Los tres problemas clásicos de la geometría

Introducción

El presente trabajo contiene el capítulo 9 de mi libro HACIA UNA MATEMÁTICA SIN CONTRADICCIONES, en el cual se pone de manifiesto la verdadera causa por la cual era imposible resolver los tres problemas clásicos de la geometría con la regla y el compás.

Estoy consciente del cuestionamiento al cual será sometido dicho trabajo a consecuencia de lo que todos conocemos sobre la teoría de Galois. Sin embargo, lo que se trata es de corregir una serie de contradicciones en las cuales ha incurrido nuestra matemática, por la sencilla razón de no haber escogido el verdadero camino que conduce a cada uno de los tópicos matemáticos descubiertos por el hombre. Debemos tener presente, siempre, que nuestros matemáticos del pasado no eran dioses ni semidioses; y que por ello eran falibles. No queriendo decir con esto que se equivocaron en sus cálculos matemáticos, sino en el camino escogido para llegar a ello.

En el capítulo 1 se demostró que el cardinal de N es mayor que el de N* y, por tanto, se le dio (momentáneamente) al último natural el símbolo de

En el capítulo 2 se demostró una serie de teoremas que ponen en evidencia que nuestros números reales son todos racionales, es decir, Q = R (lo que corrige algunas contradicciones de la teoría de grupos).

En capítulos siguientes se evidenció la gran utilidad del número al cual se le ha llamado (también momentáneamente) razón de continuidad, siendo rc el menor de todos los ceros residuales (capítulo 3), es decir, el número real que sigue después del cero absoluto. El cómo encontrar dicho número se detalla en los capítulos 2 y 3.

Ahora veremos que, de los tres problemas clásicos de la geometría, sólo la trisección de un ángulo arbitrario puede ser resuelto con la regla y el compás, y se detallará la verdadera causa por la cual los otros dos no lo pueden ser.

CAPÍTULO 9

LOS TRES PROBLEMAS CLÁSICOS DE LA GEOMETRÍA

El Caos Geométrico-Algebraico

Ya se vio (capitulo 7) cómo aparece el caos en la teoría de funciones reales por causa de la razón del continuo; el cual no notamos por la dilatación o contracción de los puntos. Ahora se verá cómo dicha razón es la causa del caos en la geometría, al realizar construcciones con regla y compás. En lo adelante, regla y compás se abreviará por re-com.

Antes de enunciar el teorema que demuestra cómo aparece el caos en los cálculos algebraicos de las longitudes de segmentos obtenidos con re-com, es necesario inferir que si un número x es constructible con re-com, entonces, cualquier potencia de x es también constructible con dichos instrumentos, utilizando un procedimiento debido a Rodolfo Nieves, matemático auto didacta de Cojedes (Venezuela); que veremos más adelante.

De igual manera se puede probar que cualquier potencia par geométrica de x coincide con la potencia par algebraica, como veremos enseguida.

9.1.1 Potencias Pares Geométricas y Algebraicas

Para demostrar que las potencias pares geométricas y algebraicas coinciden, partimos del hecho que en la potencia dos ambas son iguales y que, para elevar a la potencia n, primero se eleva a la potencia dos, luego a la tres, etc. Es decir

De (1) se tiene que cuando con re-com se eleva al cuadrado a x2 (utilizando el método de Rodolfo Nieves), se está elevando a la vez a (y2 + 2yrc) al cuadrado. Entonces

De igual manera se obtiene de (1) que cuando se eleva al cubo a x2, también se eleva al cubo a (y2 + 2yrc). Es decir

En general, al elevar, con re-com, a la potencia n a x2, también se está elevando a la n al segundo miembro, en (1). En consecuencia, todas las potencias pares geométricas y algebraicas coinciden, cuando se utiliza el método Nieves.

Ahora, si lo hacemos sólo utilizando el triángulo rectángulo y no todo el plano cartesiano se tiene

Observación: Cuando se dice que coinciden (iguales geométrica y algebraicamente) se está queriendo decir que los cálculos algebraicos con valores de ángulos notables y sus derivados (valores deducidos utilizando la circunferencia trigonométrica), y los cálculos con valores de ángulos productos de una n sección (n ( 3) son iguales.

9.1.2 Teorema 9.1 (potencias impares geométricas y algebraicas)

La n-ésima potencia geométrica de algunos reales x es un poco mayor que la n-ésima potencia algebraica de dichos números cuando n es impar mayor o igual que tres.