Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al aire. Los sucesos elementales del experimento, <<que salga cara>>, <<que salga cruz>>, no vienen representados por los números, por lo que casa suceso elemental se le hace corresponder un número real. Así al suceso elemental <<que salga cara>> se le hace corresponder el número "1" y al suceso elemental <<que salga cruz>> se le hace corresponder el número "2".
La variable aleatoria será: X = (1,2).
Se trata de una variable aleatoria discontinua o discreta, ya que únicamente puede adoptar los valores 1 y 2.
En general, una variable aleatoria discreta se define como una aplicación f (xi) tal que:
ESPERANZA MATEMÁTICA
En un experimento aleatorio, la esperanza matemática se define como la suma del producto de cada valor de la variable aleatoria considerada por su probabilidad.
Cuando la variable aleatoria X es discreta, el valor de la esperanza matemática asociada viene dado por:
Si se trata de una variable aleatoria continua, el número de valores de la variable es infinito, por lo que el sumatorio se convierte en una integral.
Siendo f (x) la función de densidad de la variable aleatoria continua.
En estadística la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria X, es el número 
que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.
Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de la palabra – el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible.
Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo
y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al rodar el dado. En este caso, en el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmética.
Definición.-
Para una variable aleatoria discreta con valores posibles 
y sus probabilidades representadas por la función de probabilidad p(xi) la esperanza se calcula como:
Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de todos los valores y la función de densidad
La definición general de esperanza se basa, como toda la teoría de la probabilidad, en el marco de la teoría de la medida y se define como la siguiente integral:
La esperanza también se suele simbolizar con 
Las esperanzas 
para 
se llaman momentos de orden 
Más importantes son los momentos centrados 
Propiedades [editar]
La esperanza es un operador lineal, ya que:
Combinando estas propiedades, podemos ver que –
Distribución probabilística
Cuando se analiza un experimento aleatorio, se descubren factores de comportamiento de la probabilidad que siguen modelos propios y distintivos. Por ello, es frecuente asociar a estos experimentos una «función de probabilidad», que puede adoptar diversas formas y regirse por principios diferentes y cuyo estudio arroja luz sobre la naturaleza y las características del fenómeno físico o social ligado al experimento.
Función de distribución.-
La distribución Normal suele conocerse como la "campana de gauss".
En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los eventos rango de valores de la variable aleatoria.
Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.
Dada una variable aleatoria X, se llama función de distribución a aquella que proporciona la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual que xi. Es decir:
Si se conoce la función de distribución F (x) de una variable aleatoria X, ya sea ésta discreta o continua, siempre se cumple que la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores en el intervalo (a, b] es:
1) VARIANZA.-
Es la media de las diferencias con la media elevadas al cuadrado.
La esperanza media constituye un valor de tendencia central, una media del valor de la variable estadística. Para saber si los valores de una variable estadística siguen una distribución centrada o dispersa, es preciso completar el valor de la esperanza media con el de la varianza.
En variables aleatorias discretas, la varianza se define como:
En las variables aleatorias continuas, existe un número infinito de valores, por lo que el sumatorio de la fórmula anterior se convierte en integral:
Siendo f (x) la función de densidad de la variable aleatoria continua.
Ejemplo.-
Tú y tus amigos habéis medido las alturas de vuestros perros (en milímetros):Las alturas (de los hombros) son: 600mm, 470mm, 170mm, 430mm y 300mm.
Calcula la media, la varianza y la desviación estándar.
Respuesta:
así que la altura media es 394 mm.
Ahora calculamos la diferencia de cada altura con la media:
Para calcular la varianza, toma cada diferencia, elévala al cuadrado, y haz la media:
Así que la varianza es 21,704.
Y la desviación estándar es la raíz de la varianza, así que:
Desviación estándar: s = v21,704 = 147
y lo bueno de la desviación estándar es que es útil: ahora veremos qué alturas están a distancia menos de la desviación estándar (147mm) de la media:
Los Rottweilers son perros grandes. Y los Dachsunds son un poco menudos..
Desviación estándar
La desviación estándar (s) mide cuánto se separan los datos.
La raíz cuadrada de la varianza recibe el nombre de desviación típica:
Función de probabilidad discreta
Denotaremos como
a la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor 
Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 
a la aplicacion que a cada valor de de la variable le hace corresponder la probabilidad de que la variable tome dicho valor:
Por definición, deducimos que si
son los valores que puede tomar la variable entonces:
ya que esta suma es, en realidad, la probabilidad del suceso seguro.
Ejemplo
En el experimento de lanzar tres monedas al aire, la aplicación que asigna a cada resultado el numero de cruces obtenidas es una variable aleatoria. En este caso:
Función de distribución acumulativa
La Función de Distribución Acumulada corresponde a la probabilidad de que la variable aleatoria 
tome un valor numérico menor o igual a 
o representa el acúmulo de las probabilidades hasta alcanzar el valor de interés. Simbólicamente, lo anterior se expresa como:
Por ejemplo,
Distribución binomial
Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:
En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario`A (fracaso).
El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.
La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de `A es 1- p y la representamos por q .
El experimento consta de un número n de pruebas.
Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la distribución Binomial. A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, …, n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como hay que considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k).
La distribución Binomial se suele representar por B(n,p) siendo n y p los parámetros de dicha distribución.
Parámetros de la Distribución Binomial.-
APLICACIONES.-
Algunas situaciones en las cuales se utiliza la distribución Binomial se plantean a continuación:
– Se desarrolla una nueva variedad de maíz en una estación agrícola experimental. Se plantan 20 semillas en un suelo de idéntica composición y se le dedican los mismos cuidados. se espera que germine el 90% de las semillas. Cuántas semillas se espera que germinen?
Ejemplo 1
Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por 1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas sólo haya una defectuosa.
Solución :
Se trata de una distribución binomial de parámetros B(50, 0'007) y debemos calcular la probabilidad p(X=1).
La distribución Poisson
Características:
En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc,:
– # de defectos de una tela por m2
– # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc.
– # de bacterias por cm2 de cultivo
– # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.
– # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.
Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:
Las variables aleatorias de Poisson surgen al observar un conjunto discreto de sucesos en un intervalo continuo de tiempo, longitud o espacio.
En el campo microbiológico, las variables con distribución Poisson están relacionadas en su mayoría a procesos de conteo como el recuento de microorganismos viables por conteo en plato o determinación del número más probable (NMP), así como a procesos relacionados con la determinación de la probabilidad de mutación celular.
Cuando se busca realizar del recuento de microorganismos viables por conteo en plato o determinar el número más probable (NMP), el suceso a observar será el número de colonias bacterianas (UFC) desarrolladas sobre el plato de agar o el número de tubos con crecimiento bacteriano (positivos) y el intervalo corresponderá a la unidad de muestra analizada, llámese gramo de suelo, o mililitro de un líquido analizado (agua, sangre, etc). –
En el caso de la determinación de la probabilidad de mutación bacteriana, el suceso será la observación del número de bacterias mutantes (cada célula bacteriana mutante generará una colonia en un medio de cultivo selectivo de dicha mutación) y el intervalo corresponderá a la concentración bacteriana bajo observación, por ejemplo 2
10
células bacterianas.
Autor:
Zeusjr
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