Transformada de Laplace

Introducción

Una forma de evaluar integrales impropias es hacerlo por comparación con una integral conocida cuyo valor se puede calcular fácilmente. En este material se estudian dos casos particulares de integrales impropias, a saber,

en ambos casos se evalúa la integral impropia por medio de una de éstas y en algunos casos puede hacerse por las dos.

El estudio de la transformada de Laplace es muy importante, pues su uso convierte funciones habituales trascendentes, como funciones, sinúsoidales amortiguadas y exponenciales, en funciones algebraicas.

El método de la transformada de Laplace es una vía para la solución de ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales que constituyen los modelos matemáticos más frecuentes en la representación matemática de problemas de circuitos

Definición de transformada de Laplace

s, parámetro que puede ser un número real o un número complejo. En este semestre lo usamos como número real.

Así, f(t) se reemplaza por F(s). La ventaja de esta operación radica en que bajo ciertas circunstancias se pueden reemplazar funciones complicadas por otras más simples.

Convenio: usar la misma letra mayúscula y minúscula.

En la definición se expresa "siempre que la integral converja" por lo que deben imponerse condiciones sobre f que resulten suficientes para poder asegurar la convergencia de la integral. Estas condiciones aunque no son necesarias, serán suficientes para trabajar con funciones f(t) de la variable t

Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace

Cuando se estudió integración se tuvo en cuenta que una razón por la cual puede diverger una integral es porque la función tenga discontinuidades infinitas en el intervalo de integración. Por este motivo para asegurar la convergencia de la integral se establece:

• 1. f(t) seccionalmente continua (continua a trozos) para t0.

La mayoría de las funciones con las que se trabaja en los problemas físicos satisfacen esta condición

Definición:

Sea A la clase de las funciones que satisfacen las siguientes condiciones:

• 1) f(t) = 0 para t < 0

• 2) f es seccionalmente continua para t 0

• 3) f es de orden exponencial p.

L puede considerarse como una operación que transforma una clase de funciones en otra. El operador L es lineal.

A las funciones f que satisfacen las tres condiciones anteriores suelen llamárseles funciones objetos mientras otros autores las denominan Laplace-transformables.

Puesto que la integral impropia que define la transformada, si existe, puede converger a una función solamente, es obvio que L [f(t)], si existe, es única.

Teorema:

Es decir, todas las funciones que cumplen las condiciones suficientes establecidas anteriormente poseen transformada de Laplace. Además existen muchas funciones que tienen transformada aunque no cumplen las condiciones 1, 2 y 3.

Transformada de algunas funciones

1) La función paso unitario desplazada

Propiedades

• 1. Linealidad.

Si f y g tienen transformada de Laplace L(f) y L(g) para s> p respectivamente, entonces,

L (af + bg) = a L(f) + b L(g) para s > p y a y b reales.

La demostración se basa en la linealidad de integrales impropias convergentes.

• 2. Teorema del desplazamiento en s.

Observaciones:

Su utilidad radica en que se aplica con mucha frecuencia a productos de exponenciales con sen at, cos at, polinomios, etc.

Función Gamma

En el estudio de las integrales impropias se presta especial atención a cierta integral paramétrica, por su relación con otras ramas del análisis matemático, así como por su uso en la resolución de diversos problemas físicos de gran importancia.

Definición:

Tabla de transformadas de Laplace

Usted debe comprobar cada una de estas fórmulas, integrando.

Expresión de una función definida por tramos en términos de la paso unitario

Es decir, en cada subintervalo donde la función es diferente de 0, basta multiplicar la función por la diferencia entre las funciones paso unitario correspondientes.

Generalización.

Sea la función definida por:

Es decir cada función paso unitario queda multiplicada por la diferencia de la función a la derecha del punto de división menos la de la izquierda. Y f(t) es la suma de esos productos.

Procedimiento práctico para expresar una función definida por tramos en términos de la función paso unitario:

• 1. Representar sobre un eje los puntos de división del dominio de la función (en el ejemplo son los puntos t1, t2,…,tn)). Proponer en cada punto de división la función paso unitario correspondiente y en cada subintervalo la expresión analítica de f correspondiente

• 2. Proponer la expresión de f(t) como la suma de los productos de las funciones paso unitario en cada punto de división por la diferencia entre las funciones definidas a la derecha y a la izquierda de dicho punto.

a) Representar gráficamente

b) Expresar en términos de la función paso unitario.

Solución:

Solución:

En este caso se plantea que la función es 2 para t < 1, se debe asumir que es 0 para t < 0.

Transformada de la función paso unitario desplazada

Idea de la demostración:

Se plantea la transformada usando la definición y se realiza el cambio de variable x = t – c.

Ejemplos:

Evaluación de integrales impropias

Las integrales impropias que sean comparables con las correspondientes a la transformada de Laplace o a la función gamma pueden ser evaluadas mediante las mismas. Ese es el propósito de este caso: Evaluar integrales impropias.

Ejemplo: Evaluar

Esta integral se puede comparar con ambas: con la transformada de Laplace y con la función gamma.

En este caso la función no es una potencia por lo que no puede usarse la función gamma, pero comparando con la transformada de Laplace se tiene que s = – 1 y f (t) = sen 2 t luego:

b) Para usar gamma se hace necesario un cambio de variable de modo que el exponente de la exponencial se reduzca al opuesto de una variable:

Ejercicios Propuestos

1. Obtener la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

2. Emplear la definición para calcular la transformada de Laplace de:

3. Expresar en términos de la paso unitario las funciones del ejercicio 2

4. Evaluar las integrales impropias siguientes sin calcular:

5. Analizar la convergencia de:

Autor:

Gustavo Vicente Rojas García

Angela Miyar Chávez

María Milena Rodríguez Fernández

(Cuba)