso .Resolviendo el sistema compatible determinado obtenemos el punto estacionario . La matriz Hessiana es cuyos valores propios son todos iguales a 2 por lo que el punto es un punto de mínimo local.

c)

En este caso mas tenemos que resolver el sistema el cual tiene exactamente dos soluciones las cuales son

. Las matrices Hessianas son y .Los valores característicos de son 6,4 y 16 mientras que los de son -6,4 y 16 por lo que el primero de los puntos estacionarios es un punto de mínimo local y segundo no es ni de mínimo ni de máximo.

Te proponemos investigues en los incisos siguientes la existencia de extremos locales.

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Considero conveniente resaltar que en muchos casos la investigación del cumplimiento de estas condiciones suficientes no son muy recomendables debido a la complicación algebraica de la expresión analítica de la función.

Ejemplo:

En los casos en los que al menos uno de los valores propios sea nulo pues para poder decidir habría que recurrir a otros recursos entre los cuales se encuentran criterios de suficiencia los que a su vez involucran derivadas parciales de orden superior al segundo.

Conclusiones

Con este material he pretendido mostrar cómo ciertos resultados que se tienen para funciones reales de dos variables reales y que tienen que ver con la determinación de puntos de extremo local se pueden extender a mayor número de variables.

Autor:

Alejandro Martínez Castellini

Universidad de Ciencias Informáticas

Facultad 7

La Habana

– 2007-