Residuos Recursivos

Objetivo

Los modelos de regresión lineal se estiman, habitualmente, aplicando el método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO). Los estimadores así obtenidos son Estimadores Lineales, Insesgados y Óptimos (ELIO) bajo los supuestos de Modelos de Regresión Lineal Normal Clásico (MRLNC).

Tras la estimación de los parámetros del modelo se procede a la validación del mismo con el fin de afirmar los resultados obtenidos y poder considerarlos para la fase posterior de predicción o toma de decisiones. Esta validación del modelo consiste en la contrastación o comprobación de las hipótesis clásicas que se supone que debía verificar el modelo para ser estimado por MCO y así garantizar las propiedades anteriormente señaladas para los estimadores.

En este proceso de validación del modelo es especialmente importante la comprobación de las hipótesis que hacen referencia a las propiedades deseables para la perturbación aleatoria que, según el modelo de regresión clásico, debe distribuirse en un vector normal esférico. En particular las hipótesis que más se analizan son las que especifican el carácter constante de la varianza (perturbación homocedástica) y la ausencia de correlación entre perturbaciones de observaciones distintas (ausencia de autocorrelación).

La forma habitual de comprobar estas hipótesis consiste en la aplicación de contrastes en los que, en la mayor parte de las ocasiones, se utilizan los residuos ( o errores) mínimo—cuadráticos. Estos residuos se obtienen como diferencia entre los valores observados para la variable endógena y los valores estimados, a partir del modelo, para dicha variable. Sin embargo, como se va a comprobar posteriormente, estos errores no están exentos de inconvenientes ya que, a través de ellos, se pretende comprobar si la perturbación se distribuye en un vector normal esférico cuando ellos mismos, es decir, el instrumento utilizado para su comprobación no lo es.

El principal inconveniente que muestran estos residuos MCO es que teóricamente si bien su media es igual a cero, la matriz de varianzas y covarianzas no es escalar, característica que sí debe verificar la perturbación aleatoria de un modelo de regresión clásica. Esta leve diferencia puede originar problemas a la hora de contrastar las hipótesis clásicas de homocedasticidad y ausencia de autocorrelación para la perturbación de un modelo de regresión.

Es por ello que, en este tema, se presentan un conjunto de contrastes que, basados en unos residuos específicos permiten analizar de un modo más fiable si el modelo de regresión es clásico o generalizado.

Residuos recursivos

Los residuos mínimo cuadrático ordinarios (residuos MCO), además de como diferencia entre los valores observados y estimados, se pueden expresar también,

es decir, aunque los residuos MCO tienen esperanza nula, su matriz de varianzas y covarianzas no es escalar por los que estos residuos podrían detectar problemas de heterocedasticidad y/o autocorrelación para una perturbación que no presentara estos defectos.

Con el fin de corregir esta deficiencia de los residuos MCO, se utilizan otros residuos, que se obtienen de modo recursivo o recurrente, y que no presentan estos inconvenientes.

Esquemáticamente el proceso se pude describir a partir del siguiente gráfico

Este modo de operar permite obtener unos residuos que, una vez transformados, presentan características similares a las de la variable de perturbación del modelo en tanto que se distribuyen en un vector normal esférico.

Estos nuevos residuos permiten analizar la perturbación del modelo de regresión con mayor objetividad ya que, a diferencia de los residuos MCO, verifican las hipótesis deseables para dicha perturbación puesto que su distribución sí es normal esférica.

Contrastes basados en residuos recursivos

Los contrastes basados en los residuos recursivos los podemos clasificar en dos grupos; contrastes gráficos y contrastes numéricos. Los primeros se utilizan de un modo general para detectar si existe o no estabilidad en el modelo de regresión; puesto que se basan en análisis gráficos son contrastes bastante generales que detectan de modo vago la presencia de problemas en el modelo.

Los contrastes numéricos permiten detectar específicamente si se cumple o no, por separado, las hipótesis de homocedasticidad e incorrelación de las perturbaciones.

• Contrastes Gráficos

Los contrastes gráficos fueron desarrollados por Brown, Durbin y Evans en 1975 y presentan, como aplicación de los Residuos Recursivos, el modo de detectar la posibilidad de ruptura estructural a lo largo de las observaciones de un modelo supuestamente clásico.

En el caso de rechazar la hipótesis nula se podría realizar un segundo contraste para detectar si la varianza de la perturbación permanece o no constante.

a) Contraste de Suma Acumulada (Test CUSUM)

Este contraste debe su nombre al estadístico utilizado, que consiste en la acumulación progresiva de los residuos recursivos que posteriormente se normalizan dividiéndolos entre la estimación insesgada de la desviación típica de la perturbación (S). De este modo se calcula el valor acumulado Wr , que se representa gráficamente frente al número de valores acumulados (r).

En caso contrario, es decir cuando los valores de Wr sobrepasen dichas rectas (marcadas con trazos más gruesos) se puede considerar falta de estabilidad en el modelo. El cálculo de estas rectas necesita determinar los valores de "a" que se encuentran tabulados para distintos niveles de significación siendo los más usuales,

b) Contraste de Suma Acumulada de Cuadrados (Test CUSUM2)

Este contraste, análogo al anterior, utiliza en el numerador la suma acumulada del cuadrado de los residuos recursivos y en el denominador el valor de la Suma de Cuadrados de la totalidad de los Residuos Recursivos.

Al igual que en el contraste anterior, se considera que existe evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula de homogeneidad del modelo, cuando la representación gráfica de los valores del estadístico Sr se sitúan fuera de las bandas (marcadas en trazo más grueso). Los valores de significación para Co de se encuentran tabulados en Biometricka, vol. 56, 1969, pág.4. Con respecto a este contraste existe cierta evidencia empírica que permite considerarlo más poderoso que el test de suma acumulada (Test CUSUM).

• Contrastes numéricos

Los residuos recursivos se pueden utilizar también para la aplicación de cualquier contraste de heterocedasticidad y autocorrelación ya que se puede demostrar que, considerando la totalidad de las observaciones de la muestra, la suma de los cuadrados de los residuos recursivos coincide con la suma de los cuadrados de los residuos MCO y, además también se puede calcular esta suma de cuadrados de un modo recursivo o recurrente,

Entre las aplicación más habituales destaca un contraste de homocedasticidad similar al de Golfeld-Quandt (1965) pero basado en los residuos recursivos, y un contraste de autocorrelación, similar al de Durbin-Watson, pero que no presenta regiones de indecisión.

a) Contraste de Homocedasticidad

• Procedimiento de contraste:

• 1. Se ordenan las observaciones muestrales por valores crecientes de la variable Zt, supuesta causante de heterocedasticidad.

• 2. Se omiten un conjunto de observaciones centrales aproximadamente de tamaño k.

• 3. Se estima dos veces el modelo original con las primeras y últimas observaciones.

• 4. Se calculan los residuos recursivos de cada una de las regresiones anteriores; w1 serán los residuos recursivos del primer bloque y w2, los del segundo.

• 5. Forma del contraste:

donde m representa el número de residuos recursivos que se están sumando.

Puesto que el número mínimo de datos que deben utilizarse para realizar una estimación es igual al número de parámetros del modelo (k), el valor máximo de m será (n – k)/2.

b) Contraste de Autocorrelación. Razón de Von Neumann Modificada (RVNM)

A partir de los residuos recursivos se define un contraste similar al de Durbin-Watson pero con la ventaja de que no presenta región de indecisión o incertidumbre. En la hipótesis nula se establece la ausencia de correlación y en la hipótesis alternativa se admite la presencia de autocorrelación de primer orden.

Los valores críticos de este estadístico se encuentran tabulados en Press y Brooks, e indican el límite máximo (mínimo) para autocorrelación positiva (negativa) definiendo así dos regiones de rechazo y una única región de aceptación.

Aplicación de residuos recursivos desde el programa Eviews

El programa EViews facilita la obtención de los residuos recursivos a partir de la estimación por MCO del modelo; para ello, y una vez obtenido el resultado de la estimación se seleccionan las opciones VIEW/ Stability Test/ Recursive Estimates (OLS only) tal y como se muestra a continuación:

A partir de esta opción se abre un cuadro de diálogo que permite seleccionar entre distintas aplicaciones de Residuos Recursivos

La opción Recursive Residuals facilita un gráfico en el que aparecen dibujados los valores numéricos de los residuos recursivos; no obstante estos valores, se pueden obtener numéricamente, en forma de serie, seleccionando la última de las opciones Save Results as Series.

Los contrastes gráficos de estabilidad del modelo se pueden obtener en la segunda y tercera de las opciones, CUSUM Test y CUSM of Squares Test, respectivamente

Con la opción Recursive Coefficients se obtiene una representación gráfica de las estimaciones recursivas de los parámetros del modelo; es decir se presentan los valores que corresponderían a los parámetros si el tamaño de la muestra es, k+1, k+2, … hasta n.

Bibliografía

• GREENE, W.H. "Análisis Econométrico" Ed. Prentice Hall (1998)

• JOHNSTON, J. y DINARDO, J. "Métodos de Econometría" Ed. Vicens Vives (2001)

• PENA, J.B et al. "Cien ejercicios de Econometría" Ed. Pirámide (1999)

Enviado por:

Pablo Turmero