La intervención docente en la enseñanza de los sistemas de numeración. Las relaciones con el saber

El ojo humano nunca ve fuera lo que no tenía antes de alguna manera dentro.

Miguel Fernández Pérez.

1 Introducción

1.1 Nota previa Es preciso comenzar con una breve nota. El nombre de este artículo que intenta consti- tuirse como organizador de 5º tema planteado para el concurso para la efectividad de maestros de CEP-ANEP, puede inducir a un grave error al presentarse en singular. Nos referimos espe- cíficamente a la expresión "(…) el sistema de numeración."1 .

Este singular oculta o ignora la existencia de múltiples sistemas de numeración, siste- mas que en su mayoría son abordados a lo largo del ciclo escolar en diversas profundidades y con diferentes énfasis en sus propiedades particulares. Sistemas que en general suelen ser vis- tos como ampliaciones sucesivas, como si se tratara de matrioskas2 , lo cual no es absoluta- mente correcto, aunque sí existen relaciones de inclusión. (Ver apartado "Los sistemas de nu- meración" más adelante).

La nota es relevante en tanto este suele ser un obstáculo epistemológico (ver apartado al respecto más adelante) que se instala escalonadamente en nuestras escuelas, seguramente en parte responsabilidad de lo parcializado de la forma en que se presentan los contenidos y saberes matemáticos a lo largo del ciclo escolar.

1.2 Introduciéndonos a la didáctica de las matemáticas Sin querer entrar en la discusión acerca del carácter de la didáctica y de la existencia o no de las didácticas específicas –tema que excede por mucho a las posibilidades del presente artículo–, es necesario señalar que la concebimos como una disciplina en tanto conjunto de saberes organizados, cuyo objeto de estudio es la relación entre los saberes y su enseñanza.

La Didáctica de las Matemáticas estudia los procesos de enseñanza y de aprendizaje3 de los saberes matemáticos –en los aspectos teórico– conceptuales y de resolución de problemas– tratando de caracterizar los facto- res que condicionan dichos procesos. Se interesa por determinar el significado que los alumnos atribuyen a los términos y símbolos matemáticos, a los con- ceptos y proposiciones, así como la construcción de estos significados como consecuencia de la instrucción.

tores.

Queremos explicitar algunos supuestos, como base de acuerdo entre el lector y los au- Siguiendo a Chevallard (1998), sostenemos que el objeto de estudio de dicha discipli- na es la relación, el interjuego que se realiza entre el docente, el estudiante y el saber matemá- tico. Por ello proponemos utilizar el "triángulo didáctico", en tanto herramienta de análisis. Constituidos sus 3 vértices por los elementos señalados: el saber, el docente y el alumno. El lugar que cada uno de ellos ha ocupado en la enseñanza, define 3 tipos generales de concep- ciones didácticas que han dado lugar a diversos métodos de enseñanza.

Aplicando esta idea a la didáctica específica que nos preocupa, Guy Brousseau realiza la siguiente caracterización: "a) la didáctica como técnica: en tanto conjunto de técnicas y métodos que sirven para lograr mejores resultados; b) la didáctica empírico–científica: en tan- to estudio de la enseñanza como disciplina científica que planifica situaciones y las analiza junto a sus resultados en forma estadística y c) la didáctica sistémica: en tanto ciencia que teoriza la producción y la comunicación del saber matemático en su autonomía de otras cien- cias" (Villella, J. 1996).

Vamos a partir de esta tercera concepción de la didáctica de la matemática como cien- cia autónoma, originada en Francia con la denominada "escuela francesa de la didáctica de la matemática" del IREM, en los años "70, cuyos precursores son: Guy Brousseau, Yves Verg- naud y D. Chevallard entre otros.

La definen como ciencia autónoma desde 2 postulados: i- la identificación e interpre- tación del objeto de interés supone el desarrollo de un cuerpo teórico y ii- este cuerpo debe ser específico del saber matemático y no provenir de la aplicación de teorías desarrolladas en otros dominios (como ser la psicología, la pedagogía u otros).

Explicitado el punto de partida, justificaremos la enseñanza de este cuerpo de conoci- mientos. Centrándonos en el número y los sistemas de numeración –tema que nos convoca–.

1.3 ¿Por qué enseñar matemática? En un breve recorrido histórico podemos ver distintas motivaciones para su enseñanza: Villella (1996) recuerda que en Egipto y Mesopotamia se enseñaba con un fin meramente uti- litario: dividir cosechas, repartir campos, etc.; en Grecia su carácter era formativo, cultivador del razonamiento, complementándose con el fin instrumental en tanto desarrollo de la inteli- gencia y camino de búsqueda de la verdad.

Hoy podemos hablar de 3 fines: formativo, instrumental y social4 . Teniendo en cuenta algunos contextos: de producción, de apropiación, de utilización del saber matemático. Ya nadie discute acerca del carácter democratizador y emancipador del conocimiento y dominio de esta ciencia.